【推荐】专题2-3 函数奇偶性和周期性-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题2-3 函数奇偶性和周期性-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

真题回放 ‎1.【2017高考新课标2文14】已知函数是定义在R上的奇函数，当x时，,‎ 则 ‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【考点解读】本题为函数求值问题，可运用奇函数的性质即；来解决，为基础题。‎ ‎2.【2017高考北京文5】已知函数，则为（ ）‎ ‎（A）是偶函数，且在R上是增函数 （B）是奇函数，且在R上是增函数 ‎（C）是偶函数，且在R上是减函数 （D）是奇函数，且在R上是增函数 ‎【答案】A ‎【考点解读】本题为考查函数的奇偶性和单调性，由函数，可借助函数奇偶性的定义及指数函数的性质来分析处理。‎ ‎3.【2017高考天津文6】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意：，且：，‎ 据此：，结合函数的单调性有：，‎ 即.本题选择C选项. ‎ ‎【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题，可由为奇函数及单调递增性质，化为比较自变量，再运用指数和对数函数的性质，来比较大小。对知识综合运用要求较高。‎ ‎4.【2017高考江苏文14】设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中 集合D=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】解法一；由于只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，‎ 解法二；∵在区间[0，1）上，，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，‎ 又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，，‎ 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ ‎……‎ 区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；‎ 在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；‎ 故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，‎ ‎【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题，函数的图象和性质及转化思想。对知识综合运用能力要求较高，有相当难度。（需注意对题中条件集合D的解读）‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 奇偶性 B 周期性 A 高考对函数奇偶性与周期性的考查要求为掌握，以小题的形式进行考查。有一定的综合性，常与函数的求值，零点、图像、解不等式等问题结合。纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查函数的奇偶性、周期性的理解和运用；如函数奇偶性的判断，函数求值等。二是以性质为载体解决函数零点问题，解不等式。解决问题中要注意数形结合思想的运用。 ‎ 融会贯通 题型一　函数奇偶性的判断 典例1.（1）（2015年山东高考）下列判断正确的是 ( )‎ A. 函数是奇函数 B. 函数是偶函数 C. 函数是偶函数 D. 函数既是奇函数又是偶函数 ‎【答案】C ‎（2）（2017浙江省嘉兴市模拟）已知函数， ，则的图象为（ ）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由为偶函数，排除，当时， ，排除B．‎ 解题技巧与方法总结 判断函数奇偶性的两个方法 ‎1．定义法；‎ ‎2．图象法；‎ ‎【变式训练】‎ ‎1．(2015福建高考)下列函数为奇函数的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝|sin x|‎ C．y＝cos x D．y＝ex－e－x ‎【答案】D ‎2.（2017云南省昆明模拟）设函数f(x)‎的定义域为R，且‎|f(x)|‎是偶函数，则下则结论中正确的是（ ）‎ A. f(x)‎是偶函数 B. f(x)‎是奇函数 C. ‎|f(x-1)|‎ 的图像关于直线x=1‎对称 D. ‎|f(x)+1|‎的图像关于（0，1）对称 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，例如f(x)=x，则‎|f(x)|‎是偶函数，此时f(x)‎是奇函数，所以A不正确；‎ 例如f(x)=‎x‎2‎，则‎|f(x)|‎是偶函数，此时f(x)‎是偶函数，所以B不正确；例如f(x)=x，则‎|f(x)+1|=|x+1|‎是偶函数，图象关于y轴对称，所以D 不正确；由函数的图象变换可知，函数y=f(x)‎向右平移1个单位，可得函数y=f(x-1)‎的图象，又函数‎|f(x)|‎是偶函数，图象关于x=0‎对称，所以函数‎|f(x-1)|‎的图象关于x=1‎对称，故选C。‎ ‎3．判断下列函数的奇偶性．‎ ‎(1) f(x)＝＋； ‎ ‎ (2) f(x)＝； ‎ ‎ (3) f(x)＝ ‎【答案】见解析 知识链接：‎ 知识点1　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 必会结论 ：函数奇偶性常用的结论 ‎①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(x)有意义，那么一定有f(0)＝0；‎ ‎②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)；‎ ‎③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；‎ ‎④奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性．偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性．‎ 题型二　函数周期性及应用 典例2. （1）（2017山东省威海模拟）周期为4的奇函数在上的解析式为；，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数是周期为4的奇函数，所以 ‎，则 ‎(2) （2017兰州模拟）已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，‎ 则f(105.5)＝________.‎ ‎【答案】2.5‎ ‎(3) (2016兰州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，‎ 当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1. ‎ ‎①求证：f(x)是周期函数；‎ ‎②当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；‎ ‎③计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)的值．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】①证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x ‎＝1对称，‎ 则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数．‎ ‎② 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，‎ 则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．‎ ‎③ ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，‎ 又f(x)是以4为周期的周期函数．‎ ‎∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(2 016)＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝1.‎ 解题技巧与方法总结 函数周期性的判定与应用 ‎1．判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.‎ ‎2．应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.（2017成都市第七中三诊）．设是定义在上周期为2的奇函数，当时， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知： .选C.‎ ‎2．（2017河北省巨鹿月考）已知对于任意的，都有，‎ 且，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3．（2017银川模拟）设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f(x)．‎ 当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.‎ ‎(1)求证：f(x)是周期函数；‎ ‎(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；‎ ‎(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】 (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．‎ ‎∴f(x)是周期为4的周期函数．‎ f(2015)＝0.‎ ‎∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(2016)＋f(2017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.‎ 知识链接：‎ 知识点2　函数的周期性 ‎1．周期函数；T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：‎ ‎(1)T≠0； (2)f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．‎ ‎2．最小正周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．‎ ‎3．周期不唯一；若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期，即f(x＋nT)＝f(x)．‎ 函数周期性常用结论；对f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；‎ ‎③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．‎ 对称性的三个常用结论 ‎①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,‎ ‎0)中心对称．‎ 题型三　函数奇偶性的应用 命题点1　已知函数的奇偶性求函数的值 典例3.（1）（2017重庆市巴蜀中学三模）定义在上的奇函数满足，且 当时，，则（ ）‎ A. -2 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得函数是周期为的周期函数，且为奇函数，‎ 故.‎ ‎（2）(2016杭州模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)‎ A．－2 B．－1 C．0 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为f (x＋2)为偶函数，f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)＝－f(x－2)，‎ 由f(x＋2)＝－f(x－2)，得f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，‎ 所以f(8)＝f(0)，f(9)＝f(1)＝1，所以f(8)＋f(9)＝0＋1＝1.‎ 命题点2　与函数奇、偶性相关的不等式问题 ‎(3)（2017哈尔滨模拟）已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)0⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是减函数．‎ ‎3.函数的单调区间要分开写，两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”连结．‎ ‎4.在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．‎ ‎5.函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)单调性的关系是“同增异减”．‎ ‎6.对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为和，减区间为[－，0)和.‎ 课本典例解析与变式 例1. 【必修1复习参考题P83 B组第3题】对于函数，是否存在实数，使函数 为奇函数？‎ ‎【答案】存在，‎ ‎【解题反思】本题为存在性问题，可先假设存在。然后运用奇函数的定义和性质，建立方程求出的值。‎ 变式1.(2016浙江金华模拟)若函数为奇函数,则实数的值为 (　　)‎ A. 　 B. C. D．1‎ ‎【解析】　方法一：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．‎ 因为f(x)＝＝，所以 ‎＝. 所以－(1－2a)＝1－2a，所以1－2a＝0，所以a＝.‎ 方法二：根据奇函数取特殊值求解；由已知f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，‎ 即＝，所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝.‎ 方法三：由解析式结构分析；因为分子为奇函数，则要使为奇函数，则它的分母必是 偶函数，所以所以1－2a＝0，所以a＝.‎ 变式2.(2017兰州模拟)已知定义域为的函数是奇函数，的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ,‎ ‎，．‎ 变式3.(2017北京模拟)若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（ ）‎ ‎（A）（ ） （B）（） （C） （D）‎ ‎【答案】C 变式4.（2017上海市徐汇区二模）已知函数是偶函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为函数是偶函数，所以有，即求出的值；‎ ‎（2）分离参数，因为，所以不等式等价于，‎ 使得不等式恒成立，只要即可求出的范围。‎ ‎【课本回眸反思】‎ ‎1. 在复习解题训练中因注重对数学基本概念和性质的理解；‎ ‎2． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。‎ 练习检测 ‎1．(2017广州模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x ‎【答案】D ‎【解析】令f(x)＝x2＋sin x，则f(1)＝1＋sin 1，f(－1)＝1－sin 1即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以 y＝x2＋sin x，既不是奇函数，也不是偶函数，而A、B、C依次为奇函数，偶函数，偶函数，故选D.‎ 考点；基本初等函数函数性质的判断 ‎2．（2017北京市西城区一模）函数定义在上,则曲线“过原点”是“‎ 为奇函数”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】函数定义在上，若为奇函数，则“曲线过原点”，反之不成立，例如,所以“曲线过原点”是“为奇函数”的必要而不充分条件，故选B.‎ 考点；奇函数的定义及充要条件的判断 ‎3.(2017银川模拟)若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D 考点；函数奇偶性与单调性及方程思想 ‎4.(2016湖北襄阳模拟) x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，例；[-1.2]= -2，[0.9]=0，[1.8]=1则函数 f(x)＝x－[x]在R上为(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 ‎【答案】D ‎【解析】作出函数f(x)的图象，由图象可知选D.‎ 考点；函数奇偶性定义及数形结合思想。‎ ‎5．（2017河北省巨鹿中学月考）已知定义在上的奇函数满足 且，则方程在在区间内整数根有（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】D ‎【解析】由题可知函数的周期为4，由函数时R上奇函数故，所以，又故,又函数为奇函数所以，故方程在在区间内整数根有1,3,4,5,7,8,9七个根。‎ 考点；函数奇偶性与周期性及函数的零点。‎ ‎6.（2017兰州模拟）已知定义在R上的函数满足条件；①对任意的，都有；②对任意的；③函数的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D 考点；函数的奇偶性与周期性及单调性的综合运用 ‎7．（2017银川模拟）若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易错分析：解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k＝1.‎ 正解：∵，‎ ‎∴‎ ‎，由可得，∴．‎ 考点；函数的奇偶性的性质 ‎8．（2017山东省日照市二模）函数为偶函数，且在单调递增，‎ 则的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ 考点；函数的奇偶性的性质及二次不等式的解法 ‎9．（2017陕西省西藏民族学院附中）若定义在上的偶函数满足，且在区间 上单调递减，则将， ， 从小到大顺序排列为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，即2是周期，又其为偶函数，所以， ， ，根据在区间上单调递减知， ，所以填．‎ 考点；函数的奇偶性与周期性及单调性的综合运用 ‎10．（2017北京丰台区一模）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x，下列命题正确的有　 ．（写出正确命题的编号）‎ ‎①f（x）是奇函数；‎ ‎②f（x）在R上是单调递增函数；‎ ‎③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；‎ ‎④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．‎ ‎【答案】①②④．‎ ‎【解析】根据题意，依次分析4个命题：对于①、f（x）=ex﹣e﹣x，定义域是R，‎ 且f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣f（x），f（x）是奇函数；故①正确；‎ 对于②、若f（x）=ex﹣e﹣x，则f′（x）=ex+e﹣x＞0，故f（x）在R递增；故②正确；‎ 对于③、f（x）=x2+2x，令g（x）=ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x，‎ 令x=0可得，g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，‎ g（3）=e3﹣﹣13＜0，g（4）=e4﹣﹣20＞0， ‎ 则方程f（x）=x2+2x有一根在（3，4）之间，故③错误；‎ 对于④、如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即ex﹣e﹣x﹣kx＞0恒成立，‎ 令h（x）=ex﹣e﹣x﹣kx，且h（0）=0，‎ 若h（x）＞0恒成立，则必有h′（x）=ex+e﹣x﹣k＞0恒成立，‎ 若ex+e﹣x﹣k＞0，即k＜ex+e﹣x=ex+恒成立，而ex+≥2，若有k＜2，故④正确；‎ 综合可得：①②④正确；‎ 考点；函数的奇偶性与周期性及单调性的综合运用及恒成立问题 ‎10．（2017河南省八市联考）已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知任取设 则 考点；函数的奇偶性及利用函数的奇偶性求有关参数问题。‎ 注意；①若奇函数在处有定义，则；‎ ‎②奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数偶函数=偶函数；‎ ‎③特殊值验证法，如本题中由.‎ ‎ ‎