高考数学专题复习：反证法

高考数学专题复习：反证法

‎2.2.2反证法 一、选择题 ‎1、已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为(　　)‎ A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 D．a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数 ‎3、命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(　　)‎ A．有两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 ‎4、用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是(　　)‎ A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数 ‎5、反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(　　)‎ ‎①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．‎ A．①② B．①③‎ C．①③④ D．①②③④‎ ‎6、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　)‎ ‎①结论相反判断，即假设；‎ ‎②原命题的条件；‎ ‎③公理、定理、定义等；‎ ‎④原结论．‎ A．①② B．①②④‎ C．①②③ D．②③‎ 二、填空题 ‎7、若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－‎2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是______________．‎ ‎8、将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>‎0”‎反设，所得命题为“__________________________”．‎ ‎9、用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．‎ 三、解答题 ‎10、等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎11、求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．‎ ‎12、若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，‎ 求证：a、b、c中至少有一个大于0.‎ ‎13、已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B　[∵c>d，∴－c<－d，a>b，‎ ‎∴a－c与b－d的大小无法比较．‎ 可采用反证法，‎ 当a－c>b－d成立时，假设a≤b，∵－c<－d，‎ ‎∴a－cb.‎ 综上可知，“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件．]‎ ‎2、D　[恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个 偶数．]‎ ‎3、C ‎4、B　‎ ‎5、D　‎ ‎6、C　‎ 二、填空题 ‎7、a≤－2或a≥－1‎ 解析　若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0有实根，‎ 则(a－1)2－‎4a2≥0，∴－1≤a≤.‎ 若方程x2＋2ax－‎2a＝0有实根．‎ 则‎4a2＋‎8a≥0，∴a≤－2或a≥0，‎ ‎∴当两个方程至少有一个实根时，‎ ‎－1≤a≤或a≤－2或a≥0.‎ 即a≤－2或a≥－1.‎ ‎8、函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上恒小于等于0‎ ‎9、a≤b 三、解答题 ‎10、(1)解　设公差为d，由已知得 ‎∴d＝2，‎ 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，‎ 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，‎ ‎∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ ‎∵p，q，r∈N*，‎ ‎∴ ‎∴2＝pr，(p－r)2＝0，‎ ‎∴p＝r，这与p≠r矛盾．‎ 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎11、证明　假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．‎ 于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，‎ 即x2＋y2＋xy＝0，‎ 即(x＋)2＋y2＝0.‎ 由y≠0，得y2>0.‎ 又(x＋)2≥0，所以(x＋)2＋y2>0.‎ 与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．‎ ‎12、证明　设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，‎ ‎∴a＋b＋c≤0.‎ 而a＋b＋c＝＋＋ ‎＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ‎＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.‎ ‎∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，‎ 故a、b、c中至少有一个大于0.‎ ‎13、证明　假设a不是偶数，则a为奇数．‎ 设a＝‎2m＋1(m为整数)，则a2＝‎4m2‎＋‎4m＋1.‎ 因为4(m2＋m)是偶数，所以‎4m2‎＋‎4m＋1为奇数，所以a2为奇数，与已知矛盾，所以假 设错误，‎ 所以原命题成立，即a是偶数．‎