2006年湖南省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2006年湖南省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 函数y=log2x的定义域是（ ）
A.(0, 1] B.(0, +∞) C.[1, +∞) D.(1, +∞)
2. 已知向量a→=(2,t)，b→=(1,2)，若t=t1时，a→ // b→；t=t2时，a→⊥b→，则（ ）
A.t1=-4，t2=-1 B.t1=-4，t2=1 C.t1=4，t2=-1 D.t1=4，t2=1
3. 若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是（ ）
A.-2 B.22 C.34 D.2
4. 过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60∘则该截面的面积是（ ）
A.π B.2π C.23π D.3π
5. “a＝1”是“函数f(x)＝|x-a|在区间[1, +∞)上为增函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）
A.6 B.12 C.24 D.18
7. 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )
A.36 B.18 C.52 D.62
8. 设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值π4，则f(x)的最小正周期是（ ）
A.2π B.π C.π4 D.π2
9. 过双曲线M:x2-y2b2=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A.10 B.5 C.103 D.52
10. 如图，OM // AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）．且OP→=xOA→+yOB→，则实数对(x, y)可以是（ ）
A.(14，34) B.(-23，23) C.(-14，34) D.(-15，75)
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11. 若数列{an}满足：a1=1，an+1=2an．n=1，2，3…．则a1+a2+...+an=________．
12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
13. 已知x≥1x-y+1≤02x-y-2≤0，则x2+y2的最小值是________．
14. 过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
15. 若f(x)=asin(x+π4)+3sin(x-π4)是偶函数，则a=________．
三、解答题（共6小题，满分80分）
16. 已知3sinθ-sin(π2-2θ)cos(π+θ)⋅cosθ=1，θ∈(0, π)，求θ的值．
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17. 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：
（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；
（2）平均有多少家煤矿必须整改；
（3）至少关闭一家煤矿的概率．
18. 如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4．
（1）证明PQ⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AQ与PB所成的角；
（3）求点P到平面QAD的距离．
19. 已知函数f(x)=ax3-3x2+1-3a．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．
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20. 在m(m≥2)个不同数的排列P1P2...Pn中，若1≤i
Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1=1，排列321的逆序数a3=6．
（1）求a4、a5，并写出an的表达式；
（2）令bn=anan+1+an+1an，证明2n0)，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点．
（1）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（2）是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
2006年湖南省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.C
2.C
3.D
4.A
5.A
6.B
7.D
8.B
9.A
10.C
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11.2n-1
12.85
13.5
14.6
15.-3
三、解答题（共6小题，满分80分）
16.解：由已知3sinθ+cos2θ=1，
∴ 3sinθ-2sin2θ=0，
∴ sinθ(sinθ-32)=0．
∵ 0<θ<π，
∴ sinθ=32，
θ=π3，或θ=2π3．
17.解：（1）每家煤矿必须整改的概率是1-0.5，
且每家煤矿是否整改是相互独立的．
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是
P1=C52×(1-0.5)2×0.53=516=0.31．
（2）由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B(5, 0.5)．
从而ξ的数学期望是Eξ=5×0.5=2.5，
即平均有2.50家煤矿必须整改．
（3）某煤矿被关闭，
即该煤矿第一次安检不合格，
整改后经复查仍不合格，
所以该煤矿被关闭的概率是
P2=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1，
从而该煤矿不被关闭的概率是0.9．
由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，
所以至少关闭一家煤矿的概率是
P3=1-0.95=0.41
18.解法一：（1）连接AC、BD，设AC∩BD=O．由P-ABCD与Q-ABCD
都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD．
（2）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
由（1），PQ⊥平面ABCD，
故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0, 0, 1)，Q(0, 0, -2)，B(0,22，0)
所以AQ→=(-22,0,-2)，PB→=(0,22,-1)，
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于是cos=|AQ→|⋅|PB→|˙=39．
从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos39．
（3）．由（2），点D的坐标是(0, -22, 0)，AD→=(-22,-22,0)，PQ→=(0,0,-3)，
设n→=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，
由n→⋅AD→=0˙得2x+z=0x+y=0．
取x=1，得n→=(1,-1,-2)．
所以点P到平面QAD的距离d=|n→|˙=322．
解法二：（1）．取AD的中点M，连接PM，QM．
因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM．从而AD⊥平面PQM．
又PQ⊂平面PQM，所以PQ⊥AD、同理PQ⊥AB，
所以PQ⊥平面ABCD、
（2）．连接AC、BD设AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在
PQ上，从而P、A、Q、C四点共面．
取OC的中点N，连接PN．
因为POOQ=12，NOOA=NOOC=12，
所以POOQ=NOOA，
从而AQ // PN．∠BPN（或其补角）是异面直线AQ
与PB所成的角．连接BN，
因为PB=OB2+OP2=(22)2+1=3．PN=ON2+OP2=(2)2+1=3BN=OB2+ON2=(22)2+(2)2=10
所以cos∠BPN=PB2+PN2-BN22PB⋅PN=9+3-102×3×3=39．
从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos39．
（3）．由（1）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、过P作PH⊥QM
于H，则PH⊥平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离．
连接OM，则OM=12AB=2=OQ．
所以∠MQP=45∘，
又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45∘=322．
即点P到平面QAD的距离是322
19.解：（1）由题设知a≠0,f'(x)=3ax2-6x=3ax(x-2a)．
令f'(x)=0得x1=0，x2=2a．
当（1）a>0时，
若x∈(-∞, 0)，则f'(x)>0，
所以f(x)在区间(-∞, 0)上是增函数；
若x∈(0,2a)，则f'(x)<0，
所以f(x)在区间(0,2a)上是减函数；
若x∈(2a，+∞)，则f'(x)>0，
所以f(x)在区间(2a，+∞)上是增函数；
（2）当a<0时，
若x∈(-∞,2a)，则f'(x)<0，
所以f(x)在区间(-∞,2a)上是减函数；
若x∈(2a，0)，则f'(x)>0，
所以f(x)在区间(2a，0)上是增函数；
若x∈(0, +∞)，则f'(x)<0，
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所以f(x)在区间(0, +∞)上是减函数．
（2）由（1）的讨论及题设知，曲线y=f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，
且函数y=f(x)在x=0,x=2a处分别是取得极值f(0)=1-3a，f(2a)=-4a2-3a+1．
因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0)⋅f(2a)≤0．
即(-4a2-3a+1)(1-3a)≤0．
所以(a+1)(a-3)(a-4)a3≤0．
故(a+1)(a-3)(a-4)≤0，且a≠0．
解得a≤-1或3≤a≤4．
即所求实数a的取值范围是(-∞, -1]∪[3, 4]．
20.解：（1）由排列21的逆序数a1=1，排列321的逆序数a2=3，排列4321的逆序数a3=6，得a4=4+3+2+1=10，a5=5+4+3+2+1=15，所以an=n+(n-1)+...+2+1=n(n+1)2；
（2）因为bn=anan+1+an+1an=nn+2+n+2n>2nn+2⋅n+2n=2，n=1，2，…，
所以b1+b2+...+bn>2n．
又因为bn=nn+2+n+2n=2+2n-2n+2，n=1，2，…，
所以b1+b2+...+bn=2n+2[(11-13)+(12-14)+...+(1n-1n+2)]=2n+3-2n+1-2n+2<2n+3．
综上，2n
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