人教A版文科数学课时试题及解析（53）直线与圆锥曲线的位置关系B

人教A版文科数学课时试题及解析（53）直线与圆锥曲线的位置关系B

课时作业(五十三)B　[第53讲　直线与圆锥曲线的位置关系]‎ ‎ [时间：45分钟　分值：100分]‎ ‎1．双曲线－＝1上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎2．斜率为1的直线被椭圆＋y2＝1截得的弦长的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为135°的弦AB，则AB的长度是(　　)‎ A．4 B．‎4 C．8 D．8 ‎4．设抛物线C的顶点为原点，焦点F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点(2,2)，则直线l的方程为________． ‎5．动圆M的圆心M在抛物线y2＝4x上移动，且动圆恒与直线l：x＝－1相切，则动圆M恒过点(　　)‎ A．(－1,0) B．(－2,0)‎ C．(1,0) D．(2,0)‎ ‎6．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)‎ A．至多1个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎7．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为150°的直线交双曲线左支于M点，若MF1垂直于x轴，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．过原点的直线l被双曲线y2－x2＝1截得的弦长为2，则直线l的倾斜角为(　　)‎ A．30°或150° B．45°或135°‎ C．60°或120° D．75°或105°‎ ‎10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1、A2，一个虚轴端点为B，若它的焦距为4，则△A‎1A2B面积的最大值为________．‎ ‎11．如图K53－1，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于________．‎ 图K53－1‎ ‎12．抛物线y2＝4x过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．‎ ‎13． 双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．‎ ‎14．(10分)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O.‎ ‎15．(13分) 在直角坐标系xOy中，点M到点F1(－，0)、F2(，0)的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：y＝kx＋与轨迹C交于不同的两点P和Q.‎ ‎(1)求轨迹C的方程；‎ ‎(2)是否存在常数k，使以线段PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ 图K53－2‎ ‎16．(12分) 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F‎1F2|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率e；‎ ‎(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．‎ 课时作业(五十三)B ‎【基础热身】‎ ‎1．A　[解析] 双曲线的右顶点到右焦点的距离最小，最小值为2.故选A.‎ ‎2．B　[解析] 当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程y＝x代入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为M，，于是弦长为2|OM|＝.故选B.‎ ‎3．C　[解析] 抛物线的焦点为(1,0)，设弦AB所在的直线方程为y＝－x＋1代入抛物线方程，得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，由弦长公式，得|AB|＝＝8.故选C.‎ ‎4．y＝x　[解析] 由题意知，抛物线C的方程y2＝4x.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2， y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝1，‎ l：y－2＝x－2，即y＝x.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．C　[解析] 因为直线l是抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心M到F的距离等于M到抛物线准线l的距离．所以动圆M恒过抛物线的焦点F(1,0)．故选C.‎ ‎6．B　[解析] 依题意，圆心到直线的距离大于半径，即>2，所以m2＋n2<4，该不等式表明点(m，n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，而这个圆又在椭圆＋＝1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．故选B.‎ ‎7．C　[解析] 由题意知△F1MF2是直角三角形，且|F‎1F2|＝‎2c，∠MF‎2F1＝30°，‎ 所以|MF1|＝，于是点M坐标为.所以－＝1，即－＝1，将e＝代入，化简整理，得3e4－10e2＋3＝0，解得e2＝(舍去)，或e2＝3，所以e＝.故选C.‎ ‎8．A　[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝1－x代入椭圆方程，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，则＝，即线段AB中点的横坐标为，代入直线方程y＝1－x得纵坐标为，所以过原点与线段AB中点的直线的斜率为＝.故选A.‎ ‎9．C　[解析] 设直线l方程为y＝kx，代入双曲线方程得(k2－1)x2＝1，∴x＝±，y＝±，‎ ‎∴两交点的坐标为A，‎ B，‎ 由两点间距离公式得，|AB|2＝2＋2＝(2)2，解得k＝±，‎ ‎∴倾斜角为60°或120°.‎ ‎10．2　[解析] 依题意，S△A‎1A2B＝ab≤＝＝2，所以△A‎1A2B面积的最大值为2.‎ ‎11.　[解析] 设椭圆的半焦距为c.因为四边形OABC为平行四边形，∵BC∥OA，|BC|＝|OA|，所以点C的横坐标为，代入椭圆方程得纵坐标为.因为∠OAB＝30°，‎ 所以＝×，即a＝3b，a2＝‎9a2－‎9c2，‎ 所以‎8a2＝‎9c2，所以离心率e＝.‎ ‎12．y2＝2(x－1)　[解析] 抛物线焦点为F(1,0)，设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x，y)，则y＝4x1，y＝4x2，作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)①.将y1＋y2＝2y，＝代入①式，得2y·＝4，‎ 即y2＝2(x－1)．‎ ‎13．(1，)　[解析] 双曲线的渐近线为bx±ay＝0，依题意有即b<‎2a，所以c2－a2<‎4a2，那么e＝<.又e>1，所以e∈(1，)．‎ ‎14．[解答] 证明：设过焦点F的直线AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由消去x，得y2－2pmy－p2＝0，‎ ‎∴y1y2＝－p2.‎ ‎∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，‎ ‎∴点C的坐标为.‎ kCO＝＝＝＝kOA，故AC过原点O.‎ ‎15．[解答] (1)∵点M到(－，0)，(，0)的距离之和是4，‎ ‎∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上，焦距为2的椭圆，‎ 其方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入曲线C的方程，‎ 消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0.①‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由方程①，‎ 得x1＋x2＝－，x1x2＝.②‎ 又y1·y2＝(kx1＋)(kx2＋)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2.③‎ 若以PQ为直径的圆过原点，则·＝0，‎ 所以x1x2＋y1y2＝0，‎ 将②、③代入上式，解得k＝±.‎ 又因k的取值应满足Δ>0，即4k2－1>0(*)，将k＝±代入(*)式知符合题意．∴k＝±.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，因为|PF2|＝|F‎1F2|，所以＝‎2c，整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝，所以e＝.‎ ‎(2)由(1)知a＝‎2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝‎12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．‎ A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c.得方程组的解不妨设A，B(0，－c)，所以|AB|＝＝c.‎ 于是|MN|＝|AB|＝‎2c.‎ 圆心(－1，)到直线PF2的距离 d＝＝.‎ 因为d2＋2＝42，‎ 所以(2＋c)2＋c2＝16，整理得‎7c2＋‎12c－52＝0.‎ 得c＝－(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.‎