【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第九章44双曲线作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第九章44双曲线作业

‎【课时训练】双曲线 一、选择题 ‎1．(2018广州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意解得∴双曲线C的方程为－＝1.‎ ‎2．(2018福州质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)‎ A．11 B．9 ‎ C．5 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝‎2a＝6，∴|PF2|＝9.故选B.‎ ‎3．(2018庐江第二中学1月月考)已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由b＝a‎1c1，得a－c＝a‎1c1，∴e1＝＝.‎ 由b＝a‎2c2，得c－a＝a‎2c2，‎ ‎∴e2＝＝.‎ ‎∴e1e2＝×＝1.‎ ‎4．(2018辽宁凌源联考)已知圆E：(x－3)2＋(y＋m－4)2＝1(m∈R)，当m变化时，圆E上的点与原点O的最短距离是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率，则双曲线C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎【答案】C ‎【解析】圆E的圆心到原点的距离d＝，所以当m＝4时，圆E上的点与原点O的距离最短，为3－1＝2，即双曲线C的离心率e＝＝2.所以＝＝，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选C.‎ ‎5．(2018南昌联考)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝||，则双曲线的离心率为(　　)‎ A.－1 B. C. D.＋1‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵＝－，‎ ‎∴(＋)·＝(＋)·(－)＝0，‎ 即2－2＝0.∴||＝||＝c.‎ 在△MF‎1F2中，边F‎1F2上的中线等于|F‎1F2|的一半，可得⊥.‎ ‎∵||＝||，‎ ‎∴可设||＝λ(λ>0)，||＝λ，‎ 得(λ)2＋λ2＝‎4c2，解得λ＝c.‎ ‎∴||＝c，||＝c.‎ ‎∴根据双曲线定义，得‎2a＝||－||＝(－1)c.‎ ‎∴双曲线的离心率e＝＝＋1.‎ ‎6．(2018河南中原名校联考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(1,2)‎ C．(1,1＋) D．(2,1＋)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意易知点F的坐标为(－c,0)，‎ A，B，E(a,0)，　‎ ‎∵△ABE是锐角三角形，∴·>0.‎ 即·＝·>0，‎ 整理，得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0.‎ ‎∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)．‎ 又e>1，∴e∈(1,2)．故选B.‎ 二、填空题 ‎7．(2018辽宁沈阳月考)已知方程mx2＋(2－m)y2＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是__________．‎ ‎【答案】(－∞，0)∪(2，＋∞)‎ ‎【解析】∵mx2＋(2－m)y2＝1表示双曲线，∴m(2－m)＜0.解得m＜0或m＞2.‎ ‎8．(2018天津河西区质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由定义，知|PF1|－|PF2|＝‎2a.‎ 又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.‎ 在△PF‎1F2中，由余弦定理，‎ 得cos∠F1PF2＝＝－e2.‎ 要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，‎ ‎∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，‎ 即e的最大值为.‎ 三、解答题 ‎9．(2018石家庄模拟)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F‎1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3 ∶7.‎ ‎(1)求这两个曲线的方程；‎ ‎(2)若P为这两个曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ ‎【解】(1)由已知c＝，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，‎ 双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，‎ 则 解得 ‎∴b＝6，n＝2.‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1，‎ 双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，‎ 则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，‎ ‎∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.‎ 又|F‎1F2|＝2，‎ ‎∴cos∠F1PF2＝ ‎＝＝.‎ ‎10．(2018河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝－x之间的阴影部分为W.区域W中动点P(x，y)到l1，l2的距离之积为1.‎ ‎(1)求点P的轨迹C的方程．‎ ‎(2)动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B 两点．若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．‎ ‎(1)【解】由题意得·＝1，‎ 所以|(x＋y)(x－y)|＝2.‎ 因为点P在区域W内，所以x＋y与x－y同号，‎ 所以(x＋y)(x－y)＝x2－y2＝2，‎ 所以点P的轨迹C的方程为－＝1.‎ ‎(2)【证明】设直线l与x轴相交于点D.‎ 当直线l的斜率不存在时，|OD|＝，‎ ‎|AB|＝2，‎ S△OAB＝|AB|·|OD|＝2.‎ 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，显然k≠0，m≠0，则D.‎ 把直线l的方程与C：x2－y2＝2联立得 ‎(k2－1)x2＋2kmx＋m2＋2＝0.‎ 由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知Δ＝4k‎2m2‎－4(k2－1)·(m2＋2)＝0，得m2＝2(k2－1)＞0，‎ 所以k＞1或k＜－1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得y1＝， 同理得y2＝.‎ 所以S△OAB＝|OD||y1－y2|＝＝＝2.‎ 综上， △OAB的面积恒为定值2.‎ ‎11．(2018湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的△ABC中，tan∠BAC＝－，且＝2，现建立以A点为坐标原点，以∠BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示．‎ ‎(1)求AB，AC所在直线的方程；‎ ‎(2)求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；‎ ‎(3)过点D分别作AB，AC所在直线的垂线DF，DE(点E，F为垂足)，求·的值．‎ ‎【解】(1)设∠CAx＝α，则由tan∠BAC＝tan2α＝＝－及α为锐角，得tanα＝2，‎ ‎∴AC所在直线方程为y＝2x，AB所在直线方程为y＝－2x.‎ ‎(2)设所求双曲线的方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，‎ C(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x2>0)．‎ 由＝2，得D.‎ ‎∵点D在双曲线上，‎ ‎∴42－2＝λ.‎ ‎∴x1x2＝λ.①‎ 由tan∠BAC＝－，得sin∠BAC＝.‎ ‎∵|AB|＝＝x2，|AC|＝＝x1，‎ ‎∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin∠BAC ‎＝×5x1x2× ‎＝2x1x2＝9，代入①，‎ 得λ＝16，∴双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(3)由题意，知〈，〉＝π－∠BAC，‎ ‎∴cos〈，〉＝－cos∠BAC＝.‎ 设D(x0，y0)，则－＝1.‎ 又∵点D到AB，AC所在直线距离分别为||＝，||＝，‎ ‎∴·＝||||·cos〈，〉‎ ‎＝·×＝.‎