2017-2018学年福建省厦门双十中学高二下学期第二次月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年福建省厦门双十中学高二下学期第二次月考数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 福建省厦门双十中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知（为虚数单位，），，则（ ）‎ A. 3 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:先化简求出a和b的值，再求.‎ 详解：因为，所以1-ai+i+a=b+2i,‎ 所以（1+a）+(1-a)i=b+2i,所以 所以故答案为：D 点睛：(1)本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.‎ ‎(2)复数z=a+bi(a,b∈R),则.‎ ‎2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点为： ，‎ 双曲线的渐近线为： .‎ 点到渐近线的距离为： .‎ 故选B.‎ ‎3．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）是几组对应数据：‎ 根据上表的数据，求出关于的线性回归方程为，那么的值为（ ）‎ A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据已知表中数据，可计算出数据中心点（）的坐标，根据数据中心点一定在回归直线上，将（）的坐标代入回归直线方程y=0.7x+0.35，解方程可得t的值．‎ 详解：由已知中的数据可得： =（3+4+5+6）÷4=4.5， =（2.5+t+4+4.5）÷4=，‎ ‎∵数据中心点（）一定在回归直线上 ‎∴=0.7×4.5+0.35，解得t=3.‎ 故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查回归方程，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)回归直线经过样本中心点（）.‎ ‎4．已知，则（ ）‎ A. 256 B. 257 C. 254 D. 255‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先令x=0得到的值，令x=1,得到的值，再利用二项式展开式的通项求，最后求出的值.‎ 详解：令x=0得 令x=1得=‎ 二项展开式的通项为，令r=0得的系数为.‎ 所以256-1-1=254. 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平. (2)求二项展开式的系数问题，常用赋值法.‎ ‎5．函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．‎ 详解：由于f（x）=x+cosx，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣x+cosx，‎ ‎∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），‎ 故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；‎ 又当x=时，x+cosx=x，‎ 即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．‎ 故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)确定函数的图像，一般通过研究函数的性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性等）来确定.‎ ‎6．下列命题：①在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率， 越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】对于①，在回归分析模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量 的贡献率， 越接近于1，表示回归效果越好，正确，因为相关指数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，①正确．‎ 对于②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；‎ 对于③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；正确；‎ 对于④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度越大.错误，因为在对分类变量与进行独立性检验时，随机变量的观测值越大，则“与相关”可信程度越大，故④错误；‎ 故选C ‎7．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭分配到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是（ ）‎ A. 216 B. 420 C. 720 D. 1080‎ ‎【答案】D ‎【解析】先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有种不同的分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有种不同的分配方案．‎ 点睛：本题考查组合和排列的综合应用题，本题的难点是平均分组，要求搞清“平均分组”，如本题中将6个元素分成4组，其中有两组含2个元素，所以涉及平均分组，即有种不同的分组方法.‎ ‎8．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（ ）‎ A. 《雷雨》只能在周二上演 B. 《茶馆》可能在周二或周四上演 C. 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D. 四部话剧都有可能在周二上演 ‎【答案】C ‎【解析】由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C.‎ ‎9．设，则二项式展开式中含项的系数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析： ,二项式的通项公式为,令,得,故展开式中含项的系数是,故选A.‎ 考点：1、定积分的应用；2、二项式定理的应用. ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查定积分的应用、二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎10．从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:直接利用条件概率公式求解.‎ 详解：由条件概率公式得.故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对条件概率的掌握水平.(2) 条件概率一般有“在已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.‎ ‎11．学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先分别求出再打2，3,4局，小明连胜2盘并最后获胜的概率，最后求出小明连胜2盘并最后获胜的概率.‎ 详解：如果再打2局，小明连胜2盘并最后获胜的概率为.‎ 如果再打3局，小明连胜2盘并最后获胜的概率为.‎ 如果再打4局，小明连胜2盘并最后获胜的概率为.‎ 所以小明连胜2盘并最后获胜的概率为故答案为：C 点睛：本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12．若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎　若关于的方程等价于，令，的两根一正一负，由在 上递增，在 上递减，且 时，结合 的图象可知，要使关于的方程存在三个不等实根，只需令的正根满足，即可，解得，故选A.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ ‎13．已知是方程的实根，则下列关于实数的判断正确有______. ‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎【答案】③.‎ ‎【解析】令 ，则 ，函数 在定义域内单调递增，‎ 方程即： ，即 ，‎ 结合函数的单调性有： .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．‎ ‎(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎14．已知随机变量服从正态分布，且，则_______.‎ ‎【答案】0.15. ‎ ‎【解析】分析：求出P（1≤X≤2），于是P（X＞2）=P（X＞1）﹣P（1≤X≤2）．‎ 详解：P（1≤X≤2）=P（0≤X≤1）=0.35，‎ ‎∴P（X＞2）=P（X＞1）﹣P（1≤X≤2）=0.5﹣0.35=0.15．‎ 故答案为：0.15‎ 点睛：本题主要考查了正态分布的对称性，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.‎ ‎15．已知随机变量，且随机变量，则的方差_______.‎ ‎【答案】12.‎ ‎【解析】分析：先求出,再求的方差.‎ 详解：因为随机变量，所以.‎ 所以.故答案为：12‎ 点睛：（1）本题主要考查二项分布的期望方差的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.（2）如果则 ‎ ‎.‎ ‎16．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是以为直角顶点的等腰三角形，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，根据双曲线的定义，有，即.， ，故三角形面积为.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.解答直线与圆锥曲线位置关系题目时，首先根据题意画出曲线的图像，然后结合圆锥曲线的定义和题目所给已知条件来求解.利用题目所给等腰直角三角形，结合定义可求得直角三角形的边长，由此求得面积.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某高中为了解高中学生的性别和喜欢打篮球是否有关，对50名高中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢打篮球的学生的概率为 ‎（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；‎ ‎（Ⅱ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关？‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 没有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关 ‎【解析】分析：第一问利用条件在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢打篮球的学生的概率为，求得喜欢打篮球的人数，从而求得不喜欢打篮球的人数，利用题中的表格可以补全结果，第二问根据列联表求得的值，对照临界值可知没有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关.‎ 详解：（Ⅰ）根据题意，喜欢打篮球的人数为50×=30，‎ 则不喜欢打篮球的人数为20， ‎ 填写2×2列联表如下：‎ ‎（Ⅱ）根据列联表中数据，计算 K2===3＜7.879，‎ 对照临界值知，没有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关．‎ 点睛：该题所考查的是有关列联表以及独立检验的问题，只要将题中的条件利用好，即可求得结果，第二问就是死公式，熟记即可得结果.‎ ‎18．北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市200000名高中女生的身高（单位：）服从正态分布.现从某高中女生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部在和之间，现将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.‎ ‎（1）求这50名女生身高不低于172的人数；‎ ‎（2）在这50名女生身高不低于172的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前260名的人数记为，求的数学期望.‎ 参数数据：，‎ ‎.‎ ‎【答案】(1)10.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（1）先求后3组频率，再求50名女生身高不低于172cm的人数.(2)先求随机变量可取0，1，2，再求其概率，最后写出其分布列，求出其数学期望.‎ 详解：（1）由直方图知，后3组频率为，‎ 所以人数为，即这50名女生身高不低于172cm的人数为10人；‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴，则全市高中女生的身高在180cm以上的有260人，这50人中180cm以上的有2人.‎ 随机变量可取0，1，2，‎ 于是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴.‎ 点睛：（1）本题主要考查概率的计算，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 则称 …… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．‎ ‎19．如图，已知， ， ，平面平面， ， ， 为中点.‎ ‎（Ⅰ）证明： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：设中点为，连可证∴‎ 进而证明平面.又平面，∴，∴又∴∴∵， 平面， ‎ 平面，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系，得到相应点的坐标和向量的坐标，设平面的法向量，可得， ，即可求得直线与平面所成角的余弦值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：设中点为，连 ‎∵为中点，∴‎ 又由题意， ∴，且 ‎∴四边形为平等四边形，∴‎ ‎∵ ∴，又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面.‎ 又平面，∴，∴又∴∴‎ ‎∵， 平面， 平面，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系， ， ， ， ，设平面的法向量，则∴取， ‎ ‎∴ ‎ 设直线与平面所成角为，则，∴‎ 即直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎20．‎ 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数,表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表所示:‎ 根据以上数据,绘制了散点图.‎ ‎(1)根据散点图判断,在推广期内, 与(均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立关于的回归方程,并预测活动推出第天使用扫码支付的 人次；‎ ‎(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下 车队为缓解周边居民出行压力,以万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为万元.已知该线路公交车票价为元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠,有的概率享受折优惠,有的概率享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要年才能开始盈利,求的值.‎ 参考数据:‎ 其中其中 参考公式:‎ 对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: .‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)活动推出第天使用扫码支付的人次为;(3)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；‎ ‎（2）对两边取对数可得，记 ‎ 把方程转化为熟知的回归直线方程问题；‎ ‎（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：；求出相应的概率值，然后求出一名乘客一次乘车的平均费用1.66，由题意可知： ，解不等式即可.‎ 详解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；‎ ‎（2），两边同时取常用对数得： ；‎ 设 ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 把样本中心点代入,得: ，‎ ‎，，‎ 关于的回归方程式：；‎ 把代入上式: ；‎ 活动推出第天使用扫码支付的人次为；‎ ‎（3）记一名乘客乘车支付的费用为，‎ 则的取值可能为：；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎ ；‎ ‎，‎ 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：‎ ‎ （元）‎ 由题意可知： ‎ ‎，所以，取；‎ 估计这批车大概需要7年才能开始盈利.‎ 点睛：：求线性回归直线方程的步骤 ‎（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；‎ ‎（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；‎ ‎（3）求： ；‎ ‎（4）写出回归直线方程．‎ ‎21．（题文）已知椭圆的长轴长为，且椭圆与圆的公共弦长为 ‎（1）求椭圆的方程. ‎ ‎（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设， 的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．‎ 试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆： 的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）直线的解析式为，设， 的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，所以， .因为，所以，即，所以.当时， ‎ ‎，所以；当时， ，所以.‎ 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，且，证明：.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意x>0，由此根据k≤0，k>0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值． （2）问题转化为，对于x∈[e，e2]恒成立，令，则，令，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围． （3）设，则，要证，只要证，即证，由此利用导数性质能证明.‎ 试题解析：‎ ‎（1）， ‎ ‎①时，因为，所以，‎ 函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； ‎ ‎②当时，令，解得，‎ 当时，；当，．‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， ‎ 在区间上的极小值为，无极大值． ‎ ‎（2）由题意，，‎ 即问题转化为对于恒成立，‎ 即对于恒成立， ‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 所以在区间上单调递增，故，故，‎ 所以在区间上单调递增，函数． ‎ 要使对于恒成立，只要，‎ 所以，即实数k的取值范围为． ‎ ‎（3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．‎ 不妨设，则，‎ 要证，只要证，即证．‎ 因为在区间上单调递增，所以，‎ 又，即证， ‎ 构造函数，‎ 即，．‎ ‎ ，‎ 因为，所以，即，‎ 所以函数在区间上单调递增，故，‎ 而，故， ‎ 所以，即，所以成立． ‎ 证法2 要证成立，只要证：. ‎ 因为，且，所以，‎ 即，，‎ 即，‎ ‎，同理，‎ 从而， ‎ 要证，只要证，‎ 令不妨设，则，‎ 即证，即证，‎ 即证对恒成立， ‎ 设，，‎ 所以在单调递增，，得证，所以.‎