【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第24讲平面向量的概念及其线性运算学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第24讲平面向量的概念及其线性运算学案

第四单元　平面向量、数系的扩充与复数的引入 ‎1.编写意图 本单元内容是高中数 中的工具性知识,在近几年高考中主要考查三个方面:一是平面向量本身知识的基础题,多以选择题、填空题的形式出现,难度不大;二是以向量作为工具,考查与其他知识点的交汇与整合,以解答题为主;三是复数的概念及其运算,大多为选择题,较为简单.‎ 因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导 生用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识解决这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的“新热点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严格控制难度,用于加强 生对各个知识点之间联系的渗透,构建知识 络,提高综合应用能力;(3)复数考查基本运算,要掌握常规方法和常规运算.‎ ‎2.教 建议 本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习中应注意下面几点:‎ ‎(1)向量的运算在高考中一定会有考查,并且难度较大,在复习中要注意对该部分知识进行拓展和提升;(2)向量的数量积在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉及,但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练;(3)复数在高考中一般位于前几道题的位置,难度不大,注意基本概念的理解和基本运算的训练.‎ ‎3.课时安排 本单元共4讲和一个小题必刷卷(七),每讲建议1课时完成,小题必刷卷(七)课外完成,共需4课时.‎ 第24讲　平面向量的概念及其线性运算 考试说明 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.‎ ‎2.理解向量的几何意义.‎ ‎3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.‎ ‎4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.‎ ‎5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ 考情分析 考点 考查方向 考例 考查热度 平面向量的概念 概念辨析、应用等 ‎★☆☆‎ 平面向量的线性运算 加、减、数乘运算及其应用 ‎2016全国卷Ⅱ3,2015全国卷Ⅰ7‎ ‎★★☆‎ 共线向量 根据向量共线确定参数值、应用等 ‎2015全国卷Ⅱ13‎ ‎★☆☆‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎1.[2015·全国卷Ⅰ 设D为△ABC所在平面内一点,=3,则 (　　)‎ A.=-+‎ B.=-‎ C.=+‎ D.=-‎ ‎[解析 A　由题意知=+=+=+ (-)=-+.‎ ‎2.[2015·全国卷Ⅱ 设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　. ‎ ‎[答案 ‎ ‎[解析 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.‎ ‎■ [2016-2015 其他省份类似高考真题 ‎[2016·北京卷 设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 (　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎[解析 D　若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.大小　方向　大小　长度　|a|　||　0　0　1　1‎ 相同　长度　相同　长度　相反　-a　不确定的　任意的 平行 ‎2.和　三角形　平行四边形　b+a　a+(b+c)　相反向量 三角形　a+(-b)　向量　数乘　λa　|λ||a|　相同　相反 ‎0　λa+λb　λ‎1a+λ‎2a ‎3.b=λa 对点演练 ‎1.　[解析 -+-+++=(++++)-(+)=.‎ ‎2.(4)　[解析 根据向量的概念可知(4)错误.‎ ‎3. (a+b)　[解析 ∵+=,+=,=-,∴= (+)= (a+b).‎ ‎4.2　[解析 因为e1与e2不共线,且a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,所以存在μ∈R,使e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得所以λ=2.‎ ‎5.②　[解析 对于①,由于与是相反向量,所以+=0,①错误;对于②,由于a∥b且|a|>|b|>0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,②正确;对于③,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以③错误.‎ ‎6.等腰梯形　[解析 =表示与共线,但||≠||,所以四边形ABCD是梯形,又||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.‎ ‎7.[2,6 　[解析 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6 .此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)将已知等式整理成a=λb的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.‎ ‎(1)C　(2)①②　[解析 (1)由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使+=0成立.选项A中向量a与b的方向相同,选项B中向量a与b共线,方向相同或相反,选项C中向量a与b的方向相反,选项D中向量a与b互相垂直,故选C.‎ ‎(2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.‎ ‎②不正确.当b=0时,a∥b,b∥c,但a与c不一定平行.‎ ‎③正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.‎ ‎④正确.因为与共线,且与有公共点B,所以A,B,C三点在同一条直线上.‎ 变式题　(1)D　(2)A　[解析 (1)A中,与的长度相等,但方向不同,所以A错误;B中,与的长度相等,但方向不同,所以B错误;C中,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也相同,即=.故选D.‎ ‎(2)对于①,因为=,所以||=||且与共线,又因为A,B,C,D是不共线的四个点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则与共线且||=||,所以=,故①正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误.向量与互为相反向量,故③错误.‎ 对于④,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,即a=c,故④正确.故选A.‎ 例2　[思路点拨 (1)首先根据条件4=+2构造平行四边形ABEF,然后结合三角形相似的性质求解;(2)以向量,为邻边作平行四边形,通过判断平行四边形的形状来确定△ABC的形状.‎ ‎(1)D　(2)直角三角形　[解析 (1)如图所示,延长AC到点F,使AC=CF,以AB,AF为邻边作平行四边形ABEF,对角线AE交BC于点D,故4=+2=,即点O在AE上,则△AOB与△AOC的高分别为B,C到AE的距离.由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB,且相似比为1∶2,即CD∶BD=1∶2,又因为△AOB,△AOC的底边均为AO,高的比等于BD∶DC=2∶1,所以△AOB与△AOC的面积之比为2∶1.‎ ‎(2)由|+|=|-|可知,以向量,为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形为矩形,故⊥,即△ABC为直角三角形.‎ 例3　[思路点拨 (1)首先利用三角形法则与向量共线的性质表示出向量,然后利用三角形法则表示出.(2)由=+确定点D的位置,从而确定两三角形面积的关系.‎ ‎(1)B　(2)B　[解析 (1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得=,=+,=,=+,则= (+),所以=+=++,所以=++,所以=+=+++=+=-,故选B.‎ ‎(2)由=+得点D在平行于AB的中位线上,从而有S△ABD=S△ABC,又S△ACD=S△ABC,所以S△BCD=1--S△ABC=S△ABC,所以=.故选B.‎ 例4　[思路点拨 利用P是直线BN上一点,可设=n,然后用m,n及,表示出向量,对照已知条件即可求得m的值.‎ A　[解析 ∵=,∴=.∵P是直线BN上一点,∴设=n,则 -=n(-),即=(1-n)+n=(1-n)+=m+,则n=3,所以m=1-n=-2.故选A.‎ 强化演练 ‎1.A　[解析 +=(-)+(+)=+=+= (+)=,故选A.‎ ‎2.A　[解析 由题意得+=2,又+=-2=2,所以=,故选A.‎ ‎3.D　[解析 =-=-=+-+=-,故选D.‎ ‎4.　[解析 设=a,=b,以,为邻边作平行四边形OACB,则||=|a-b|,||=|a+b|.∵|a|=|b|=1,且|a-b|=,∴||=|a|=|b|,∴平行四边形OACB是正方形,∴||=||=,即|a+b|=.‎ ‎5.2　[解析 因为O是BC的中点,所以+=2,即m+n=2,则=m+n.又因为O,M,N三点共线,所以m+n=1,即m+n=2.‎ 例5　[思路点拨 根据平面向量共线定理,引入实数μ使得2e1-e2=μ(e1+λe2),然后通过比较系数建立方程组求解.‎ A　[解析 若向量a与b共线,则存在实数μ使得2e1-e2=μ(e1+λe2),则有解得λ=-,故选A.‎ 例6　[思路点拨 (1)首先根据向量加减法法则寻找A,B,C,D四点中任意三个点对应向量间的关系,然后利用共线定理进行判断;(2)首先将A,B,C三点共线问题转化为与共线问题,然后利用向量共线定理求解.‎ ‎(1)A　(2)D　[解析 (1)∵=a+5b,=‎-3a+6b,=‎4a-b,∴=+=(‎-3a+6b)+(‎4a-b)=a+5b=,∴A,B,D三点共线,故选A.‎ ‎(2)由A,B,C三点共线,得与共线,则存在实数μ,使得=μ,则有解得λ=μ=-1或2,故选D.‎ 强化演练 ‎1.A　[解析 ①a=b,∴a,b共线;②a=-6-e1+e2=-6b,∴a,b共线;③b=-2(e1-e2),不存在λ∈R,使得a=λb成立,∴a,b不共线.故选A.‎ ‎2.D　[解析 由=+,得-=,∴=·,∴点P在射线AB上,故选D.‎ ‎3.D　[解析 由题意知,存在实数λ,使a=λb,即e1+ e2=λ( e1+e2),由向量相等得解得 =±1,故选D.‎ ‎4.B　[解析 设E是BC边的中点,则 (+)=.由题意得=,所以== (+)=+,又因为B,O,D三点共线,所以+=1,解得t=,故选B.‎ ‎【备选理由】例1对共线定理加深理解,例2、例3是两个综合性较强的题目,可供 有余力的 生选用.‎ ‎1　[配合例5使用 [2017·北京海淀区期中 在△ABC中,点D满足=2-,则(　　)‎ A.点D不在直线BC上 B.点D在线段BC的延长线上 C.点D在线段BC上 D.点D在线段CB的延长线上 ‎[解析 D　由=2-⇒-=-⇒=,故点D在线段CB的延长线上,故选D.‎ ‎2　[配合例4使用 [2017·上海黄浦区二模 如图所示,∠BAC=,圆M与AB,AC分别相切于点D,E,AD=1,点P是圆M内任意一点(含边界),且=x+y(x,y∈R),则x+y的取值范围为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎[解析 B　连接AM并延长,线段AM及其延长线分别交圆M于Q,T两点,连接DE,与AM交于点R,显然=+,此时x+y=1.由于AD=AE=1,∠BAC=,∴AM=2,DM=.∵点P是圆M内任意一点(含边界),∴2-≤AP≤2+,且当A,P,M三点共线时x+y取得最值.当P位于Q点时,AQ=2-,AR=,则==(4-2)=(2-)+(2-),此时x+y取得最小值4-2;同理可得,当点P位于T点时,=(2+)+(2+),此时x+y取得最大值4+2.故选B.‎ ‎3　[配合例3使用 [2017·乐山调研 如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是圆弧AB的两个三等分点,=a,=b,则= (　　)‎ A.a-b B. a-b C.a+b D. a+b ‎[解析 D　连接OC,OD,CD,由点C,D是圆弧AB的两个三等分点,得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,且△OAC和△OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以=+=+=a+b,故选D.‎