【数学】2018届一轮复习人教A版（理）7-1不等式的性质与一元二次不等式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）7-1不等式的性质与一元二次不等式学案

‎§7.1　不等式的性质与一元二次不等式 考纲展示►　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．‎ ‎2．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．‎ ‎3．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．‎ ‎4．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．‎ 考点1　不等式的性质 ‎1.两个实数比较大小的方法 答案：(1)>　＝　<　(2)>　＝　<‎ ‎2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔________‎ ‎⇔‎ 传递性 a>b，b>c⇒________‎ ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔________‎ ‎⇔‎ 可乘性 ⇒________‎ 注意c 的符号 ⇒________‎ 续表 性质 性质内容 特别提醒 同向可 加性 ⇒________‎ ‎⇒‎ 同向同正 可乘性 ⇒________‎ ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇔________(n∈N，n≥1)‎ a，b同 为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)‎ 答案：bc　a＋c>b＋c　ac>bc　‎ acb＋d　ac>bd>0　an>bn ‎3．不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质：‎ ‎①a>b，ab>0⇒________.‎ ‎②a<0b>0,0b>0，m>0，则 ‎①<；>(b－m>0)．‎ ‎②>；<(b－m>0)．‎ 答案：(1)①<　②<　③>　④<　<‎ 不等式性质的两个易错点：不等号的传递性；可乘性．‎ ‎(1)若a＞b，b≥c，则a与c的大小关系是________．‎ 答案：a＞c 解析：由a＞b，b≥c，得a＞c.‎ ‎ (2)若a＞b，则ac与bc的大小关系是________．‎ 答案：不确定 解析：若c＞0，则ac＞bc；若c＜0，则ac＜bc；若c＝0，则ac＝bc.‎ ‎1.比较两个数大小的方法：差值法；商值法．‎ ‎(1)若ab>0，且a>b，则与的大小关系是________．‎ 答案：< 解析：∵a>b，∴b－a<0，‎ 又ab>0，∴－＝<0，即<.‎ ‎(2)1618与1816的大小关系是________. ‎ 答案：1618＞1816‎ 解析：＝＝16·162‎ ‎＝16·28＝8·28＝8＞1，‎ 故1618＞1816.‎ ‎2．不等式性质的两个应用：确定取值范围；求最值. ‎ ‎(1)若－<α<β<，则α－β的取值范围为________．‎ 答案：(－π，0)‎ 解析：因为－<α<，－<－β<，‎ 所以－π<α－β<π.‎ 又α<β，所以α－β<0，所以－π<α－β<0.‎ ‎(2)若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．‎ 答案：27‎ 解析：由3≤xy2≤8,4≤≤9，可知x>0，y>0，且≤≤，16≤≤81，可得2≤≤27，故的最大值是27.‎ ‎[典题1]　(1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a‎1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)‎ A．MN C．M＝N D．不确定 ‎[答案]　B ‎[解析]　M－N＝a‎1a2－(a1＋a2－1)‎ ‎＝a‎1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，‎ 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，‎ ‎∴a1－1<0，a2－1<0，‎ ‎∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M >N.‎ ‎(2)如果a0，ab>0，故－＝>0，>，故A项错误；‎ 对于B项，由a0，ab>b2，故B项错误；‎ 对于C项，由a0，a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；‎ 对于D项，由a0，故－－＝<0，－<－成立，故D项正确．‎ 解法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，‎ 则＝－>＝－1，ab＝2>b2＝1，‎ ‎－ab＝－2>－a2＝－4，－＝<－＝1.故A，B，C项错误，D项正确．‎ ‎(3)已知－10，解得x>2或x<；当a＝0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.‎ ‎ [典题2]　(1)已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞3的解集为________．‎ ‎[答案]　{x|x>1}‎ ‎[解析]　由题意知，‎ 或 解得x＞1.‎ 故原不等式的解集为{x|x＞1}．‎ ‎(2)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．‎ ‎[解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.‎ ‎①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，‎ 解得x≤－1；‎ ‎②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1；‎ ‎③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.‎ 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；‎ 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；‎ 当＜－1，即－20在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 答案：(0,8)‎ 解析：∵x2－ax＋‎2a>0在R上恒成立，‎ ‎∴Δ＝a2－4×‎2a<0，解得00对任意实数x恒成立，所以Δ＝a2－4×3×1<0，解得－20，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．‎ ‎2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．‎ ‎3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·北京卷]已知x，y∈R，且x＞y＞0，则(　　)‎ A.－＞0 B．sin x－sin y＞0‎ C.x－y＜0 D．ln x＋ln y＞0‎ 答案：C 解析：解法一：因为x>y>0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－1<0，排除A；选项B，取x＝π，y＝，则sin x－sin y＝sin π－sin ＝－1<0，排除B；选项D，取x＝2，y ‎＝，则ln x＋ln y＝ln(xy)＝ln 1＝0，排除D.故选C.‎ 解法二：因为函数y＝x在R上单调递减，且x>y>0，所以xb>1,00，所以y＝xc为增函数，又a>b>1，所以ac>bc，故A错；对于选项B，abc0恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[审题视角]　将恒成立问题转化为最值问题求解．‎ ‎[解析]　∵x∈[1，＋∞)时，‎ f(x)＝>0恒成立，‎ 即x2＋2x＋a>0恒成立．‎ 即当x≥1时，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立．‎ 而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.‎ ‎∴实数a的取值范围是{a|a>－3}．‎ ‎[答案]　{a|a>－3}‎ 方法点睛 本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．‎