数学理卷·2018届山东省济南外国语学校高三上学期12月考试试题（解析版）

数学理卷·2018届山东省济南外国语学校高三上学期12月考试试题（解析版）

高三数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】集合..‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎2. 定义一种运算如下：，则复数（是虚数单位）的模长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】复数.‎ 模长为.‎ 故选C.‎ ‎3. 原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（ ）‎ A. 逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题 B. 否命题为：若，则，都小于1，为假命题 C. 逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题 D. “”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，‎ 逆命题：“，为两个实数，若，中至少有一个不小于1，则，”‎ 否命题：“，为两个实数，若，则，中都小于1”‎ 逆否命题：“若，都小于1，则，为真命题”.‎ 逆否命题显然为正，故原命题也为真；‎ 当，则不成立，即逆命题为假命题.‎ 所以“”是“，中至少有一个不小于1”充分不必要条件.‎ 故选D.‎ ‎4. “石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，‎ 可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为，‎ ‎∴小军和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，‎ 则小军和大年比赛至第四局小军胜出，由指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，‎ ‎∴小军和大年比赛至第四局小军胜出的概率是：‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎5. 若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎6. 已知函数，则是（ ）‎ A. 奇函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递增 C. 奇函数，且在上单调递减 D. 偶函数，且在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域为R，‎ ‎，，所以.‎ 因此函数是偶函数；‎ 令，当时，，在上单调递增 根据复合函数的单调性的判定方法，可知：函数在上单调递增。‎ 故选D.‎ ‎7. 设等差数列的前项和为，点在直线上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】点在直线上，所以.‎ ‎.‎ 故选B.‎ ‎8. 若，则，，，的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以.‎ ‎.‎ ‎,所以,.‎ 综上：.‎ 故选D.‎ ‎9. 函数的图象向左平移（）个单位后关于对称，且两相邻对称中心相距，则函数在上的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的图象向左平移（）个单位后得到： ‎ 两相邻对称中心相距，所以半周期为，所以 关于对称，所以.,因为，所以.‎ ‎.‎ ‎...‎ 当时取最小值-1.‎ 故选B.‎ 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以要必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言； 的图象由无穷多条对称轴，可由方程解出，它还有无穷多个对称中心，可由方程解得，即其对称中心为 ‎10.‎ ‎ 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题 只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种，‎ 故不同的分配方案为：，‎ 故选：A.‎ ‎11. 已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，图象关于(-2,2)中心对称；‎ ‎,且，所以是周期为2的函数，作出函数图象，.全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...‎ 由图象可得：方程在区间[−5,1]上的实根有3个，‎ 满足−5<<−4,满足；‎ ‎∴方程在区间[−5,1]上的所有实根之和为−7.‎ 故答案为C.‎ 点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：‎ ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.‎ ‎12. 已知是定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则有，所以在上为增函数.‎ ‎，则有：‎ 因为，所以即为，即.‎ 由在上为增函数得：，解得.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 某程序框图如图所示，若，则该程序运行后，输出的值为__________．‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】执行程序框图：‎ 满足，有；‎ 满足，有；‎ 满足，有；‎ 满足，有；‎ 不满足，输出.‎ 答案为：63.‎ ‎14. 已知函数（为常数），且，则__________．‎ ‎【答案】2018‎ ‎【解析】令，则.‎ 所以为R上的奇函数.‎ ‎.‎ 令，则为R上的奇函数.‎ 由得：，则有.‎ 解得.‎ 答案为：2018.‎ ‎15. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，则面积是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵,可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴,‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴,可得：B=C=45°，‎ 又∵，‎ ‎∴‎ 故答案为：2.‎ 点睛：在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.‎ ‎16. 若函数满足：对图象上任意点总存在点，也在图象上，使得成立，称函数是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：‎ ‎①；②；③；④；⑤．‎ 其中是“特殊对点函数”的序号是__________．（写出所有正确的序号）‎ ‎【答案】③④⑤‎ ‎【解析】由，满足，知，即.‎ ‎①‎ 当时，满足的点不在上，故①不是“特殊对点函数”；‎ ‎②.‎ 当时，满足的点不在上，故②不是“特殊对点函数”‎ ‎③.‎ 作出函数的图象，由图象知，满足的点都在图象上，则③是“特殊对点函数”；‎ ‎④.‎ 作出函数的图象，由图象知，满足的点都在图象上，则④是“特殊对点函数”；‎ ‎⑤.‎ 作出函数的图象，由图象知，满足的点都在图象上，则⑤是“特殊对点函数”‎ 答案为：③④⑤‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令设数列的前项和，求．‎ ‎【答案】(1) ,.(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）设数列{an}的公差为，数列的公式为，，．得解出即可得出． （2）由，，得，可得n为奇数，，为偶数时，，可得，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设数列的公差为，数列的公比为，‎ 由，，‎ 得解得 ‎∴，．‎ ‎（2）由，，得，‎ 则为奇数时，，为偶数时，，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎18. 在，已知，．‎ ‎（1）求与角的值；‎ ‎（2）若角，，的对边分别为，，，且，求，的值．‎ ‎【答案】(1) ，;(2) ，.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出； （2）利用正弦定理与余弦定理即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由正弦定理得，∴，‎ 另由，得 ，‎ 解得或（舍去），‎ ‎∴，．‎ ‎19. 已知函数．‎ ‎（1）若函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 的单调增区间为;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由二倍角公式及两角和公式得：，‎ 利用函数的图象关于直线对称，且时，求解，可求函数的单调增区间． （2）当时，求出函数的单调性，函数有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数 ，‎ ‎∵函数的图象关于直线对称，‎ ‎∴，且，∴（），‎ 由解得（），‎ 函数的单调增区间为（）．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即函数单调递增；‎ ‎，即函数单调递减．‎ 又，∴当 或时，函数有且只有一个零点，‎ 即或，‎ ‎∴．‎ ‎20. 某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：‎ 课程 数学1‎ 数学2‎ 数学3‎ 数学4‎ 数学5‎ 合计 选课人数 ‎180‎ ‎540‎ ‎540‎ ‎360‎ ‎180‎ ‎1800‎ 为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取10人进行分析．‎ ‎（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；‎ ‎（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为，选择数学1的人数为，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1) 至少有2人选择数学2的概率为;(2)见解析。‎ ‎【解析】试题分析：（1）从选出的10名学生中选修数学1的人应为1人，，同理可得选修数学2的人应为3人，选修数学3的人应为3人，选修数学4的人应为2人，选修数学1的人应为1人．从选出的10名学生中随机抽取3人共有，种选法，选出的这3人中至少有2人选择数学2的有种，即可得出这3人中至少有2人选择数学2的概率P． （2）X的可能取值为0，1，2，3．Y的可能取值为0，1．ξ的可能取值为-1，0，1，2，3．依次求概率．即可得出的分布列及其．‎ 试题解析：‎ 抽取的10人中选修数学1的人数应为人，‎ 选修数学2的人数应为人，选修数学3的人数应为人，‎ 选修数学4的人数应为人，选修数学5的人数应为人．‎ ‎（1）从10人中选3人共有 种选法，并且这120种选法出现的可能性是相同的，有2人选择数学2的选法共有种，有3人选择数学2的选法有种，所以至少有2人选择数学2的概率为．‎ ‎（2）的可能取值为0,1,2,3，的可能取值为0,1，‎ 的可能取值为，0,1,2,3．‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎∴的分布列 ‎∴．‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.‎ ‎21. 设是数列（）的前项和，已知，，设．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用得到，即可求得，从而得，即可证得；‎ ‎（2）由（1）得，利用错位相减求得的前n项和，进而利用分组求和即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 即，则，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 故数列的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 设，①‎ 则，②‎ ‎①②得：，‎ 所以，‎ ‎∴．‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎22. 已知函数．‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）时，取极大值；当时，取极小值；（2）实数的取值范围是。‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论导数的单调性即可得极值；‎ ‎（2）函数求导得，讨论，，和 时函数的单调性及最值即可下结论.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数定义域为，．‎ ‎，解得，，‎ 列表：‎ 极大值 极小值 所以时，取极大值；当时，取极小值．‎ ‎（2），‎ 当时，易知函数只有一个零点，不符合题意；‎ 当时，在上，，单调递减；‎ 在上，，单调递增；‎ ‎，且，→，→，‎ 所以函数有两个零点．‎ 当时，在和上，，单调递增；在上，单调递减；‎ ‎，函数至多有一个零点，不符合题意．‎ 当时，在和上，单调递增；在上，单调递减；‎ ‎，函数至多有一个零点，不符合题意．‎ 综上：实数的取值范围是．‎ 点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，‎ ‎（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；‎ ‎（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；‎ ‎（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎ ‎ ‎ ‎