湖南省邵阳市邵东县第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

湖南省邵阳市邵东县第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

湖南省邵东一中2018-2019学年下学期高二年级期末考试试题 数学（理）‎ 一 选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题所给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。)‎ ‎1.等差数列中，，，则数列的公差为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题已知，则由等差数列可得；。‎ 考点：等差数列的性质。‎ ‎2.三角形ABC中，，则∠B等于( )‎ A. 60° B. 30°或150° C. 60°或120° D. 120°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理求得的值，利用大边对大角可求得的范围，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，已知，‎ 所以由正弦定理可得，‎ 又因为，可得，所以或，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中合理应用正弦定理，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知命题p：∃x∈R，x2-x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判定命题的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定.‎ ‎【详解】命题p：∃x=0∈R，使x2-x+1≥0成立． ‎ 故命题p为真命题； ‎ 当a=1，b=-2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立， ‎ 故命题q为假命题， ‎ 故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题； ‎ 命题p∧￢q为真命题， ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．‎ ‎4.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），‎ 故选D.‎ 考点：双曲线的简单性质 ‎【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线 共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.‎ ‎5.下列命题为真命题的个数是（ ）‎ ‎①，是无理数； ‎ ‎②命题“∃∈R，”的否定是“∀x∈R，＋1≤3x”；‎ ‎③命题“若,则”的逆否命题为真命题；‎ ‎④ 。‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由①中，比如当时，就不成立；②中，根据存在性命题与全称命题的关系，即可判定；③中，根据四种命题的关系，即可判定；④中，根据导数的运算，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】对于①中，比如当时，就不成立，所以不正确；‎ 对于②中，命题“”的否定是“”，所以正确；‎ ‎③中，命题“若，则”为真命题，其逆否命题为真命题，所以正确；‎ 对于④中，根据导数的计算，可得，所以错误；‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及四种命题的关系，导数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）。‎ A. 一个圆上 B. 一个椭圆上 C. 双曲线的一支上 D. 抛物线上 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设动圆的半径为，然后根据动圆与圆及圆都外切得，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，即可求解.‎ ‎【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1；‎ 圆的圆心为，半径为3．‎ 依题意得，则，‎ 所以点的轨迹是双曲线的一支．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系和双曲线的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（　　）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意，易知，再分别求得的值，然后求得答案即可.‎ ‎【详解】在平行六面体中， ‎ 所以解得 所以 ‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.‎ ‎8.已知点P(x，y)的坐标满足条件那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为( )‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点到直线的最小值，即可求解．‎ ‎【详解】由约束条件 作出可行域，如图所示，‎ 由图可知，当与重合时，‎ 点到直线的距离最小为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎9.函数的导函数为，若不等式的解集为，且的极小值等于，则的值是( )。‎ A. B. C. 5 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导数，利用韦达定理，结合的极小值等于，即可求出的值，得到答案．‎ ‎【详解】依题意，函数，得的解集是，‎ 于是有，解得，‎ ‎∵函数在处取得极小值，‎ ‎∴，‎ 即，解得，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力，比较基础.‎ ‎10.设，，都为大于零的常数，则的最小值为（ ）。‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，乘以，然后展开由基本不等式求最值，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，知，可得，则，‎ 所以 当且仅当，即时，取等号，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意给要求的式子乘以是解决问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．‎ ‎11.如图 分别是椭圆 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等边三角形的性质，求得A点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】由题意知A，‎ 把A代入椭圆(a＞b＞0)，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 整理，得，∴，‎ ‎∵0＜e＜1，∴，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆与圆标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，∴在上单调递增，上单调递减，∴，又∵，，不等式只有两个整数解，∴，即实数的取值范围是故选C．‎ ‎【考点】本题主要考查导数的运用．‎ 二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.设曲线 在点处的切线方程_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导函数，得到函数在处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．‎ ‎【详解】由题意，函数的导数为，‎ 可得曲线在点处的切线斜率为，即切线的斜率为，‎ 则曲线在点处的切线方程为，即为，即．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14.已知向量与，则的最小值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】,所以，‎ 所以，‎ 故当时，的最小值是.‎ 考点：向量的模 点评：本题考查向量的模的最值，解题的关键是能准确的表示出模的函数，再求解最值.‎ ‎15.=________________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分的几何意义及其计算公式，可得结论．‎ ‎【详解】由题意，可得.‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了定积分的计算公式，以及定积分的几何意义的应用，其中解答中熟记定积分的计算公式，合理使用定积分的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16.直线与抛物线交于两点，且经过抛物线的焦点，已知，则线段的中点到准线的距离为___________________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线方程求得焦点坐标，设点坐标为，进而可得直线方程，把点代入可求得点坐标，进而根据抛物线的定义，即可求得答案．‎ ‎【详解】由题意，抛物线知，‎ 设点坐标为，由直线过焦点，所以直线的方程为，‎ 把点代入上式得，‎ 解得，所以，‎ 所以线段中点到准线的距离为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的关系的应用，其中解答中涉及抛物线的焦点弦的问题时，常常利用抛物线的定义来解决，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70 分）‎ ‎17.已知数列满足,且 ‎（1）求及；‎ ‎(2)设求数列的前n项和 ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，得到数列{}是公比为的等比数列，进而可求得和；‎ ‎（2）由（1）知，根据等差数列的定义，得到数列是首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列的求和公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，可知，且，则数列{}是公比为的等比数列，‎ ‎ 又由，解得，.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 又由，且，所以数列是首项为2，公差为-1的等差数列，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差、等比数的定义，以及等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.‎ ‎18.设的内角的对边分别为且.‎ ‎(1)求角 ‎(2)若求角及的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦定理，求得，即可求得.‎ ‎（2）由正弦定理，求得，得到，再由三角形的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意知，即，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 又，所以.‎ ‎（2）由正弦定理得，即，所以，‎ 又b

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