【数学】2019届一轮复习人教A版 　函数及其表示 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 　函数及其表示 学案

第二章　函数、导数及其应用 第4讲　函数及其表示 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．‎ ‎2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．‎ ‎3．了解简单的分段函数，并能简单应用．‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，15‎ ‎2017·山东卷，1‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，7‎ ‎2016·江苏卷，5‎ ‎2016·四川卷，5‎ ‎1．对函数的基本概念与定义域的考查很少单独出题，经常与指数函数、对数函数综合出题．‎ ‎2．考查函数的值域及最值．‎ ‎3．函数的表示方法，主要考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数问题．‎ ‎4．函数的新定义问题，主要考查函数的综合知识，以其他知识为背景，分析后仍然用函数知；识去解决，此类问题的综合性比较强．‎ 分值：5分 ‎1．函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有__唯一确定__的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域__.‎ ‎2．函数的表示方法 ‎(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__解析法__．‎ ‎(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__图象法__.‎ ‎(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__列表法__.‎ ‎3．函数的三要素 ‎(1)函数的三要素：__定义域__，对应关系，值域．‎ ‎(2)两个函数相等：如果两个函数的__定义域__相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．‎ ‎4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的__对应关系__不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．分段函数的定义域等于各段函数自变量取值的并集，分段函数的值域等于各段函数值的并集．‎ ‎5．映射的概念 一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的任意一个元素x，在集合B中都有__唯一确定__的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．‎ ‎6．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)函数是建立在其定义域到值域的映射．(　√　)‎ ‎(2)若函数的定义域和值域相同，则这两个函数是相等函数．(　×　)‎ ‎(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一函数．(　√　)‎ ‎(4)f(x)＝＋是一个函数．(　×　)‎ 解析　(1)正确．函数是特殊的映射．‎ ‎(2)错误．如函数y＝x与y＝x＋1的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，不是相等函数．‎ ‎(3)正确．函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域和对应关系相同．‎ ‎(4)错误．因为定义域为空集. ‎ ‎2．给出下列四个对应：‎ ‎①A＝R，B＝R，对应关系f：x→y，y＝；‎ ‎②A＝，B＝，对应关系f：a→b，b＝；‎ ‎③A＝{x|x≥0}，B＝R，对应关系f：x→y，y2＝x，x∈A，y∈B；‎ ‎④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，对应关系f：每一个矩形都对应它的外接圆．‎ 其中是从A到B的映射的为(　B　)‎ A．①③　　　 B．②④　　　‎ C．①④　　　 D．③④‎ 解析　对于①，当x＝－1时，y值不存在，所以①不是从A到B的映射；对于②，A，B是两个集合，分别用列举法表述为A＝{2,4，6，…}，B＝，由对应关系f：a→b，b＝知，②是从A到B的映射；③不是从A到B的映射，如A中元素1对应B中两个元素±1；④是从A到B的映射．‎ ‎3．下列四组函数中，表示同一函数的是(　A　)‎ A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝·，g(x)＝ 解析　A项中，g(x)＝＝|x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；B项中的两个函数的定义域不同，故不是同一函数；C项中，f(x)＝＝x＋1(x≠1)与g(x)＝x＋1两个函数的定义域不同，故不是同一函数；D项中，f(x)的定义域为[1，＋∞)，g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以不是同一函数，故选A．‎ ‎4．已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝__10__.‎ 解析　因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.‎ ‎5．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为__(－∞，2]__.‎ 解析　因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2]．‎ 一　求函数定义域的方法 ‎(1)求函数的定义域要从对函数的定义域的理解开始．函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，认清楚自变量后，就要从使解析式有意义的角度入手了．一般来说，在高中范围内涉及的有：①开偶次方时被开方数为非负数；②分式的分母不为零；③零次幂的底数不为零；④对数的真数大于零；⑤指数、对数的底数大于零且不等于1；⑥实际问题还需要考虑使题目本身有意义；⑦若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．‎ ‎(2)求复合函数的定义域一般有两种情况：‎ ‎①已知y＝f(x)的定义域是A，求y＝f(g(x))的定义域，可由g(x)∈A求出x的范围，即为y＝f(g(x))的定义域；‎ ‎②已知y＝f(g(x))的定义域是A，求y＝f(x)的定义域，可由x∈A求出g(x)的范围，即为y＝f(x)的定义域．‎ ‎【例1】 (1)函数f(x)＝(a>0且a≠1)的定义域为__(0,2]__．‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为__[0,1)__.‎ 解析　(1)由⇒⇒01的x的取值范围是！！！　　###.‎ 解析　(1)∵f(x)是周期为2的函数，‎ ‎∴f＝f＝f＝－4×2＋2＝1．‎ ‎(2)由题意知，可对不等式分x≤0,0三段讨论．‎ 当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，‎ ‎∴－1，显然成立．‎ 当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．‎ 综上可知，x>－.‎ ‎1．函数f(x)＝的定义域为(　A　)‎ A．(－1,0)∪(0,2)　　　　 B．(－1,0)∪(0，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　　　　 D．(－1,2)‎ 解析　⇒x∈(－1,0)∪(0,2)，故A正确．‎ ‎2．对于任意x∈R，下列式子都存在函数f(x)的是(　D　)‎ A．f(sin 2x)＝sin x　　　　 B．f(sin 2x)＝x2＋x C．f(x2＋1)＝|x＋1|　　　　 D．f(x2＋2x)＝|x＋1|‎ 解析　对于A项，令x＝0，得f(0)＝0；令x＝，得f(0)＝1，这与函数的定义不符，故A项错．在B项中，令x＝0，得f(0)＝0；令x＝，得f(0)＝＋，与函数的定义不符，故B项错．在C项中，令x＝1，得f(2)＝2；令x＝－1，得f(2)＝0，与函数的定义不符，故C项错．在D项中，变形为f(|x＋1|2－1)＝|x＋1|，令|x＋1|2－1＝t，得t≥－1，|x＋1|＝，从而有f(t)＝，显然这个函数关系在定义域(－1，＋∞)上是成立的，故选D．‎ ‎3．(2016·江苏卷)函数y＝的定义域是__[－3,1]__.‎ 解析　若函数有意义，则3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1．‎ ‎4．已知f(x)＝则f(3)＝__4__.‎ 解析　f(3)＝f(1)＝f(－1)＝log216＝4.‎ 易错点1　不会求抽象函数的定义域 错因分析：①定义域是自变量x的取值范围；②对应法则f下括号内式子的取值范围与f(x)中x的取值范围一样．‎ ‎【例1】 (1)若函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________；‎ ‎(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，则函数f(3x－2)的定义域为________.‎ 解析　(1)由已知得－1<2x＋1<0，即－13，则a的取值范围是__(9，＋∞)__．‎ 解析　由已知得或解得a>9.‎ 三、解答题 ‎10．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)画出f(x)的图象．‎ 解析　(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得 解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝ ‎(2)f(x)的图象如图．‎ ‎11．(2018·湖南怀化月考)已知f(x)＝2x，g(x)是一次函数，并且点(2,2)在函数f(g(x))的图象上，点(2,5)在函数g(f(x))的图象上，求g(x)的解析式．‎ 解析　设g(x)＝ax＋b，a≠0，则f(g(x))＝2ax＋b，g(f(x))＝a·2x＋b，根据已知条件得解得所以g(x)＝2x－3.‎ ‎12．(2018·重庆月考)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)，f(0)＝f(1)，且方程x＝f(x)有两个相等的实数根．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈[0,3]时，求函数f(x)的值域．‎ 解析　(1)∵f(x)＝x2＋mx＋n，且f(0)＝f(1)，‎ ‎∴n＝1＋m＋n，∴m＝－1，∴f(x)＝x2－x＋n.‎ ‎∵方程x＝f(x)，‎ 即方程x2－2x＋n＝0有两个相等的实数根，∴(－2)2－4n＝0，‎ 得n＝1，∴f(x)＝x2－x＋1．‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝x2－x＋1．‎ 此函数的图象是开口向上，对称轴为x＝的抛物线，‎ ‎∴当x＝时，f(x)有最小值f.‎ 而f＝2－＋1＝，‎ f(0)＝1，f(3)＝32－3＋1＝7，‎ ‎∴当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域是.‎