【数学】2019届一轮复习人教A版 几何证明选讲 单元测试

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几何证明选讲 考点一　相似三角形的判定与性质 ‎1．如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________．‎ 解析　如图所示，连接OC，因为OD∥BC，又BC⊥AC，所以OP⊥AC.又O为AB线段的中点，所以OP＝BC＝.在Rt△OCD中，OC＝AB＝2，由直角三角形的射影定理可得OC2＝OP·OD，即OD＝＝＝8，故应填8. ‎ 答案　8‎ ‎2．如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是(　　)‎ A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④‎ 解析　①∠FBD＝∠BAD，∠DBC＝∠DAC，故∠FBD＝∠CBD，即①正确．由切割线定理知②正确．③△BED∽△AEC，故＝，当DE≠CE时，③不成立．④△ABF∽△BDF，故＝，即AB·BF＝AF·BD，④正确．故①②④正确，选D.‎ 答案　D ‎3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，‎ 以BD为直径的圆与BC交于点E，则(　　) ‎ A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2‎ D．CE·EB＝CD2‎ 解析　由切割线定理可知CE·CB＝CD2.‎ 又由平面几何知识知△ADC∽△CDB，‎ 得相似比：＝，‎ 即AD·DB＝CD2，‎ ‎∴CE·CB＝AD·DB，故选A.‎ 答案　A ‎4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．‎ 解析　依题意得△CDF∽△AEF，由EB＝2AE可知AE∶CD＝1∶3.故＝9.‎ 答案　9‎ ‎5.如图，弦AB与CD相交于⊙O内的一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________. ‎ 解析　易知∠BCE＝∠PED＝∠BAP，‎ ‎∴△PDE∽△PEA，∴＝，‎ 又PD＝2DA＝2，‎ ‎∴PA＝3，PE2＝PA·PD＝6，‎ 故PE＝.‎ 答案　 ‎6.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，若AB＝3AD，则的值为________．‎ 解析　设圆半径为R，则AD＝R，DO＝，由射影定理知OD2＝OE·OC，∴＝OE×R，∴OE＝，‎ ‎∴CE＝OC－OE＝R－＝R，‎ ‎∴＝8.‎ 答案　8‎ ‎7．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________. ‎ 解析　圆的半径OC＝3，OE＝2，‎ CE＝DE＝＝.‎ 而△DFE∽△DEB，∴＝，DF·DB＝DE2＝5.‎ 答案　5‎ ‎8.如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.‎ 求证：△ABD∽△AEB. ‎ 证明　因为AB＝AC，‎ 所以∠ABD＝∠C.‎ 又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，‎ 又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.‎ 考点二　圆的初步 ‎1．如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为(　　)‎ A. B．3 C. D. 解析　根据相交弦定理可知，CM·MD＝AM·MB＝AB2＝8，CN·NE＝AN·NB＝AB2＝8，而CN＝3，所以NE＝.选A. ‎ 答案　A ‎2．如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________．‎ 解析　首先由切割线定理得PA2＝PC·PD，因此PD＝＝12，CD＝PD－PC＝9，又CE∶ED＝2∶1，‎ 因此CE＝6，ED＝3，再有相交弦定理AE·EB＝CE·ED，所以BE＝＝＝2.‎ 答案　2‎ ‎3．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．‎ 解析　由切割线定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，∵Q为PA的中点，∴PA＝2QA＝4.故PB＝PA＝4.‎ 答案　4 ‎ ‎4.如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．‎ 解析　设AO与BC交于点M，∵AO⊥BC，BC＝2，∴BM＝，又AB＝，∴AM＝1.设圆的半径为r，则r2＝()2＋(r－1)2，解得r＝.‎ 答案　 ‎5．如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝______．‎ 解析　∵四边形BCFE内接于圆，‎ ‎∴∠AEF＝∠ACB，又∠A为公共角，‎ ‎∴△AEF∽△ACB，∴＝，‎ 又∵BC＝6，AC＝2AE，∴EF＝3.‎ 答案　3‎ ‎6.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________. ‎ 解析　由于PD∶DB＝9∶16，‎ 设PD＝9a，DB＝16a，‎ 根据切割线定理有PA2＝PD·PB，‎ 即9＝9a·(9a＋16a)，‎ 解得a＝，∴PD＝，PB＝5，‎ 在Rt△PBA中，有AB＝4.‎ 答案　　4‎ ‎7.如图，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．‎ 解析　如图，取AB的中点C，‎ 连接OB、OC，‎ 则OC⊥AB，且CB＝1，CP＝2，‎ OC＝＝.‎ ‎∴圆O的半径为OB＝＝.‎ 答案　 ‎8．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE与圆相切，则线段CE的长为________．‎ 解析　由相交弦定理得AF·FB＝DF·FC，‎ 由于AF＝2FB，可解得BF＝1，‎ 所以BE＝.‎ 由切割线定理得CE2＝EB·EA＝，即CE＝.‎ 答案　 ‎9．如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：‎ ‎(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；‎ ‎(2)FE·FN＝FM·FO.‎ 证明　(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.‎ ‎(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO. ‎ ‎10．如图，AB切⊙O于点B，直线AO 交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.‎ ‎(1)证明：∠CBD＝∠DBA；‎ ‎(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径．‎ ‎(1)证明　因为DE为⊙O直径，‎ 则∠BED＋∠EDB＝90°，‎ 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，‎ 从而∠CBD＝∠BED，‎ 又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，‎ 所以∠CBD＝∠DBA.‎ ‎(2)解　由(1)知BD平分∠CBA，‎ 则＝＝3，又BC＝，‎ 从而AB＝3，‎ 所以AC＝＝4，所以AD＝3，‎ 由切割线定理得AB2＝AD·AE，‎ 即AE＝＝6，‎ 故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.‎ ‎11．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点．‎ ‎(1)证明：EF∥BC；‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．‎ ‎(1)证明　由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．‎ 又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，‎ 所以AE＝AF，故AD⊥EF.‎ 从而EF∥BC.‎ ‎(2)解　由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．‎ 连接OE，OM，则OE⊥AE.‎ 由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．‎ 因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.‎ 因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝.‎ 所以四边形EBCF的面积为××－×(2)2×＝.‎ ‎12．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：‎ ‎(1)BE＝EC；‎ ‎(2)AD·DE＝2PB2.‎ 证明　(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.‎ 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，‎ ‎∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，‎ ‎∠DCA＝∠PAB，‎ 所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.‎ 因此BE＝EC.‎ ‎(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.‎ 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，‎ BD＝PB.‎ 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，‎ 所以AD·DE＝2PB2.‎ ‎13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.‎ ‎(1)证明：∠D＝∠E；‎ ‎(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ 证明　(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，‎ 所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，‎ 故∠D＝∠E.‎ ‎(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．‎ 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.‎ 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.‎ 由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.‎