2019届二轮复习（文）第九章第2课时　定点、定值、范围、最值问题学案（全国通用）

2019届二轮复习（文）第九章第2课时　定点、定值、范围、最值问题学案（全国通用）

第2课时　定点、定值、范围、最值问题 考点一　定点问题 ‎【例1】 已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．‎ 解　(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，所以a2＝3.‎ 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 设l方程为x＝t(y－m)，‎ 由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，‎ ‎∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.‎ 同理由＝λ2知λ2＝－1.‎ ‎∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①‎ 联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，‎ ‎∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)＞0，②‎ 且有y1＋y2＝，y1y2＝，③‎ 将③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，‎ ‎∴(mt)2＝1.‎ 由题意mt＜0，∴mt＝－1，满足②，‎ 得l方程为x＝ty＋1，过定点(1，0)，即Q为定点．‎ 规律方法　圆锥曲线中定点问题的两种解法 ‎(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．‎ ‎(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．‎ ‎【训练1】 (2018·杭州七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c.又斜边长为2，即2c＝2，故c＝b＝1，a＝，椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋＝；‎ 当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.‎ 由得 故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0，1)．‎ 下面证明Q(0，1)为所求：‎ 若直线l的斜率不存在，上述已经证明．‎ 若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，‎ Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，‎ ·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋ ‎＝(1＋k2)·－·＋＝0，‎ ‎∴⊥，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0，1)．‎ 考点二　定值问题 ‎【例2】 (2018·金丽衢十二校二联)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)右焦点F(1，0)的直线与椭圆C交于两点A，B，自A，B向直线x＝5作垂线，垂足分别为A1，B1，且＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)记△AFA1，△FA1B1，△BFB1的面积分别为S1，S2，S3，证明：是定值，并求出该定值．‎ ‎(1)解　设A(x，y)，则|AA1|＝5－x，‎ ‎|AF|＝，‎ 由＝得＋＝1，‎ 而A是椭圆上的任一点，∴此方程即为椭圆方程．‎ ‎(2)证明　直线AB的斜率不可以为0，而可以不存在，‎ ‎∴可设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(4m2＋5)y2＋8my－16＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝－，y1y2＝－.( )‎ 由题意，S1＝|AA1 y1|＝|5－x1 y1|，‎ S3＝|BB1 y2|＝|5－x2 y2|，‎ S2＝|A1B1|·4＝2|y1－y2|，‎ ‎∴＝· ‎ ＝· ‎ ＝－·，‎ 将( )式代入上述式子，化简并计算可得＝，‎ 所以是定值，且该定值为.‎ 规律方法　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；‎ ‎(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；‎ ‎(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．‎ ‎【训练2】 (2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1，过点 A(2，0)，B(0，1)两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎(1)解　由椭圆过点A(2，0)，B(0，1)知a＝2，b＝1.‎ 所以椭圆方程为＋y2＝1，又c＝＝.‎ 所以椭圆离心率e＝＝.‎ ‎(2)证明　设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，由B点坐标(0，1)得直线PB方程为：y－1＝(x－0)，‎ 令y＝0，得xN＝，从而|AN|＝2－xN＝2＋，‎ 由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y－0＝(x－2)，‎ 令x＝0，得yM＝，从而|BM|＝1－yM＝1＋，‎ 所以S四边形ABNM＝|AN|·|BM|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 即四边形ABNM的面积为定值2.‎ 考点三　范围问题 ‎【例3】 (2018·台州调考)如图，已知直线l1：y＝2x＋m(m＜0)与抛物线C1：y＝ax2(a＞0)和圆C2：x2＋(y＋1)2＝5都相切，F是C1的焦点．‎ ‎(1)求m与a的值；‎ ‎(2)设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；‎ ‎(3)在(2)的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴的交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．‎ ‎(1)解　由已知，圆C2：x2＋(y＋1)2＝5的圆心为 C2(0，－1)，半径r＝.‎ 由题设圆心到直线l：y＝2x＋m的距离d＝＝，解得m＝－6(m＝4舍去)．‎ 设l1与抛物线的切点为A0(x0，y0)，又y′＝2ax，‎ 得2ax0＝2⇒x0＝，y0＝.‎ 代入直线方程得：＝－6，∴a＝.∴m＝－6，a＝.‎ ‎(2)证明　由(1)知抛物线C1的方程为y＝x2，焦点 F.设A，由(1)知以A为切点的切线l的方程为 y＝x1(x－x1)＋x.‎ 令x＝0，得切线l与y轴的交点B的坐标为，‎ ‎∴＝，＝，‎ ‎∴＝＋＝(x1，－3)．‎ ‎∴M的坐标为，‎ ‎∴点M在定直线y＝－上．‎ ‎(3)解　由(2)知l2的方程为y＝－，∴N.‎ 设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，直线MF：y＝kx＋，‎ 将y＝kx＋代入y＝x2得：‎ x2－kx－＝0，则xP＋xQ＝6k，xPxQ＝－9.‎ ‎∴S△NPQ＝|NF xP－xQ|‎ ‎＝×3×＝9.‎ ‎∵k≠0，∴S△NPQ＞9，即S△NPQ的面积S的取值范围为(9，＋∞)．‎ 规律方法　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 ‎(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；‎ ‎(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．‎ ‎【训练3】 (2016·天津卷)设椭圆＋＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．‎ 解　(1)设F(c，0)，由＋＝，‎ 即＋＝，可得a2－c2＝3c2.‎ 又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．‎ 设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.解得x＝2或x＝.‎ 由题意得xB＝，从而yB＝.‎ 由(1)知F(1，0)，设H(0，yH)，‎ 有＝(－1，yH)，＝.‎ 由BF⊥HF，得·＝0，‎ 所以＋＝0，解得yH＝.‎ 因为直线MH的方程为y＝－x＋.‎ 设M(xM，yM)，由方程组消去y，‎ 解得xM＝.‎ 在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，‎ 即(xM－2)2＋y≤x＋y，化简得xM≥1，即≥1，‎ 解得k≤－或k≥.‎ 所以直线l的斜率的取值范围为或.‎ 考点四　最值问题 ‎【例4】 (2015·浙江卷)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．‎ 解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为 y＝－x＋b.‎ 由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①‎ 将AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－②‎ 由①②得m＜－或m＞.‎ ‎(2)令t＝∈∪，则 ‎|AB|＝·.‎ 且O到直线AB的距离为d＝.‎ 设△AOB的面积为S(t)，‎ 所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤.‎ 当且仅当t2＝时，等号成立．‎ 故△AOB面积的最大值为.‎ 规律方法　处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．‎ ‎【训练4】 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ 解　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 所以a2＝4，b2＝2，‎ 从而c2＝a2－b2＝2.‎ 因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，‎ 即tx0＋2y0＝0，‎ 解得t＝－.又x＋2y＝4，‎ 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2‎ ‎＝(x0＋)2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4‎ ‎＝x＋＋＋4＝＋＋4(0＜x≤4)．‎ 因为＋≥4(0＜x≤4)，‎ 当且仅当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.‎ 故线段AB长度的最小值为2.‎ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1．已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)‎ A．2 B．2 C．8 D．2 解析　根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，‎ ‎∴＋＝1，可得m＝2.‎ 答案　B ‎2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)‎ A. B．[－2，2]‎ C．[－1，1] D．[－4，4]‎ 解析　Q(－2，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得 ‎－1≤k≤1.‎ 答案　C ‎3．已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)‎ A. B. C．4 D．5‎ 解析　由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.‎ 答案　B ‎4．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)‎ C．(1，3] D．(1，3)‎ 解析　依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0.‎ ‎∵渐近线与抛物线有交点，‎ ‎∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，‎ ‎∴c＝≥3a，‎ ‎∴e＝≥3.‎ 答案　A ‎5．(2017·丽水调研)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)‎ A．2 B. C. D. 解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，‎ 得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，‎ 则x1＋x2＝－t，x1x2＝.‎ ‎∴|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝· ‎＝·，‎ 当t＝0时，|AB|max＝.‎ 答案　C ‎6．(2018·丽水调研)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，‎ b＞0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，点E是线段PF1的中点，且·＝0，sin∠PF2F1≥2sin∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围是(　　)‎ A．[5，＋∞) B．[，＋∞)‎ C．(1，5] D．(1，]‎ 解析　设|PF1|＝y，|PF2|＝x，‎ ‎∵点E是线段PF1的中点，且·＝0，即⊥，且OE∥PF2，∴PF1⊥PF2，则满足y－x＝2a，x2＋y2＝4c2.‎ ‎∵sin∠PF2F1≥2sin∠PF1F2，‎ ‎∴由正弦定理得y≥2x，则≥2.设m＝≥2，则e2＝＝＝＝＝＝＝1＋＝1＋.‎ ‎∵当m≥2时，y＝m＋－2为增函数，则y＝m＋－2≥2＋－2＝，即0＜≤‎ ‎4，则1＜1＋≤5，即1＜e2≤5，则1＜e≤，故双曲线离心率的取值范围是(1，]．‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为 ．‎ 解析　由条件知双曲线的焦点为(4，0)，‎ 所以解得a＝2，b＝2，‎ 故双曲线方程为－＝1.‎ 答案　－＝1‎ ‎8．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是 ．‎ 解析　∵·＝0，∴⊥.‎ ‎∴||2＝||2－||2＝||2－1，‎ ‎∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，‎ 故||min＝2，∴||min＝.‎ 答案　 ‎9．(2018·湖州调研)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ；与圆相切时渐近线的方程为 ．‎ 解析　双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2.当渐近线与圆相切时，b2＝3，a2＝1，∴渐近线方程为y＝±x.‎ 答案　(1，2]　y＝±x ‎10．(2018·宁波调研)设圆x2＋y2＝12与抛物线x2＝4y相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若过点F且斜率为1的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为P1，P2，P3，P4，则|P1P2|＋|P3P4|的值为 ；若直线m与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，切点D在劣弧上，则|MF|＋|NF|的取值范围是 ．‎ 解析　由得或 即A(－2，2)，B(2，2)．‎ ‎∵F(0，1)，∴kFB＝＜1.‎ ‎∴P1，P2，P3，P4位置如图所示．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，P4(x4，y4)，由得：x2－4x－4＝0，‎ ‎∴x2＋x4＝4.由得：2x2＋2x－11＝0，‎ ‎∴x1＋x3＝－1.∴|P1P2|＋|P3P4|＝|x2－x1|＋‎ |x4－x3|＝[(x2＋x4)－(x1＋x3)]＝5.设直线m的方程为y＝kx＋b(b＞0)．由得x2－4kx－4b＝0.设M(x5，y5)，N(x6，y6)，则x5＋x6＝4k.∴y5＋y6＝k(x5＋x6)＋2b＝4k2＋2b.∵直线m与圆相切，‎ ‎∴＝.∴k2＝－1，又∵|MF|＝y5＋1，‎ ‎|NF|＝y6＋1，∴|MF|＋|NF|＝y5＋y6＋2＝4k2＋2b＋2＝(b＋3)2－5.∵kOA＝－，kOB＝，∴分别过A，B的圆的切线斜率为，－，∴k∈[－，]，‎ ‎∴0≤k2≤2，∴0≤－1≤2.∵b＞0，∴b∈[2，6]，‎ ‎∴|MF|＋|NF|的取值范围为[2＋4，22]．‎ 答案　5　[2＋4，22]‎ 三、解答题 ‎11．(2018·浙江名校三联)如图，椭圆M：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，上、下顶点分别为A(0，1)，B(0，－1)，过点P(0，2)斜率为k的直线l交椭圆于两个不同的点C，D，直线AD与BC交于点Q.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)试探究点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ 解　(1)由题意知2c＝2，b＝1，又a2＝b2＋c2，∴a2＝4.‎ ‎∴椭圆M的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意l的方程为y＝kx＋2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 由消y得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，‎ ‎∴ 又lBC：y＝x－1，lAD：y＝x＋1，两方程联立，‎ 消x得y＝，又4kx1x2＝－3(x1＋x2)，‎ 代入得y＝， 即Q的纵坐标为定值.‎ ‎12．(2016·浙江卷)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．‎ ‎(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；‎ ‎(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．‎ 解　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0.‎ 故x1＝0，x2＝－，‎ 因此|AM|＝|x1－x2|＝·.‎ ‎(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.‎ 记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.‎ 由(1)知|AP|＝，‎ ‎|AQ|＝，‎ 故＝，‎ 所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.‎ 由于k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，‎ 因此＝1＋a2(a2－2)，①‎ 因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.‎ 因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，‎ 由e＝＝得，所求离心率的取值范围是.‎ 能力提升题组 ‎13．(2017·浙大附中月考)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e 的取值范围是(　　)‎ A. B．(，＋∞)‎ C．(1，) D. 解析　不妨联立y＝x与y2＝x的方程，消去y得x2＝x，由x0＞1知＜1，即＜1，故e2＜2，又e＞1，所以1＜e＜，故选C.‎ 答案　C ‎14．(2018·河南省八市质检)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为，则抛物线的准线方程为(　　)‎ A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝－1‎ 解析　因为e＝＝2，所以c＝2a，b＝a，双曲线的渐近线方程为y＝±x，又抛物线的准线方程为x＝－，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A，B，在△AOB中，|AB|＝p，点O到AB的距离为，所以·p·＝，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故选D.‎ 答案　D ‎15．(2017·浙江五校联考)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为 ．‎ 解析　点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，‎ 依题意得左焦点F(－1，0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝＋.∵－3≤x≤3，‎ ‎∴≤x＋≤，∴≤≤，‎ ‎∴≤≤，∴6≤＋≤12，即6≤·≤12，故最小值为6.‎ 答案　6‎ ‎16．(2018·杭州高级中学模拟)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)与圆C2：x2＋y2＝8的两个交点之间的距离为4，A，B为抛物线C1上的两点．‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)若C1在点A，B处切线垂直相交于点P，且点P在圆C2内部，直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|·|CD|的最小值．‎ 解　(1)由题易得抛物线与圆的两个交点坐标为(－2，2)，(2，2)，则代入x2＝2py得p＝1.‎ ‎(2)设A，B，‎ 又x＝2y1，则PA的斜率为y1′＝x1，‎ 同理PB的斜率为y2′＝x2，‎ 所以x1·x2＝－1，‎ 两切线为y＝x1x－x，y＝x2x－x，‎ 交点为P，‎ 点P在圆内得x＋x＜33，‎ 直线AB为y＝x＋过抛物线的焦点，‎ ‎|AB|＝＋＋p＝(x＋x＋2)，‎ 设d为圆心到直线AB的距离，‎ 则|AB|·|CD|＝(x＋x＋2)·2，‎ d＝，‎ 令t＝x＋x＋2∈[4，35)，则|AB|·|CD|＝，‎ 最小值为2.‎ ‎17．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x＋4y＋6＝0与圆x2＋(y－b)2＝a2相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；‎ ‎(3)在(2)的条件下求△AMN面积的最大值．‎ 解　(1)由题意，得∴ 即C：＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意得直线l1，l2的斜率存在且不为0.‎ ‎∵A(－2，0)，设l1：x＝my－2，l2：x＝－y－2，‎ 由得(m2＋4)y2－4my＝0，‎ ‎∴M.同理，N.‎ ‎①m≠±1时，kMN＝，‎ lMN：y＝.‎ 此时过定点.‎ ‎②m＝±1时，lMN：x＝－，过点.‎ ‎∴lMN恒过定点.‎ ‎(3)由(2)知S△AMN＝×|yM－yN|‎ ‎＝＝8 ‎＝＝.‎ 令t＝≥2，‎ 当且仅当m＝±1时取等号，‎ ‎∴S△AMN≤，且当m＝±1时取等号．‎ ‎∴(S△AMN)max＝.‎