【数学】2020届一轮复习（理）通用版1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

【数学】2020届一轮复习（理）通用版1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

第三节 简单的逻辑联结词、‎ 全称量词与存在量词 ‎1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．‎ ‎2.理解全称量词与存在量词的意义．‎ ‎3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.‎ 突破点一　简单的逻辑联结词 命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 简记为“p∧q两真才真，一假则假；p∨q一真则真，两假才假；綈p与p真假相反”．‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　　)‎ ‎(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√‎ 二、填空题 ‎1．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是________________．‎ 答案：∈(∁UA)∩(∁UB)‎ ‎2．“p∨q”为真是“p∧q”为真的____________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)．‎ 答案：必要不充分 ‎3．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为____________．‎ 解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．‎ 故即 因此，x的值可以是－1,0,1,2.‎ 答案：{－1,0,1,2}‎ 考法一　含逻辑联结词复合命题的真假判断　‎ ‎[例1]　(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x∈R，|x＋1|≤x，则(　　)‎ A．(綈p)∨q为真命题　　　 B．p∧(綈q)为假命题 C．p∧q为真命题 D．p∨q为真命题 ‎[解析]　由题意可知命题p是真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q是假命题，所以p∨q为真命题，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎[方法技巧]‎ 判断含逻辑联结词复合命题真假的步骤 ‎(1)定结构：确定复合命题的构成形式．‎ ‎(2)辨真假：判断其中简单命题的真假性．‎ ‎(3)下结论：依据真值表判断复合命题的真假．　　‎ 考法二　根据复合命题的真假求参数　‎ ‎[例2]　(2019·山西五校联考)已知p：关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集是{x|x>0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．‎ ‎[解析]　若关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集为{x|x>0}，则a>1；若函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，则解得a>.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，则或即0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)‎ C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)‎ 解析：选D　由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q是假命题．由复合命题真值表可知p∧(綈q)是真命题，故选D.‎ ‎2.已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(綈q)为真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(－∞，2]‎ C．(1,2] D．(－∞，1]∪(2，＋∞)‎ 解析：选C　对于命题p，令f(0)·f(1)<0，则－1·(2a－2)<0，解得a>1；对于命题q，令2－a<0，则a>2，故綈q对应的a的取值范围是(－∞，2]．因为p∧(綈q)为真命题，所以实数a的取值范围是(1,2]．故选C.‎ ‎3.已知p：若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋m，则数列{an}是等差数列，当綈p是假命题时，则实数m的值为________．‎ 解析：由于綈p是假命题，‎ 所以p是真命题．‎ 由Sn＝n2＋m，得an＝ 所以1＋m＝2×1－1，‎ 解得m＝0.‎ 答案：0‎ 突破点二　全称量词与存在量词 ‎1．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ‎∀‎ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ‎∃‎ ‎2.全称命题和特称命题 名称 形式　　‎ 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 简记 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ 否定 ‎∃x0∈M，綈p(x0)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．(　　)‎ ‎(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．(　　)‎ ‎(3)“三角形内角和是180°”是全称命题．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√‎ 二、填空题 ‎1．(2019·东北育才检测)已知命题p：∀x∈R，ex－x－1>0，则綈p是______________．‎ 答案：∃x0∈R，ex0－x0－1≤0‎ ‎2．命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋5<0是____________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：________________________.‎ 答案：特称命题　假　∀x∈R，x2＋2x＋5≥0‎ ‎3．若“∀x∈，sin x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ 解析：由题意，原命题等价于sin x≤m在区间上恒成立，‎ 即y＝sin x在上的最大值小于或等于m，‎ 又y＝sin x在上的最大值为，‎ 所以m≥，即m的最小值为.‎ 答案： 考法一　全(特)称命题的否定　‎ ‎[例1]　(1)(2019·陕西部分学校摸底)命题“∀x>0，>0”的否定是(　　)‎ A．∃x0≥0，≤0　　　　　‎ B．∃x0>0,0≤x0≤1‎ C．∀x>0，≤0 ‎ D．∀x<0,0≤x≤1‎ ‎(2)(2019·丹东期末)命题“∃x>0，使得ln x>0”的否定为(　　)‎ A．∀x>0，均有ln x≤0 ‎ B．∀x≤0，均有ln x≤0‎ C．∀x>0，均有ln x<0 ‎ D．∃x>0，均有ln x≤0‎ ‎[解析]　(1)∵>0，∴x<0或x>1，‎ ‎∴>0的否定是0≤x≤1，‎ ‎∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．故选B.‎ ‎(2)根据特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x>0，使得ln x>0”的否定为：∀x>0，均有ln x≤0.故选A.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)A ‎[方法技巧]‎ 全(特)称命题进行否定的方法 ‎(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；‎ ‎(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．‎ ‎[提醒]　对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．　　‎ 考法二　全(特)称命题的真假判断　‎ ‎[例2]　(2019·西安质检)下列命题中，真命题是(　　)‎ A．∃x0∈R，sin2＋cos2＝ B．∀x∈(0，π)，sin x>cos x C．∃x0∈R，x＋x0＝－2‎ D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1‎ ‎[解析]　∀x∈R，均有sin2＋cos2＝1，故A是假命题；‎ 当x∈时，sin x≤cos x，故B是假命题；‎ ‎∵方程x2＋x＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0，‎ ‎∴x2＋x＋2＝0无解，‎ 所以∃x0∈R，x＋x0＝－2是假命题，故C是假命题；‎ 令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，‎ 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，‎ 则f(x)为增函数，故f(x)>f(0)＝0，‎ 即∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1.故选D.‎ ‎[答案]　D ‎[方法技巧]　　全(特)称命题真假的判断方法 全称命题 ‎(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；‎ ‎(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可 特称命题 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题 考法三　根据全(特)称命题的真假求参数　‎ ‎[例3]　(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(4，＋∞) B．(0,4]‎ C．(－∞，4] D．[0,4)‎ ‎[解析]　当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.‎ ‎[答案]　C ‎[方法技巧]‎ 根据全(特)称命题的真假求参数的思路 与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．　　 ‎ ‎1.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是(　　)‎ A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2‎ B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2‎ C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2‎ D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2‎ 解析：选C　根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2”．故选C.‎ ‎2.下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0‎ C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0‎ 解析：选D　当x0＝1时，lg x0＝0，当x0＝0时，tan x0＝0，因此∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.‎ ‎3.已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)‎ A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0‎ B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0‎ C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0‎ D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0‎ 解析：选B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故应选B.‎ ‎4.已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，0) B．[0,4]‎ C．[4，＋∞) D．(0,4)‎ 解析：选D　因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定为“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得08x，则命题p的否定为(　　)‎ A．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16≤8x B．綈p：∀x∈(1，＋∞)，x2＋16<8x C．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x＋16≤8x0‎ D．綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x＋16<8x0‎ 解析：选C　全称命题的否定为特称命题，故命题p的否定綈p：∃x0∈(1，＋∞)，x＋16≤8x0.故选C.‎ ‎2．(2019·太原一模)已知命题p：∃x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a.则下列为真命题的是(　　)‎ A．p∧q　　　　　　　　　 B．p∧(綈q)‎ C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)‎ 解析：选B　因为x2－x＋1＝2＋>0，所以p为真命题，则綈p为假命题；当a＝－2，b＝1时，<，所以q为假命题，则綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.‎ ‎3．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　充分性：若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．故选B.‎ ‎4．如果命题“(綈q)∨p”与“(綈p)∨q”都是真命题，则下列结论中一定不成立的是(　　)‎ A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∨q”是假命题 C．命题“(綈p)∧q”是假命题 D．命题“(綈p)∧q”是真命题 解析：选D　若命题“(綈q)∨p”与“(綈p)∨q”都是真命题，则p，q全为真命题或全为假命题，所以命题“(綈p)∧q”一定为假命题，故选D.‎ ‎5．(2018·渭南尚德中学一模)如果命题“p且q”的否定为假命题，则(　　)‎ A．p，q均为真命题 B．p，q中至少有一个为真命题 C．p，q均为假命题 D．p，q中至多有一个为真命题 解析：选A　若“p且q”的否定是假命题，则“p且q”是真命题，故p，q均是真命题．故选A.‎ ‎6．(2018·益阳市、湘潭高三调考)已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数的虚部为－i，则下面为真命题的是(　　)‎ A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q 解析：选C　由已知可得，复数z满足(z－i)(－i)＝5，所以z＝＋i＝6i，所以命题p为真命题；复数＝＝，其虚部为－，故命题q为假命题，命题綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选C.‎ ‎7．(2018·河南师范大学附属中学开学考)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(4，＋∞) B．[1,4]‎ C．(－∞，1] D．[e,4]‎ 解析：选D　命题p等价于ln a≥x对x∈[0,1]恒成立，所以ln a≥1，解得a≥e；命题q等价于关于x的方程x2＋4x＋a＝0有实根，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.因为命题“p∧q”是真命题，所以命题p真，命题q真，所以实数a的取值范围是[e,4]，故选D.‎ ‎8．(2019·武汉部分学校调研)给出下列四个说法：‎ ‎①命题“∀x∈(0,2)，3x>x3”的否定是“∃x0∈(0,2)，3x0≤x”；‎ ‎②“若θ＝，则cos θ＝”的否命题是“若θ≠，则cos θ≠”；‎ ‎③p∨q是真命题，则命题p，q一真一假；‎ ‎④“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件．‎ 其中正确说法的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B　对于①，根据全称命题的否定，可知①正确；对于②，原命题的否命题为“若θ≠，则cos θ≠”，所以②正确；对于③，若p∨q是真命题，则命题p，q至少有一个是真命题，故③错误；对于④，由函数y＝2x＋m－1有零点，得1－m＝2x>0，解得m<1，若函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，则00,2x－a>0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－2,1]‎ C．(1,2) D．(1，＋∞)‎ 解析：选C　方程x2＋ax＋1＝0无实根等价于Δ＝a2－4<0，即－20,2x－a>0等价于a<2x在(0，＋∞)上恒成立，即a≤1.因为“綈p”是假命题，则p是真命题，又“p∧q”是假命题，则q是假命题，∴得1x＋1”，则命题p可写为________________________．‎ 解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．‎ 答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1‎ ‎12．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.‎ 解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－30成立；命题q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，若p∧q为真，则a的取值范围是________．‎ 解析：当p为真命题时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立⇔a＝0或 ‎∴0≤a<4.当q为真命题时，关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔Δ＝1－4a≥0，‎ ‎∴a≤.p∧q为真时，0≤a≤.‎ 答案： ‎15．已知p：－11，綈q是綈p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ 解：由－11，得x＋a<0，解得x<－a，所以綈q：x≥－a，设集合B＝{x|x≥－a}．又綈q是綈p的充分不必要条件，所以BA，所以－a≥4，解得a≤－4，所以实数a的取值范围是(－∞，－4]．‎