数学理卷·2017届广东湛江市高三上学期期中调研考试（2016

数学理卷·2017届广东湛江市高三上学期期中调研考试（2016

‎ ‎ 理科数学 ‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知向量，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.若直线与平面相交，则（ ）‎ A．平面内存在直线与异面 B．平面内存在唯一直线与平行 ‎ C．平面内存在唯一直线与垂直 D．平面内的直线与都相交 ‎4.已知是两个命题，那么“是真命题”是“是假命题”的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.已知某路段最高限速，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如下（单位：），若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 若执行如图所示的框图，输入 ‎，则输出的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知是双曲线：的左右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎9. 在中，角的对边分别是，若,的面积记作，则下列结论中一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.函数在的图象大致为（ ）‎ ‎11.已知满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）‎ A．或 B．或2 C.1或2 D．或2‎ ‎12. 已知定义在上的可导函数满足，设，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．的大小与有关 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知是虚数单位，复数的模等于 ．‎ ‎14.在各项均为正数的等比数列中，若，则 ．‎ ‎15.若，记，则的值为 ．‎ ‎16.如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，角的终边与单位圆交于点，记.若角为锐角，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若恰好依次为等比数列的第一、第二、第三项，求数列 的前项和.‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 在某天的上午时段，湛江一间商业银行随机收集了100位客户在营业厅窗口办理业务类型及用时量的信息，相关数据统计如下表1与图2所示.‎ ‎ ‎ 已知这100位客户中办理型和型业务的共占50%（假定一人一次只办一种业务）.‎ ‎（Ⅰ）确定图2中的值，并求随机一位客户一次办理业务的用时量的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若某客户到达柜台时，前面恰有2位客户依次办理业务（第一位客户刚开始办理业务），且各客户之间办理的业务相互独立，求该客户办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率.‎ ‎（注：将频率视为概率，参考数据：‎ ‎）‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱台中，平面过点，且，平面与三棱台的面相交，交线围成一个四边形.‎ ‎（Ⅰ）在图中画出这个四边形，并指出是何种四边形（不必说明画法、不必说明四边形的形状）；‎ ‎（Ⅱ）若，二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值.‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）动直线过点，与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中为常数.‎ ‎（Ⅰ）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若，对任意的正整数，当时，求证：.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）若，直线与轴的交点为，是圆上一动点，求的最大值； ‎ ‎（2）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数，.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. ‎ 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8[‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C A B C C C A D A D B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．； 14．2； 15．； 16． ‎ 三、解答题：本大题共6个题，共70分．‎ ‎17.解：（Ⅰ）当时，.‎ 当时，.‎ 检验时，上式符合.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由题知成等比数列，‎ ‎， ‎ 即，解得.‎ ‎，公比.‎ ‎，‎ 上式两边乘以，得 ‎②‎ ‎①②得 ‎.‎ 18. 解：（Ⅰ）由已知得，∴，∴‎ 所以.‎ 该营业厅一次办理业务的用时组成一个总体，所收集的100位客户一次办理业务的用时量可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎5‎ ‎6.5‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎15‎ 的数学期望为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）记为事件“该客户在办理业务前的等候时间不超过13分钟”，为该顾客前面第位客户的用时量，则 ‎.‎ 由于各客户口的办理业务相互独立，‎ ‎.‎ 故该顾客办理业务前的等候时间不超过13分钟的概率为0.411或.‎ 18. 解：（Ⅰ）围成的四边形如图所示，‎ 它是平行四边形；‎ ‎（Ⅱ），且 ‎∴，‎ ‎∴是二面角的平面角，‎ ‎∴，‎ 以为轴，为原点建立如图直角坐标系，‎ 由已知，知 又由台体的性质，，‎ ‎∴是平行四边形，‎ ‎∴，是的中点，‎ 又，则到平面的距离，，‎ 同理是的中点，‎ ‎，‎ 则.‎ 设平面的法向量为，则 得一个法向量是，设直线与平面所成角为，则 ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ 18. 解：（Ⅰ）由椭圆的几何性质得，‎ 由得，‎ ‎，解得.‎ ‎（Ⅱ）由题与轴不重合，设的方程是，‎ 由得，‎ 即，‎ 因直线与椭圆有相异交点，‎ ‎，解得或，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，则.‎ 当时所求面积的最大值是.‎ 18. 解：（Ⅰ）由已知得函数的定义域为，‎ 当时，，‎ 所以，‎ 当时，由得，‎ 此时 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 当时，在处取得极小值，极小值点为.‎ ‎（Ⅱ）证：因为，所以.‎ 当为偶数时，令，‎ 则 ‎∴‎ 所以当时，单调递增，的最小值为.‎ 因此 所以成立.‎ 当为奇数时，要证，由于，所以只需证.‎ 令，‎ 则，‎ 当时，单调递增，又，‎ 所以当时，恒有,命题成立.‎ 综上所述，结论成立.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.解：（1）当时，圆的极坐标方程为，可化为，‎ 化为直角坐标方程为，即.‎ 直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为.‎ ‎∵圆心与点的距离为，‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎（2）由，可化为，‎ ‎∴圆的普通方程为.‎ ‎∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，‎ ‎∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，‎ ‎∴，解得：或.‎ ‎23．解：（1）依题意，原不等式可化为，‎ 当时，，解集为空集；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 综上所述，所求不等式的解集为.‎ ‎（2）不等式等价于，‎ ‎∵解得（当且仅当时取等号），‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎