高中数学知识要点之(11)不等式的性质与证明

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高中数学知识要点之(11)不等式的性质与证明

要点重温之不等式的性质与证明 江苏 郑邦锁 ‎1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>ban>bn；‎ 当a<0,b<0时，a>ba2b2|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由<2推得的应该是：x>或x<0，而由>2推得的应该是：‎ ‎00即可。以下用“取倒数”求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得>或3-f(x)<0得<0,‎ ‎∴g(x)∈(-,0)∪(,+)；f(x)+3>30<<1b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a>b,c>d则a-d>b-c；‎ ‎④若a>b,则a3>b3；⑤若a>b,则⑥若aab>b2；‎ ‎⑦若a|b|；⑧若ab且,则a>0,b<0；‎ ‎⑩若c>a>b>0,则；其中正确的命题是 。‎ ‎[迁移]若a>b>c且a+b+c=0，则：①a2>ab，②b2>bc，③bc0,则|x-a|m,∴|x-a|0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等价于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|2xlog2x>0‎ log2x>0x>1 ∴不等式的解集为（1，+)。‎ ‎[巩固1]a,b都是非零实数，下列四个条件：①|a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|； ‎ ‎③||a|-|b||<|a+b|； ④||a|-|b||<|a-b|；则与|a-b|=|a|+|b|等价的条件是： （填条件序号）。‎ ‎[巩固2]方程||=|+||的解集是 。‎ ‎4．若、∈R+，则≥≥≥；当且仅当=时等号成立；‎ 其中包含常用不等式：≥；≥4以及基本不等式：‎ ‎≥，基本不等式还有另外两种形式：若≤0、≤0，则≤；‎ 若：、∈R，则≥2；用基本不等式求最值时要关注变量的符号、放缩后是否为定值、等号能否成立（即：一正、二定、三相等，积定和小、和定积大）。‎ ‎[举例1] 若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，则的最小值为 。‎ 解析：圆心（2，1），“直线始终平分圆”即圆心在直线上，∴a+b=1,‎ ‎=,当且仅当a=b=时等号成立。‎ ‎[举例2]正数a,b满足a+3=b(a-1),则ab的最小值是 ，a+b的最大值是 。‎ 解析：ab=a+b+3≥2+3-2-3≥0≥3≥9，当且仅当a=b=3时等号成立。a+b=ab-3≤-3 a+b≥6, 当且仅当a=b=3时等号成立。‎ 注：该方法的实质是利用基本不等式将等式转化为不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放缩得到最值，因此不存在放缩后是否为定值的问题。‎ ‎[巩固1]在等式中填上两个自然数，使它们的和最小。‎ ‎[巩固2]某工厂第一年年产量为A，第二年的年增长率为，第三年的年增长率为，这两年的平均增长率为，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎[迁移]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半时间步行、一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则：‎ A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．不能确定谁先到教室 ‎5．比较大小的方法有：①比差：判断“差”的正负，因式分解往往是关键；②比商：判断“商”与1的大小，两个式子都正才能比商，常用于指数式的比较；③变形：如平方（需为正数）、有理化（根式的和、差）等；④寻求中间变量，常见的有0，1等；⑤数形结合。‎ 用定义证明单调性的过程就是已知自变量的大小比较函数值的大小的过程。‎ ‎[举例1]已知且，若则、的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：记x=, y=()2, 直接比较x、y的大小将大费周章，但： x>=1,‎ y==，∴x>y，又0a,‎ 即a2，p=,q=,则：‎ A．p>q B．pq与p=q都有可能 D．p>q与p0时,f(x)>1；判断并证明函数f(x)的单调性。‎ ‎6．放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；‎ ‎②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：‎ ‎；等；‎ ‎④利用常用结论：下列各式中 ‎（Ⅰ） （Ⅱ）； ‎ ‎（Ⅲ） ； (Ⅳ) ； ‎ ‎[举例]已知a、b、c是⊿ABC的三边长，A=,B=,则：‎ A．A>B, B． A
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