【数学】2020届一轮复习人教B版（文）选修4－4坐标系作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）选修4－4坐标系作业

课时作业70　坐标系 ‎　　　　　　　　　　　　‎ ‎[基础达标]‎ ‎1．求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．‎ 解析：由得到①‎ 将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.‎ 因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.‎ ‎2．[2019·南昌模拟]在平面直角坐标系xOy中，直线C1的方程为x＋y＋2＝0，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ2＋4ρsin＋1＝0.‎ ‎(1)求圆C2在直角坐标系下的标准方程；‎ ‎(2)若直线C1与圆C2交于P，Q两点，求△OPQ的面积．‎ 解析：(1)ρ2＋4ρsin＋1＝0，即ρ2＋2ρsinθ＋2ρcosθ＋1＝0，‎ 即x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，(x＋)2＋(y＋1)2＝3，‎ 所以圆C2在直角坐标系下的标准方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝3.‎ ‎(2)由(1)知圆心C2(－，－1)，圆的半径r＝，‎ 又圆心C2到直线C1的距离 d＝＝1，‎ 则|PQ|＝2＝2.‎ 又原点O到直线PQ的距离d1＝＝1，‎ 所以S△OPQ＝|PQ|·d1＝×2×1＝.‎ ‎3．[2019·太原模拟]已知点P是曲线C1：(x－2)2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹方程为曲线C2.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2,0)，求△MAB的面积．‎ 解析：(1)由得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ.‎ 设Q(ρ，θ)，则P，所以ρ＝4cos＝4sinθ，‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.‎ ‎(2)点M(2,0)到射线θ＝的距离d＝2sin＝，‎ ‎|AB|＝ρB－ρA＝4＝2(－1)，‎ 则△MAB的面积S＝|AB|×d＝3－.‎ ‎4．[2019·南昌模拟]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线C1，C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．‎ 解析：(1)曲线C1的极坐标方程可以化为ρ2－4ρsinθ＝0，‎ 所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.‎ 曲线C2的极坐标方程可以化为ρsinθ·＋ρcosθ·＝2，‎ 所以曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意及(1)得点E的坐标为(4,0)，C2的倾斜角为，‎ 所以C2的参数方程为(t为参数)，‎ 将C2的参数方程代入曲线C1的直角坐标方程得到2＋－2t＝0，‎ 整理得t2－(4＋2)t＋16＝0，判别式Δ＞0，‎ 则线段AB的中点对应的参数为2＋1，‎ 所以线段AB的中点到点E的距离为2＋1.‎ ‎5．[2019·东北三省模拟]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcosθ＝3，曲线C2：ρ＝4cosθ.‎ ‎(1)求C1与C2交点的极坐标；‎ ‎(2)设点Q在C2上，＝，求动点P轨迹的极坐标方程．‎ 解析：(1)联立，得得cosθ＝±，‎ ‎∵0≤θ＜，∴cosθ＝，θ＝，‎ ‎∴ρ＝2，‎ ‎∴C1与C2交点的极坐标为.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)，则ρ0＝4cosθ0，θ0∈，‎ 由＝，得 ‎∴ρ＝4cosθ，故动点P的极坐标方程为ρ＝10cosθ，θ∈.‎ ‎6．[2019·昆明检测]在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos2θ＝1.‎ ‎(1)求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知M，N是曲线C与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：|PM|2＋|PN|2为定值．‎ 解析：(1)圆O的参数方程为(α为参数)，‎ 由ρ2cos2θ＝1得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝1，不妨令M(－1,0)，N(1,0)，可设P(2cosα，2sinα)，‎ 则|PM|2＋|PN|2＝(2cosα＋1)2＋(2sinα)2＋(2cosα－1)2＋(2sinα)2＝5＋4cosα＋5－4cosα＝10.‎ 所以|PM|2＋|PN|2为定值10.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎7．[2019·成都市诊断性检测]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.‎ ‎(1)求θ的值；‎ ‎(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．‎ 解析：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ ‎∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，即ρ＝4sinθ.‎ 由ρ＝2，得sinθ＝，‎ ‎∵θ∈，∴θ＝.‎ ‎(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋3－4＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－4＝0.‎ 又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，‎ 联立，得，解得ρ＝4.‎ ‎∴点B的极坐标为(4，)，‎ ‎∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.‎