【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-3两角和与差的正弦、余弦和正切公式作业

【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-3两角和与差的正弦、余弦和正切公式作业

‎[基础达标]‎ ‎1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°‎ ‎＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°‎ ‎＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.‎ ‎2．已知sin＝cos，则tan α＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C． D．1‎ 解析：选A.因为sin＝cos，‎ 所以cos α－sin α＝cos α－sin α，‎ 所以sin α＝cos α，‎ 所以sin α＝－cos α，所以tan α＝－1.‎ ‎3．若α∈，tan＝，则sin α等于(　　)‎ A． B． C．－ D．－ 解析：选A.因为tan＝＝，‎ 所以tan α＝－＝，所以cos α＝－sin α.‎ 又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝.‎ 又因为α∈，所以sin α＝.‎ ‎4．(2019·宁波效实中学高三质检)sin 2α＝，0<α<，则cos的值为(　　)‎ A．－ B． C．－ D． 解析：选D.cos＝＝sin α＋cos α，‎ 又因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，0<α<，‎ 所以sin α＋cos α＝，故选D.‎ ‎5．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)‎ A．－ B． C． D．－ 解析：选A.因为sin α＝，α∈，‎ 所以cos α＝－＝－，‎ 所以tan α＝＝－.‎ 因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，‎ 则tan(α－β)＝＝－.‎ ‎6．(2019·温州市十校联合体期初)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A． B．－ C． D．－ 解析：选D.3cos 2α＝sin，‎ 可得3cos 2α＝(cos α－sin α)，‎ ‎3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，‎ 因为α∈，所以cos α－sin α≠0，‎ 上式化为sin α＋cos α＝，‎ 两边平方可得1＋sin 2α＝.‎ 所以sin 2α＝－.‎ ‎7．(2019·金华市东阳二中高三调研)设sin＝，则sin 2θ＝________．‎ 解析：因为sin＝，即sin θ＋cos θ＝，平方可得＋sin 2θ＝，解得sin 2θ＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知sin(α－45°)＝－，0°＜α＜90°，则cos α＝________．‎ 解析：因为0°＜α＜90°，所以－45°＜α－45°＜45°，‎ 所以cos(α－45°)＝＝，‎ 所以cos α＝cos[(α－45°)＋45°]‎ ‎＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°‎ ‎＝.‎ 答案： ‎9．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝________．‎ 解析：由sin α－sin β＝1－，得(sin α－sin β)2＝，即sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝－，①‎ 由cos α－cos β＝，得cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝，②‎ ‎①＋②得，2sin αsin β＋2cos αcos β＝，即cos(α－β)＝.‎ 答案： ‎10．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝，则sin 2x＝________，＝________．‎ 解析：sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sin x－cos x＝，即sin x＋cos x＝－，‎ 两边平方得：sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，‎ 即1＋sin 2x＝，则sin 2x＝－，‎ 由＝ ‎＝＝＝＝－，‎ 答案：－　－ ‎11．已知tan α＝2.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求的值．‎ 解：(1)tan＝＝＝－3.‎ ‎(2) ‎＝＝ ‎＝＝1.‎ ‎12．已知coscos＝－，α∈.‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值．‎ 解：(1)coscos ‎＝cossin＝sin＝－，‎ 即sin＝－.‎ 因为α∈，所以2α＋∈，‎ 所以cos＝－，‎ 所以sin 2α＝sin ‎＝sincos －cossin ＝.‎ ‎(2)因为α∈，‎ 所以2α∈，‎ 又由(1)知sin 2α＝，‎ 所以cos 2α＝－.‎ 所以tan α－＝－＝ ‎＝＝－2×＝2.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．(2019·浙江五校联考)已知3tan ＋tan2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)＝(　　)‎ A． B．－ C．－ D．－3‎ 解析：选B.因为sin β＝3sin(2α＋β)，‎ 所以sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，‎ 所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α＋3cos(α＋β)sin α，所以2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α，‎ 所以tan(α＋β)＝＝－＝－2tan α，‎ 又因为3tan＋tan2＝1，‎ 所以3tan＝1－tan2，‎ 所以tan α＝＝，‎ 所以tan(α＋β)＝－2tan α＝－.‎ ‎2．(2019·浙江省名校协作体高三联考)对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：ω＝‎ 为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为(　　)‎ A． B． C． D．与a0有关的一个值 解析：选A.集合相对a0的“正弦方差”‎ ω＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎3．若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________．‎ 解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝.‎ 由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，‎ 因为α∈，所以tan α＞0，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝两边平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.‎ 答案： ‎4．(2019·杭州模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则sin β＝________，cos α＝________．‎ 解析：依题设及三角函数的定义得 cos β＝－，sin(α＋β)＝.又因为0<β<π，‎ 所以<β<π，<α＋β<π，‎ sin β＝，cos(α＋β)＝－.‎ 所以cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－×＋×＝.‎ 答案：　 ‎5．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.‎ ‎(1)求sin 2α和tan 2α的值；‎ ‎(2)求cos(α＋2β)的值．‎ 解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，‎ 即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.‎ 又2α∈，所以cos 2α＝＝，‎ 所以tan 2α＝＝.‎ ‎(2)因为β∈，β－∈，sin＝，所以cos＝，‎ 于是sin 2＝2sin·cos＝.‎ 又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，‎ 又2β∈，所以sin 2β＝，‎ 又cos2α＝＝，α∈，‎ 所以cos α＝，sin α＝.‎ 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ‎＝×－×＝－.‎ ‎6．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．‎ ‎(1)求a，θ的值；‎ ‎(2)若f＝－，α∈，求sin的值．‎ 解：(1)因为y＝a＋2cos2x是偶函数，所以g(x)＝cos(2x＋θ)为奇函数，而θ∈(0，π)，故θ＝，所以f(x)＝－(a＋2cos2x)sin 2x，代入得a＝－1.‎ 所以a＝－1，θ＝.‎ ‎(2)f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin 2x＝－cos 2xsin 2x＝－sin 4x，因为f＝－，‎ 所以f＝－sin α＝－，故sin α＝，又α∈，所以cos α＝－，sin＝×＋×＝.‎