高考数学复习课时提能演练(四十一) 6_7

高考数学复习课时提能演练(四十一) 6_7

‎ ‎ 课时提能演练(四十一)‎ ‎(45分钟 100分)‎ 一、选择题（每小题6分，共36分）‎ ‎1.利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*)”时，在验证n=1成立时，左边应该是( )‎ ‎（A）1 （B）1+a ‎（C）1+a+a2 （D）1+a+a2+a3‎ ‎2.（2012·济南模拟）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上( )‎ ‎（A）k2+1‎ ‎（B）(k+1)2‎ ‎（C）‎ ‎（D）（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2‎ ‎3.下列代数式(k∈N*)能被9整除的是( )‎ ‎（A）6+6×7k ‎（B）2+6×7k-1‎ ‎（C）2(2+2×7k+1)‎ ‎（D）3(2+7k)‎ ‎4.某个命题与正整数n有关，如果当n=k(k∈N*‎ ‎)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=7时该命题不成立，那么可推得( )‎ ‎（A）当n=6时该命题不成立 ‎（B）当n=6时该命题成立 ‎（C）当n=8时该命题不成立 ‎（D）当n=8时该命题成立 ‎5.（2012·济宁模拟）若Sk=1+2+3+…+(2k+1)，则Sk+1=( )‎ ‎（A）Sk+(2k+2)‎ ‎（B）Sk+(2k+3)‎ ‎（C）Sk+（2k+2）+(2k+3)‎ ‎（D）Sk+（2k+2）+(2k+3)+(2k+4)‎ ‎6.（易错题）已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为( )‎ ‎（A）a=,b=c=‎ ‎（B）a=b=c=‎ ‎（C）a=0,b=c=‎ ‎（D）不存在这样的a、b、c 二、填空题（每小题6分，共18分）‎ ‎7.（2012·福州模拟）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时，进而需证n=_______时，命题亦真.‎ ‎8. f(1)=1(n∈N*),猜想f(n)的表达式为_______.‎ ‎9.用数学归纳法证明:‎ 当推证当n=k+1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是_______.‎ 三、解答题（每小题15分，共30分）‎ ‎10.（2012·漳州模拟）数列{an}中,a1=-,当n>1,n∈N*时，Sn+=an-2,‎ ‎（1）求S1,S2,S3的值；‎ ‎（2）猜想Sn的表达式，并证明你的猜想.‎ ‎11.（2012·南平模拟）已知数列{an}的前n项和 ‎ (1)求a1的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）令的大小，并予以证明.‎ ‎【探究创新】‎ ‎（16分）设函数y=f(x),对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.‎ ‎（1）求f(0)的值；‎ ‎（2）若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值;‎ ‎（3）在（2）的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选C.当n=1时，左边=1+a+a2,故选C.‎ ‎2.【解析】选D.当n=k时，左端=1+2+3+…+k2，‎ 当n=k+1时，左端=1+2+3+…+k2+（k2+1）+(k2+2）+…+（k+1）2,‎ 故当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2，故选D.‎ ‎3.【解析】选D.通过验证k=1可否定A、B、C.‎ ‎4.【解析】选A.命题“n=k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立”的逆否命题为“n=k+1(k∈N*)时命题不成立，那么可推得当n=k(k∈N*)时命题也不成立”，故选A.‎ ‎【变式备选】f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k+1)≥(k+1)2成立，下列命题成立的是( )‎ ‎（A）若f(3)≥9成立，则对定义域内任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立 ‎（B）若f(4)≥16成立，则对定义域内任意的k≥4，均有f(k)2×3+1;‎ ‎24>2×4+1;25>2×5+1;…‎ 可猜想当n≥3时,2n>2n+1.‎ 证明如下：‎ 当n=3时，由上验算显然成立.‎ 假设当n=k时成立，即2k>2k+1；‎ 则n=k+1时2k+1=2·2k>2(2k+1)=4k+2‎ ‎=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1,‎ 所以当n=k+1时猜想也成立.‎ 综上可知，对一切n≥3且n∈N*，都有2n>2n+1成立.‎ 当n=1或n=2时，‎ 当n≥3（n∈N*）时，‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解题指南】（1）令x,y均为0可得f(0);‎ ‎(2)利用递推条件可得f(2),f(3),f(4);‎ ‎(3)证明时要利用n=k时的假设及已知条件进行等式转化.‎ ‎【解析】(1)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0,得f(0)=0.‎ ‎(2)由f(1)=1,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=4.‎ f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=9.‎ f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+2×3×1=16.‎ ‎（3）由（2）可猜想f(n)=n2,‎ 用数学归纳法证明:‎ ‎(ⅰ)当n=1时，f(1)=12=1显然成立.‎ ‎(ⅱ)假设当n=k时，命题成立,即f(k)=k2,‎ 则当n=k+1时，‎ f(k+1)=f(k)+f(1)+2×k×1‎ ‎=k2+1+2k=(k+1)2,‎ 故当n=k+1时命题也成立，‎ 由（ⅰ），（ⅱ）可得，对一切n∈N*都有f(n)=n2成立. ‎