专题15 直线与圆（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题15 直线与圆（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题15 直线与圆（仿真押题）‎ ‎2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 ‎1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)‎ A．内切　　　　　　　　 B．相交 C．外切 D．相离 解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<<5，所以两圆相交．‎ 答案：B ‎2．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B.O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是(　　)‎ A．(，＋∞) B．，＋∞)‎ C．，2) D．，2)‎ 答案：C ‎3．已知A(1,2)，B(3,1)两点到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l共有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条．又|AB|＝＝，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为＋－＝，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．‎ 答案：C ‎4．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　)‎ A. B. C．1 D．3‎ 解析：由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.‎ 答案：A ‎5．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0‎ C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0‎ 解析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y＝x＋3，即x－y＋3＝0，故选D.‎ 答案：D ‎6．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积为(　　)‎ A．5π B．9π C．16π D．25π ‎7．过点(－2，0)且倾斜角为的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M，N两点，则线段MN的长为(　　)‎ A．2 B．3 C．2 D．6‎ 解析　l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0，0)到直线l的距离d＝，则弦长|MN|＝2＝2.‎ 答案　C ‎8．已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　)‎ A. ＋y2＝ B.＋y2＝ C．x2＋＝ D．x2＋＝ 解析　由已知圆C圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，‎ 则rsin＝1，rcos＝|a|，‎ 解得r＝，‎ 即r2＝，|a|＝，‎ 即a＝±，故圆C的方程为 x2＋＝.‎ 答案　C ‎9．已知直线l过点O(0，0)和点P(cos α，sin α－4)，其中α≠kπ＋，k∈Z，则直线l的斜率的取值范围为(　　)‎ A．－，]‎ B．(－，)‎ C．(－∞，－]∪，＋∞)‎ D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ 答案　C ‎10．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)‎ A．－4 B．20 C．0 D．24‎ 解析　由两直线垂直得－×＝－1，‎ ‎∴a＝10，将垂足坐标代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，再代入2x－5y＋b＝0，‎ 得b＝－12，∴a＋b＋c＝－4.‎ 答案　A ‎11．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋4)4＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ 解析　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则 代入x＋y＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.‎ 答案　A ‎12．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为(　　)‎ A．－6 B．－3 C．－3 D．3‎ 解析　两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，‎ 所以|C1C2|＝＝2＋1＝3，‎ 即a2＋b2＝9.‎ 由a2＋b2≥，‎ 当且仅当“a＝b”时等号成立，‎ 所以(a＋b)2≤2(a2＋b2)，‎ 即|a＋b|≤3.‎ 所以－3≤a＋b≤3.‎ 故a＋b的最小值为－3.‎ 答案　C ‎13．已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．‎ 答案　 ‎14．经过两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0平行的直线的一般式方程为______________________．‎ 解析　两条直线2x－3y＋3＝0，‎ x－y＋2＝0的交点为(－3，－1)，‎ 所以所求直线为y＋1＝(x＋3)，即x－3y＝0.‎ 答案　x－3y＝0‎ ‎15．已知两直线l1：x＋ysin θ－1＝0和l2：2xsin θ＋y＋1＝0，当l1⊥l2时，θ＝________.‎ 解析　l1⊥l2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，‎ 即sin θ＝0，∴θ＝kπ(k∈Z)，‎ ‎∴当θ＝kπ(k∈Z)时，l1⊥l2.‎ 答案　kπ(k∈Z)‎ ‎16．一条直线l过点P(1，4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为________．‎ ‎17．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．‎ 解析　设所求圆的半径是r，依题意得，‎ 抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1，0)，‎ 则圆C的圆心坐标是(0，1)，‎ 圆心到直线4x－3y－2＝0的距离 d＝＝1，则r2＝d2＋＝10，‎ 故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.‎ 答案　x2＋(y－1)2＝10‎ ‎18．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．‎ 解析　作出可行域D及圆x2＋y2＝4如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为、－，得tan α＝，tan β＝－，tan θ＝tan(α－β)＝＝1，得θ＝，得弧长l＝θ·R＝×2＝(R为圆的半径)．‎ 答案　 ‎19．已知数列{an}，圆C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．‎ ‎(1)求证：数列{an}是等差数列；‎ ‎(2)若a1＝－3，则当圆C1的半径最小时，求出圆C1的方程．‎ ‎(1)证明　由已知，圆C1的圆心坐标为(an，－an＋1)，‎ 半径为r1＝，‎ 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝2.‎ 又圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长，‎ ‎∴|C1C2|2＋r＝r.‎ ‎∴(an＋1)2＋(－an＋1＋1)2＋4＝a＋a＋1，‎ ‎∴an＋1－an＝.‎ ‎∴数列{an}是等差数列．‎ ‎(2)解　∵a1＝－3，∴an＝n－.‎ 则r1＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎∵n∈N*，∴当n＝2时，r1可取得最小值，‎ 此时，圆C1的方程是：x2＋y2＋x＋4y－1＝0.‎ ‎20．如图，椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. ‎ ‎ (1)当|CD|＝时，求直线l的方程；‎ ‎(2)当点P异于A、B两点时，求证：·为定值．‎ ‎(1)解　因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由已知得b＝1，c＝1，∴a＝.‎ 则椭圆方程为＋x2＝1.‎ 直线l垂直于x轴时与题意不符．‎ 设l的方程为y＝kx＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)．由，消去y得，(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎|CD|＝·＝，‎ 由＝，解得k＝±.‎ ‎∴l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.‎ ‎(2)证明　直线l垂直于x轴时与题意不符．‎ 设l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，∴P点的坐标为.‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 直线AC的方程为y＝(x＋1)，‎ 直线BD的方程为y＝(x－1)，‎ 将两直线方程联立，消去y得＝.‎ 因为－1＜x1，x2＜1，‎ 所以与异号．‎ ＝＝· ‎＝ ‎＝＝.‎ 又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝ ‎＝－·，‎ ‎∴与y1y2异号，与同号．‎ ‎∴＝，解得x＝－k.‎ 因此Q点坐标为(－k，yQ)．‎ 因此Q点坐标为(－k，yQ)．‎ ·＝·(－k，yQ)＝1.‎ 故·为定值．‎ ‎21．已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，求a为何值时，A∩B＝∅.‎ 解　集合A、B分别为平面xOy上的点集，‎ 直线l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)，‎ l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0.‎ 由 解得a＝±1.‎ ‎①当a＝1时，显然有B＝∅，所以A∩B＝∅；‎ ‎22．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．‎ ‎(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；‎ ‎(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值．‎ 解　(1)由条件知点M在圆O上，‎ 所以1＋a2＝4，则a＝±.‎ 当a＝，点M为(1，)，kOM＝，k切＝－，‎ 此时切线方程为y－＝－(x－1)．‎ 即x＋y－4＝0.‎ 当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.‎ 此时切线方程为y＋＝(x－1)．‎ 即x－y－4＝0.‎ 所以所求的切线方程为 x＋y－4＝0或x－y－4＝0.‎ ‎(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，‎ 则d＋d＝OM2＝3.‎ 又有AC＝2，BD＝2，‎ 所以AC＋BD＝2＋2.‎ 则(AC＋BD)2＝4(4－d＋4－d＋2)‎ ‎＝45＋2]‎ ‎＝4(5＋2)．‎ 因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，‎ 当且仅当d1＝d2＝时取等号，‎ 所以≤，‎ 所以(AC＋BD)2≤4×＝40.‎ 所以AC＋BD≤2，‎ 即AC＋BD的最大值为2.‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．‎ 解析：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，‎ 故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.‎ 则圆C的半径为＝3.‎ 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：‎ 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.‎ 由已知可得，Δ＝56－16a－4a2>0.‎ 由根与系数的关系可知x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①‎ 由OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②‎ 由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.‎ ‎24.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．‎ 解析：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m>0)，‎ 则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋2＝，解得m＝，所以圆C的方程为2＋(y－2)2＝.‎ ‎25．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆被直线x－y＋4＝0截得的弦长为2.‎ ‎(1)求圆O的方程；‎ ‎(2)若斜率为2的直线l与圆O相交于A，B两点，且点D(－1,0)在以AB为直径的圆的内部，求直线l在y轴上的截距的取值范围．‎ 解析：(1)设x2＋y2＝r2，圆心(0,0)到直线x－y＋4＝0的距离d＝2，又因为截得的弦长为2，所以r＝＝，圆O的方程为x2＋y2＝7.‎ ‎(2)设斜率为2的直线l的方程为y＝2x＋b，‎ 与圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得5x2＋4bx＋b2－7＝0，‎ 则 已知点D(－1,0)在以AB为直径的圆的内部，所以·<0，即·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝5x1x2＋(2b＋1)(x1＋x2)＋b2＋1＝－－6<0，解得－30.‎ 所以直线l在y轴上的截距的取值范围为(－3,5)．‎