【数学】2020届数学文一轮复习第三章第1讲导数的概念及运算作业

【数学】2020届数学文一轮复习第三章第1讲导数的概念及运算作业

‎1．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 解析：选C．因为f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，所以f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.‎ ‎2．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为(　　)‎ A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0‎ C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0‎ 解析：选C．由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.‎ ‎3．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝(　　)‎ A．－6 B．－8‎ C．6 D．8‎ 解析：选D.因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7.‎ 所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsin x＋7.‎ 所以f′(x)＋f′(－x)＝14.‎ 又f′(2 018)＝6，所以f′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.‎ ‎4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．2 D．4‎ 解析：选B．由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×‎ ＝0.‎ ‎5．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为(　　)‎ A．1 B． C． D． 解析：选B．因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.‎ ‎6．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________．‎ 解析：由题意知，y′＝，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，‎ 即y＝2x－2.‎ 答案：y＝2x－2‎ ‎7．(2019·南昌第一次模拟)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．‎ 解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，‎ 所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.‎ 答案：1＋e ‎8．(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．‎ 解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.‎ 答案：1‎ ‎9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．‎ 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．‎ ‎(1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1.‎ ‎(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，‎ 所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，‎ 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，‎ 即4a2＋4a＋1>0，‎ 所以a≠－.‎ 所以a的取值范围为∪.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；‎ ‎(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．‎ 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．‎ 因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.‎ 所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，‎ 即y＝13x－32.‎ ‎(2)设切点为(x0，y0)，‎ 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，‎ 所以直线l的方程为 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，‎ 又因为直线l过点(0，0)，‎ 所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，‎ 整理得，x＝－8，‎ 所以x0＝－2，‎ 所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，‎ k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ ‎(3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，‎ 所以切线的斜率k＝4.‎ 设切点的坐标为(x0，y0)，‎ 则f′(x0)＝3x＋1＝4，‎ 所以x0＝±1.‎ 所以或 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，‎ 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.‎ 即y＝4x－18或y＝4x－14.‎ ‎1．(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． B．[－，＋∞)‎ C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)‎ 解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.‎ ‎2．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)‎ A．－1 B．－3‎ C．－4 D．－2‎ 解析：选D.因为f′(x)＝，‎ 所以直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，‎ 又f(1)＝0，‎ 所以切线l的方程为y＝x－1.‎ g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，‎ 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2.‎ ‎3．(2019·云南第一次统考)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________．‎ 解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.‎ 答案：4‎ ‎4．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．‎ 解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)，因为两切线垂直，所以 k1 k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1)．‎ 答案：(1，1)‎ ‎5．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．‎ 解：(1)由题意得，y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x1，y1)，‎ 则y1＝kx1，①‎ y1＝－x＋x1－4，②‎ ‎－2x1＋＝k，③‎ 联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．‎ 所以k＝.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线，‎ 其方程为y＝－2x＋5.④‎ 将④代入抛物线方程得，‎ x2－x＋9＝0.‎ 设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，‎ 所以x2＝，y2＝－4.‎ 所以Q点的坐标为.‎ ‎6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，‎ 因为f′(－1)＝0，‎ 所以3a－6－6a＝0，‎ 所以a＝－2.‎ ‎(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，‎ 则设切点为(x0，3x＋6x0＋12)．‎ 因为g′(x0)＝6x0＋6，‎ 所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，‎ 将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.‎ 当x0＝－1时，切线方程为y＝9；‎ 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.‎ 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，‎ ‎①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，‎ 解得x＝－1或x＝2.‎ 在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；‎ 在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，‎ 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.‎ ‎②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，‎ 解得x＝0或x＝1.‎ 在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；‎ 在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，‎ 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.‎ 综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.‎