陕西省西安中学2020届高三下学期第十二次重点考试数学（理）试题

陕西省西安中学2020届高三下学期第十二次重点考试数学（理）试题

陕西西安中学2019高三第十二次重点考试-数学（理）‎ 一．选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕‎ ‎1.设全集U=R，，那么如图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，知阴影部分表示的为，算出集合M、N表示的范围，根据集合的交集与补集的运算，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】由题，知阴影部分表示的为，由，得，，由，得，，所以，，那么如图中阴影部分表示的集合为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的运算，属基础题.‎ ‎2.各项不为的等差数列，满足，数列是各项为正的等比数列，且，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 8 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求得，然后求得，最后根据，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】因为是各项不为0的等差数列，所以，联立，得，解得或（舍去）；因为数列是各项为正的等比数列，且，所以，，则的最小值是8.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查等差数列性质、等比数列性质与基本不等式的综合问题.‎ ‎3.以下说法：‎ ‎①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；‎ ‎②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 ‎③线性回归方程必过 ‎④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；‎ ‎⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。‎ 其中错误的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本概念和基本性质，逐项判断，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1‎ ‎，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.‎ ‎4.球O是棱长为12的正四面体S-ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，那么平面DEF截球O所得截面的面积是（ ）‎ A. 36 B. 40 C. 48 D. 54‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先算出外接球的半径，然后算出球心到截面的距离，利用勾股定理可求得截面圆的半径，从而可得到本题答案.‎ ‎【详解】由正四面体的性质可知：，，因为，在中，由勾股定理得，由平行面分线段成比例可知：，故，，故所求截面面积为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的截面圆的面积问题.‎ ‎5.如图是判断“美数”的流程图，在[30，40]内的所有整数中“美数”的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由程序框图可知，美数就是能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】由程序框图知美数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在内的所有整数中，所有的能被3整除的数有30，33，36，39共4个，其中能被12 整除的有36，不能被6整除的有33，39，所以在[30，40]内的所有整数中“美数”的个数是3.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查程序框图，属基础题.‎ ‎6.在二项式的展开式中，含的项的系数是，那么复数在复平面上对应的点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在二项式的展开式中，含的项的系数是m，求得m，然后算出，的值，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】由题，得，因为含的项的系数是m，令，得，因为，，,‎ 所以，，在复平面上对应的点的坐标为.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理与复数的综合应用问题.‎ ‎7.在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列图象中可能正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可采用排除法进行判定，再根据指数函数和三角函数的图象的特征进行判定.‎ ‎【详解】，A项，∵，∴与为增函数矛盾.‎ B项，∵，∴，∴为增函数，错误.‎ C项，，∴，错误.‎ D项，，∴，为减函数，正确答案为D.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数和三角函数的函数图像，熟练掌握指数函数、三角函数图像和性质是解决此题的关键.‎ ‎8.已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，且 轴，若，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，因为，则，根据勾股定理可得∴由双曲线的定义知，， ，故选A．‎ ‎9.在中，,为边上的高，为的中点。那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以点D为原点，为x，y轴建立平面直角坐标系，写出点A、E、C的坐标，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】由题，得.以点D为原点，为x，y轴建立平面直角坐标系，得，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的综合问题，建立平面直角坐标系是解决本题的关键.‎ ‎10.函数假设，那么实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况，解不等式即可得到本题答案.‎ ‎【详解】当时，由题，得，，得；‎ 当时，由题，得，，得，即；‎ 综上，a取值范围为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查分段函数与不等式的综合问题.‎ 二.填空题：本大题共5小题,每题5分,计25分。将正确的答案填在答题卡的相应位置 ‎11.圆心在直线上，通过原点，且在轴上截得弦长为2的圆的方程为____‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆心在直线上，通过原点，可设圆的方程为,由在轴上截得弦长为2，可算得a，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】由圆心在直线上，通过原点，可设圆的方程为，令，得，由在轴上截得弦长为2，得，，‎ 所以圆的方程为或.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属基础题.‎ ‎12.已知整数以按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第个数对是 ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 通过观察可知数对按照两数之和为2,3，4,5，……依次排列，和为2的有1个，和为3 的有2个，以此类推可知和为11的有10个，这之前共有55个，从第56个开始为，所以第60个数对为 ‎13.已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点定义，分离出 ，构造函数，通过研究的值域来确定 的取值范围．‎ ‎【详解】根据零点定义，则 ‎ 所以 令 则，令 解得 ‎ 当时，，函数单调递减 当时，，函数单调递增 所以当时取得最小值，最小值为 ‎ 所以由零点的条件为 ‎ 所以，即的取值范围为 ‎【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题．‎ ‎14. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元．‎ ‎【答案】2300‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:‎ 产品 设备 ‎ A类产品 （件）（≥50） ‎ B类产品 （件）（≥140） ‎ 租赁费（元） ‎ 甲设备 ‎ ‎5 ‎ ‎10 ‎ ‎200 ‎ 乙设备 ‎ ‎6 ‎ ‎20 ‎ ‎300 ‎ 则满足的关系为即:,‎ 作出不等式表示的平面区域, ‎ 当对应的直线过两直线的交点（4,5）时，目标函数取得最低为2300元．‎ 考生注意：请在15,16,17三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题评阅记分 ‎15.不等式有解，那么实数的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分，和三种情况讨论，求得的最小值，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】设，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 可知在单调递减，在单调递增，单调递增，‎ 所以，，‎ 又有解的等价条件为，即，‎ 所以m的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式能成立的问题.‎ ‎16.已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，整理得，‎ ‎，，在平面直角坐标系到直线，‎ ‎，故答案为．‎ 考点：1、极坐标的应用；2、点到直线的距离公式．‎ ‎17.如图，⊙中的弦与直径相交于点，为延长线上一点，为⊙的切线，为切点，假设，，，，那么=_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由相交弦定理算得，再由切割线定理算得.‎ ‎【详解】由相交弦定理得，，得，则，由切割线定理得，，得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查相交弦定理和切割线定理的运用，属基础题.‎ 三．解答题：总分值75分。解承诺写出说明文字，证明过程或验算步骤 ‎18.在中，分别是角的对边，向量与的夹角的余弦值为。‎ ‎（1）求的值 ‎（2）假设，求面积的最大值 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得，利用诱导公式及二倍角公式化简，即可得到本题答案；‎ ‎（2）结合余弦定理及基本不等式，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】（1）由题，得，‎ 所以，；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由余弦定理，得，即，‎ 所以，即面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用诱导公式及二倍角公式化简求值，以及利用余弦定理和基本不等式求三角形面积的最大值.‎ ‎19.今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×0．785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0．785等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：‎ A小区 ‎ 低碳族 ‎ 非低碳族 ‎ ‎ ‎ B小区 ‎ 低碳族 ‎ 非低碳族 ‎ 比例P ‎ ‎1/2 ‎ ‎1/2 ‎ ‎ ‎ 比例P ‎ ‎4/5 ‎ ‎1/5 ‎ ‎（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰好有两人是低碳族的概率；‎ ‎（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地从A小区中任选25个人，记表示25个人中的低碳族人数，求E和 ‎【答案】（1）0.33‎ ‎（2）,．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A ‎（2）设A小区有a人，2周后非低碳族的概率 ‎2周后低碳族的概率 依题意,所以,．‎ ‎20.在三棱锥P—ABC中，PB平面ABC，ABBC，AB=PB=2，BC=2，E、G分别为PC、PA的中点.‎ ‎（1）求证：平面BCG平面PAC；‎ ‎（2）假设在线段AC上存在一点N，使PNBE，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值 ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，得平面，即可得到本题的结论；（2）由N为线段AC一点，可设为，得，又由，可确定的取值，从而可得到本题答案；（3）求出平面的法向量，然后套入公式，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】（1） 因为平面，平面，所以，‎ 又，，所以平面，则①，‎ 又，为等腰直角三角形，G为斜边的中点，所以②，‎ 又，所以平面，因平面，‎ 则有平面平面 ；‎ ‎（2）分别以为轴，建立空间直角坐标系，‎ 那么，因此，，设，那么，‎ 由，得，解得.‎ 因此，因此；‎ ‎（3）由（2）知，设平面的法向量为，则 ‎，即，‎ 令，得，因此，‎ 设直线与平面所成角为，那么.‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的证明、向量法求直线与平面所成角以及用向量法确定某点的位置.‎ ‎21.设是数列的前项和，点在直线上.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，数列的前项和为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，得，当时，得，由此可得本题答案；‎ ‎（2）利用错位相减法可求得，由数列是递增数列，且，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】（1）由题，得，‎ 当时，，得；‎ 当时，①，②，①-②得，；‎ 所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即；‎ ‎（2）由题，得，因为，所以 ‎①，‎ ‎②，‎ ‎①-②，得，‎ 所以，，‎ 显然，，因为，所以数列是递增数列，且，‎ 因此.‎ ‎【点睛】本题主要考查由的关系式求通项公式及用错位相减法求和.‎ ‎22.椭圆〔＞b＞0〕与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）过点，斜率为的直线与椭圆交于两点，设，假设，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由题可得，，点M的横坐标为，代入抛物线方程可求得M点纵坐标，然后利用椭圆的定义求出a，即可得到本题答案；‎ ‎（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得①，‎ ‎②，由题，得③，结合以上三个式子，得，求出在的取值范围，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】（1）由椭圆与抛物线有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足，‎ 得椭圆的，点M的横坐标为，代入抛物线方程，可得，‎ 因为椭圆焦点为，所以，得，则椭圆的方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，代入椭圆方程得：，恒成立.‎ 设，那么①，②，‎ 由可得，③，由以上三式可得：，‎ 当时，，因此在上单调递增，‎ 因此当时，，‎ 因此，，解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及椭圆与向量的综合问题.‎ ‎23.函数，，.‎ ‎（1）设，假设在上递减，求的取值范围；‎ ‎（2）假设，求证：.‎ ‎（3）是否存在实数，使得恒成立，假设存在，求出取值范围，假设不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在实数 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由在递减，得在恒成立， ，即可得到本题答案；‎ ‎（2）要证明时，，只需证明当，，算出的最小值和的最大值，即可得到本题答案；‎ ‎（3）分和考虑的最小值，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】（1），，‎ 由在递减，得在恒成立，所以，‎ 即，而，当且仅当时，等号成立，因此，‎ 即的取值范围是；‎ ‎（2）要证明时，，只需证明当，，‎ 当时，，，令，得 当时，，递减， ‎ 当时，，递增，‎ 因此，‎ ‎，令，解得 当时，递增，当时，递减，因此，而，，因此成立，即时，；‎ ‎（3），，‎ ‎①当时，，在上递减，因此 假设恒成立，那么，即，与矛盾；‎ ‎②当时，令，得.‎ ‎1.当时，即，当时，递减，当时，递增，因此，当时，取到唯一的极值，又是极小值，因此.‎ 假设恒成立，即，解得 ‎2.当时，即，当时，递减，因此，‎ 假设恒成立，那么，即，与矛盾.‎ 综上，存在实数，使得恒成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查已知函数在某区间的单调性求参数的取值范围，以及导数与不等式的综合问题.‎