2009年高考试题—数学文（湖南卷）解析版

2009年高考试题—数学文（湖南卷）解析版

‎2009年高考湖南文科数学试题及全解全析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．的值为【 D 】‎ A． B． C． D． ‎ 解:由,易知D正确. ‎ ‎2．抛物线的焦点坐标是【 B 】 ‎ A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0）‎ 解:由,易知焦点坐标是，故选B. ‎ ‎3．设是等差数列的前n项和，已知，，则等于【 C 】‎ A．13 B．‎35 C．49 D． 63 ‎ 解: 故选C.‎ 或由, ‎ ‎ 所以故选C.‎ ‎4．如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则【 A 】‎ A．‎ B．‎ C．‎ D． ‎ 图1‎ 解: 得，故选A.‎ ‎ 或.‎ ‎5．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】‎ A．14 B．‎16 C．20 D．48‎ 解:由间接法得，故选B. ‎ ‎6．平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6 ‎ 解:如图，用列举法知合要求的棱为：‎ ‎、、、、，‎ 故选C.‎ ‎7．若函数的导函数在区间上是增函数，‎ 则函数a b a b a o x o x y b a o x y o x y b 在区间上的图象可能是【 A 】‎ y A ． B． C． D．‎ 解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上 各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.‎ ‎ 8．设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 ‎ ‎ 取函数。当=时，函数的单调递增区间为【 C 】‎ A ． B． C ． D ． ‎ 解: 函数，作图易知，‎ 故在上是单调递增的，选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.‎ 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。‎ ‎9 ．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项 运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .‎ 解: 设所求人数为，则只喜爱乒乓球运动的人数为，‎ 故. 注：最好作出韦恩图！‎ ‎10．若，则的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解: ，当且仅当时取等号.‎ ‎11．在的展开式中，的系数为 6 (用数字作答).‎ 解: ，故得的系数为 ‎12． 一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。‎ 已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 120 .‎ 解: 设总体中的个体数为，则 ‎13．过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，‎ ‎ 切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 2 . ‎ 解: , ‎ ‎14．在锐角中，则的值等于 2 ，‎ 的取值范围为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解: 设由正弦定理得 由锐角得，‎ 又，故，‎ ‎15．如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ‎ ， . ‎ 图2‎ 解:作,设，,‎ 由解得故 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（每小题满分12分）‎ ‎ 已知向量 ‎（Ⅰ）若，求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）若求的值。 ‎ 解：（Ⅰ） 因为，所以 于是，故 ‎（Ⅱ）由知，‎ 所以 从而，即，‎ 于是.又由知，，‎ 所以，或.‎ 因此，或 ‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：‎ ‎（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； ‎ ‎（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.‎ 解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，‎ 相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，‎ 且 ‎ ‎（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 ‎ P=‎ ‎（Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ P=‎ ‎ 18．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图3，在正三棱柱中，‎ AB=4, ,点D是BC的中点，‎ 点E在AC上，且DEE.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面; ‎ ‎（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。‎ 解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.‎ 又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,‎ 所以DE⊥平面.又DE 平面，‎ 故平面⊥平面.‎ ‎ （Ⅱ）解法 1: 过点A作AF垂直于点,‎ 连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，‎ 所以AF平面,故是直线AD和 平面所成的角。 因为DE，‎ 所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，‎ 于是AD=，AE=4-CE=4-=3.‎ 又因为，所以E= = 4, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ , .‎ 即直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ 解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，‎ 则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).‎ 易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.‎ 设是平面的一个法向量，则 解得.‎ 故可取.于是 ‎ ‎= . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为 .‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.‎ ‎（Ⅰ）求b的值；‎ ‎（Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。‎ 解: （Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，‎ 所以，于是 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.‎ ‎（ⅰ）当c 12时，，此时无极值。 ‎ ‎（ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.‎ 当x＜时，， 在区间内为增函数； ‎ 当＜x＜时，，在区间内为减函数;‎ 当时，，在区间内为增函数. ‎ 所以在处取极大值，在处取极小值.‎ 因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.‎ 于是的定义域为.由 得.‎ 于是 .‎ 当时，所以函数 在区间内是减函数，故的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程;‎ ‎（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。‎ 解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，‎ 由题设条件知， 所以 ‎ 故椭圆C的方程为 .‎ ‎（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，‎ 显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，‎ ‎ ‎ ‎ 由得. ……①‎ 由解得. ……②‎ 因为是方程①的两根，所以，于是 ‎ =， .‎ 因为，所以点G不可能在轴的右边，‎ 又直线,方程分别为 所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 ‎ 即 亦即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解得，此时②也成立.‎ 故直线斜率的取值范围是 ‎21．（本小题满分13分）‎ 对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有 ‎ ‎, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则称数列为数列.‎ ‎（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;‎ ‎（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：‎ A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;‎ B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.‎ 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.‎ 判断所给命题的真假，并证明你的结论；‎ ‎(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。‎ 解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是 ‎ ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎==‎ 所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .‎ ‎（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.‎ 事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，‎ ‎ .‎ 由n的任意性知，数列不是B-数列。‎ 命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。‎ 事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有 ‎ ,‎ ‎ 即.于是 ‎,‎ 所以数列是B-数列。‎ ‎（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有 ‎ .‎ 因为 ‎ .‎ 记，则有 ‎ .‎ 因此.‎ 故数列是B-数列.‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎