【数学】2018届一轮复习人教A版直线与圆学案(1)

【数学】2018届一轮复习人教A版直线与圆学案(1)

‎【2018年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的距离；直线与圆的位置关系；直线被圆截得的弦长．多为B级或C级要求．‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1．两直线平行或垂直 ‎(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在且l1与l2不重合时，l1∥l2.‎ ‎(2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l1⊥l2.‎ ‎2．圆的方程 ‎(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.‎ ‎(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－‎4F＞0)，圆心为，半径为r＝；对于二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 ‎3．直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．‎ ‎4．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．‎ ‎5．直线与圆中常见的最值问题 ‎(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．‎ ‎(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．‎ ‎(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．‎ ‎(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．‎ ‎(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．‎ ‎【题型示例】‎ 题型1、直线和圆的方程 ‎【例1】 【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．‎ ‎【举一反三】 (2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．‎ 解析　直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.‎ 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ 答案　(x－1)2＋y2＝2 ‎ ‎【变式探究】 (1)已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为(　　)‎ A．11　　　　B．‎10　‎　　　C．9　　　　D．8‎ ‎(2)(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.‎ ‎【命题意图】(1)本题主要考查两直线的位置关系及两点间距离公式的应用，意在考查考生的运算求解能力．‎ ‎(2)本题主要考查圆的方程与点到直线的距离公式，意在考查考生的数形结合思想．‎ ‎【答案】(1)B　(2)4± ‎【感悟提升】‎ ‎(1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．‎ ‎(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．‎ 提醒：判断两条直线的位置关系时要注意两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．‎ ‎(3)一些含有参数的直线方程可能出现当x，y取定值时方程对任意参数恒成立的情况，这种情况就是直线恒过定点．一般解法是把直线方程整理成关于参数的方程，根据这个方程对任意参数恒成立，得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解就是直线恒过定点的坐标．‎ ‎【变式探究】若一三角形三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．‎ ‎【答案】　(x－2)2＋2＝ ‎ ‎【解析】　结合题意，易得三角形的三个顶点分别是(1,2)，(2,2)和(3,1)‎ ‎，作出图形，即可判断该三角形为钝角三角形，而能够覆盖钝角三角形的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的两个端点坐标分别为(1,2)，(3,1)，即圆的直径为，圆心坐标为，故其方程为(x－2)2＋2＝.‎ ‎【方法技巧】求圆的方程就是要确定圆心坐标和半径，通常用待定系数法；对于解析几何填空题利用其几何性质往往会起到方便、快捷作用．‎ ‎【变式探究】已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆＋＝1的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为________．‎ ‎【答案】　x2＋y2＝25‎ 题型2、直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎【例2】【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【答案】（1）不会；（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：‎ 设, ,则满足，所以.‎ 又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况.‎ ‎（2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为.[来源:学&科&网]‎ 由（1）可得，所以AB的中垂线方程为.学&科网 联立又，可得 所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径 故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【变式探究】 【2016高考新课标2文数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，解得，故选A．‎ ‎ 【举一反三】(2015·广东，5)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)‎ A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0‎ B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0‎ C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0‎ D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0‎ 解析　设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选D.‎ 答案　D ‎【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，7)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝(　　)‎ A．2 B．8 C．4 D．10‎ 答案　C ‎【感悟提升】 ‎ ‎1．直线与圆的位置关系及切线方程的求解方法 ‎(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较．‎ ‎(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．‎ ‎2．弦长与切线长的计算方法 ‎(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2(其中d为弦心距)．‎ ‎(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝(其中C为圆心)．‎ ‎3．圆上的点到直线的距离的求解策略 ‎(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解．‎ ‎(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解．‎ ‎(3)直接设点，利用方程思想解决．‎ ‎【变式探究】 (2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．2 答案　C ‎【方法技巧】根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系．‎ ‎【变式探究】(2015·山东，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 解析　圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k存在，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.‎ ‎∵反射光线与已知圆相切，‎ ‎∴＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.‎ 答案　D 题型三、有关圆的最值问题 例3、【2016高考江苏卷】‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点 ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ 所以，于是圆N的半径为，从而，解得.‎ 因此，圆N的标准方程为.‎ ‎（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.‎ 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，‎ 则圆心M到直线l的距离 ‎ ‎ 因为 ‎ 而 ‎ 所以，解得m=5或m=-15.‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. ‎ ‎ 【举一反三】(2015·广东，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标；‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎ 【变式探究】(2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)‎ A.　　　　　　　 　B. C．(6－2)π D. ‎【命题意图】结合图形分析，把问题转化为抛物线问题，考查了抽象概括能力和推理论证能力，利用点到直线的距离求解半径和面积，考查运算求解能力．‎ ‎【审题策略】思路一：根据动点A，B的位置，设A(a,0)，B(0，b)，得到动圆圆心的坐标，计算出半径r后，根据直线与圆相切的条件列出关于a，b的方程，求目标函数2r＝的最小值，再求圆的面积的最小值．‎ 思路二：根据题意，以线段AB为直径的圆过原点，即三角形AOB 是直角三角形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由平面几何知识，知面积最小的圆的直径即为原点O到直线2x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式计算即可．‎ ‎【答案】A ‎【方法总结】‎ ‎1.涉及直线与圆的位置关系时，应多考虑圆的几何性质，利用几何法进行直接求解．‎ ‎2．在求有关最值问题时，注意建立相关的目标函数或结合圆的几何性质直接运用平面几何知识求解．‎ ‎ ‎