四川省攀枝花市2020届高三第三次统一考试数学（理）试题附答案

四川省攀枝花市2020届高三第三次统一考试数学（理）试题附答案

高三理科数学 第 1 页 共 4 页 攀枝花市 2020 届高三第三次统一考试 2020.4 理科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应顺目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．设集合 { | ( 1)( 2) 0}A xx x= + −<， { | 1 3}Bx x= << ，则 AB= （ ） （A）{ | 1 2}xx<< （B）{ | 2 3}xx<< （C）{ | 1 3}xx−< < （D）{ | 1 1}xx−< < 2．已知 (1)3zi i−=+（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） （A）3 （B）3i （C） 3− （D） 3i− 3．已知角α (0 2 )απ≤< 终边上一点的坐标为 77(sin ,cos )66 ππ，则α = （ ） （A） 5 6 π （B） 7 6 π （C） 4 3 π （D） 5 3 π 4．各项均不相等的等差数列{}na 的前5项的和 5 5S = − ，且 346,,aaa成等比数列，则 7a = （ ） （A） 14− （B） 5− （C） 4− （D） 1− 5. 设 a 、b 、 c 依次表示函数 1 2() 1fx x x= −+， 1 2 ( ) log 1gx x x= −+， 1() ( ) 12 xhx x= −+的零点，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ） （A） abc<< （B）cba<< （C） acb<< （D）bca<< 6．已知α 是给定的平面，设不在α 内的任意两点 M 和 N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ） （A）在α 内存在直线与直线l 相交 （B）在α 内存在直线与直线l 异面 （C）在α 内存在直线与直线l 平行 （D）存在过直线l 的平面与α 平行 7． 23( 2)xx−− 的展开式中，含 4x 的项的系数是（ ） （A）9 （B） 9− （C）3 （D） 3− 8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ） （A）63π （B）57π （C）48π （D）39π 正视图 侧视图 俯视图 • 3 3 4 高三理科数学 第 2 页 共 4 页 A B E C D M A1 9．有编号分别为 1，2，3，4 的 4 个红球和 4 个黑球，随机取出 3 个，则取出的球的编号互不相同的概率是（ ） （A） 4 7 （B） 3 7 （C） 2 7 （D） 1 7 10．设双曲线 22 22: 1( 0, 0)xyC abab −=> >的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，与圆 222xya+=相切的直线 1PF 交 双曲线C 于点 P （ P 在第一象限），且 2 12| || |PF F F= ，则双曲线C 的离心率为（ ） （A） 10 3 （B） 5 3 （C） 3 2 （D） 5 4 11．已知函数 ( ) sin +cosfx x xωω= 1(,)4 xω >∈R ，若 ()fx的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属 于区间( ,)2 π π ，则ω 的取值范围是（ ） （A） 15[,]24 （B） 1[ ,2]2 （C） 15(,]44 （D） 1( ,2]4 12．设函数 ( ) ln( ) 2fx x k= ++，函数 ()y gx= 的图象与 1 2 1 x ye − = + 的图象关于直线 1x = 对称．若 实数 12,xx 满足 12() ()f x gx= ，且 122xx− 有极小值 2− ，则实数 k 的值是（ ） （A）3 （B） 2 （C）1 （D） 1− 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知| |1a = ，||2b = ，且 ( )2aba⋅− =− ，则向量 a  与b  的夹角为_________． 14．已知数列{}na 的前 n 项和为 nS ，且满足 21nnaS−= *()n∈N ，则 4a = ． 15．焦点为 F 的抛物线 2:4Cx y= 的准线与坐标轴交于点 A ，点 P 在抛物线C 上 ，则 || || PA PF 的最大值为 ． 16．如图，在平行四边形 ABCD 中， 60BAD∠= ， 22AB AD= = ，E 为边 AB 的中点，将 ADE∆ 沿直线 DE 翻折成 1A DE∆ ，设 M 为线段 1AC的中点.则在 ADE∆ 翻折过程中，给出如下结论： ①当 1A 不在平面 ABCD 内时， //MB 平面 1A DE ； ②存在某个位置，使得 1DE AC⊥ ； ③线段 BM 的长是定值； ④当三棱锥 1C A DE− 体积最大时，其外接球的表面积为13 3 π ． 其中，所有正确结论的序号是 ．（请将所有正确结论的序号都填上） 高三理科数学 第 3 页 共 4 页 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（ 12 分） 在 ABC∆ 中，角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，且 AbcBa cos)4(cos −= . （Ⅰ）求 Acos 的值； （Ⅱ）若 4=b ，点 M 在线段 BC 上，且 AMACAB 2=+ ， 6=AM ，求 ABC∆ 的面积． 18．（12 分） 某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价 x （单位：元 / 件）及 相应月销量 y （单位：万件），对近 5 个月的月销售单价 ix 和月销售量 (1iyi= ，2，3，4，5) 的数据进行了统 计，得到如下表数据： 月销售单价 ix （元 / 件） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量 iy （万件） 11 10 8 6 5 （Ⅰ）建立 y 关于 x 的回归直线方程； （Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为 7 元 / 件时，其月销售量达到 18 万件，若由回归直线方 程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过 0.5 万件，则认为所得到的回归直线方程是 理想的，试问（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？ （Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元 / 件，月销售单价 x 为何值时（销售单价不超过11元 / 件），公 司月利润的预计值最大？ 参考公式：回归直线方程 ˆˆˆy bx a= + ，其中 1 22 1 ˆ n ii i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑ ， ˆa y bx= −  ． 参考数据： 5 1 392ii i xy = =∑ ， 5 2 1 502.5i i x = =∑ ． 19．（ 12 分） 如图，已知三棱柱 111ABC A B C− 的所有棱长均为 2， 1 3B BA π∠=． （Ⅰ）证明： 11B C AC⊥ ； （Ⅱ）若平面 11ABB A ⊥ 平面 ABC ， M 为 11AC 的中点，求 1BC与 平面 1AB M 所成角的正弦值． 1A 1B 1C A B C M 高三理科数学 第 4 页 共 4 页 20．（ 12 分） 已知函数 2( ) ( 2) ln ( )f x a x ax x a+=+ −∈R ． （Ⅰ）当 0a = 时，求曲线 ()y fx= 在(1, (1))f 处的切线方程； （Ⅱ）设 232() 3gx x x= − ，若 1 (0,1]x∀∈ , 2 [0,1]x∃∈ ，使得 1 2() ()f gxx ≥ 成立，求实数 a 的取值范围． 21．（ 12 分） 点 (, )Mxy与定点 (1, 0)F 的距离和它到直线 4x = 的距离的比是常数 1 2 . （Ⅰ）求点 M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于 ,AB两点，轨迹C 上异于 ,AB的点 P 满足直线 AP 的斜率为 3 2 − . （ⅰ）求直线 BP 的斜率； （ⅱ）求 ABP∆ 面积的最大值. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 1 cos sin x y ϕ ϕ = +  = （ϕ 为参数），将曲线 1C 向左平移1个单位长 度，再向上平移1个单位长度得到曲线 2C .以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线 1C 、 2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线OM ： ( 0)θ αρ= ≥ 分别与曲线 1C 、 2C 交于点 A 、B（ A 、B 均异于坐标原点O ）， 若 2AB = ， 求α 的值. 23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 () | | | |fx x a x b=−++( 0, 0)ab>>. （Ⅰ）当 1ab= = 时，解不等式 () 2fx x<+； （Ⅱ）若 ()fx的值域为[2, )+∞ ，证明： 1 11211a b ab + +≥++ ． 高三第三次统考数学（理）参答 第 1 页 共 4 页 攀枝花市 2020 届高三第三次统考数学（理科） 参考答案 一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分） （1~5）ACCBD （6~10）BDCAB （11~12）AB 二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 13、 2 3 π 14、 8 15、 2 16、 ①③④ 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为 AbcBa cos)4(cos −= ， 由正弦定理得： ABCBA cos)sinsin4(cossin −= ，……………………2 分 即 ACABBA cossin4cossincossin =+ ，可得 ACC cossin4sin = ，……………………4 分 在 ABC∆ 中， 0sin ≠C ，所以 4 1cos =A ．……………………6 分 （Ⅱ）解法一：∵ AMACAB 2=+ ，两边平方得： 222 42 AMACACABAB =+⋅+ ，………………8 分 由 4=b ， 6=AM ， 4 1cos =A ，可得： 2 12 4 16 4 64cc+ ⋅⋅ + =×，解得 2c = 或 4c = − （舍）……10 分 又 2 15sin 1 cos 4AA=−=，所以 ABC∆ 的面积 154 15242 1 =×××=S ．……………………12 分 解法二：延长 BA 到 N ，使 AB AN= ，连接 CN ， ∵ AMACAB 2=+ ， M 点为 BC 线段中点， 6=AM ，∴ 62=CN ，…………………8 分 又 4=b ， 4 1cos =A ， 4 1)cos(cos −=∠−=∠ ACAN π ∴ CANANACANACCN ∠⋅⋅−+= cos2222 即 2 124 16 2 4 ( )4cc= + − ⋅ ⋅− ，解得： 2c = 或 4c = − （舍），…………………10 分 又 2 15sin 1 cos 4AA=−=，∴ ABC∆ 的面积 154 15242 1 =×××=S ．……………………12 分 18、（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为 1 (11 10.5 10 9.5 9) 105x = + ++ +=， 1 (5 6 8 10 11) 85y = +++ + =．…………………2 分 所以 2 392 5 10 8 3.2502.5 5 10b −× ×= = −−×  ，所以  8 ( 3.2) 10 40a = −− × = ， 所以 y 关于 x 的回归直线方程为： ˆ 3.2 40yx=−+．……………………5 分 （Ⅱ）当 7x = 时， ˆ 3.2 7 40 17.6y =−×+ = ，则|17.6 18 | 0.4 0.5−= < ， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．……………………8 分 （Ⅲ）设销售利润为 M ，则 ( 5)( 3.2 40)(5 11)Mx x x= − − + <≤ 23.2 56 200M xx=−+−，所以 8.75x = 时， M 取最大值， A B C M N 高三第三次统考数学（理）参答 第 2 页 共 4 页 所以该产品单价定为 8.75 元时，公司才能获得最大利润．……………………12 分 19、（本小题满分 12 分） 证明：（Ⅰ）取 AB 中点 D ，连接 1BD，CD ， 1BC ．…………………1 分 ∵三棱柱的所有棱长均为 2， 1 3B BA π∠= ∴ ABC∆ 和 1ABB∆ 是边长为 2 的等边三角形，且 11B C BC⊥ ．…………2 分 ∴ 1B D AB⊥ ，CD AB⊥ ∵ 1BD，CD ⊂ 平面 1B CD ， 1B D CD D= ∴ 1AB B CD⊥ 平面 ．………………4 分 ∵ 11BC BCD⊂ 平面 ∴ 1AB B C⊥ ∵ AB ， 1BC ⊂ 平面 1ABC ， 1AB BC B= ∴ 11B C ABC⊥ 平面 ∴ 11B C AC⊥ ．……………………6 分 另证： 11 1 1 1 11 11 1 11 11 1 11 1 AC AC B C AC AC A B C A B AEAC A B A B AEC AB CE ⊥⇐ ⊥⇐⊥ ⇐ ⊥ ⊥⇐⊥ ⇐ ⊥ 菱形对角线 平面 平面 （Ⅱ）∵平面 11ABB A ⊥ 平面 ABC ，且交线为 AB ，由（Ⅰ）知 1B D AB⊥ ， ∴ 1BD⊥ 平面 ABC ． 则 DB ， 1DB ， DC 两两垂直，则以 D 为原点， DB 为 x 轴， DC 为 y 轴， 1DB 为 z 轴，建立空间直角坐标 系．……………………8 分 则 (0,0,0)D ， ( 1,0,0)A − ， 1(0,0, 3)B ， (0, 3,0)C ， 1(1,3,3)C − ， 1( 2,0, 3)A − ∵ M 为 11AC 的中点， ∴ 33( , , 3)22M − ∴ 1 (0, 3, 3)BC= − ， 1 (1, 0, 3 )AB = ， 13( , , 3)22AM = − 设平面 1AB M 的法向量为 (, ,)n xyz= ， 则 1 30 133022 AB n x z AM n x y z  ⋅=+ = ⋅=− + + =     ，取 1z = ，得 ( 3, 3,1)n =−− ．……………………10 分 设 1BC与平面 1AB M 所成的角为α ，则 1 1 ||4 3 2 26sin 13| || | 6 13 BC n BC n α ⋅= = = ⋅ ⋅     ． ∴ 1BC与平面 1AB M 所成角的正弦值为 2 26 13 ．……………………12 分 20、（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）当 0a = 时， 2( ) 2 lnfx x x= − ， 1() 4fx x x ′ = − 则 (1) 2f = ， (1) 3f ′ = ， 故曲线 ()=y fx在(1, (1))f 处的切线方程为3 10xy− −= ．………………3 分 （Ⅱ）问题等价于 1 (0,1]x∀∈ ， 2 [0,1]x∃∈ ， min 2 min1() ()f gxx ≥ ．………………4 分 由 232() 3gx x x= − 得 2() 2 2gx x x′ = − ，由 2() 2 2 0gx x x′ =−≥得 01x≤≤ 所以在[0,1] 上， ()gx是增函数，故 min( ) (0) 0gx g= = ．………………5 分 1A 1B 1C A B C M D x y z 高三第三次统考数学（理）参答 第 3 页 共 4 页 ()fx定义域为(0, )+∞ ，而 21 2( 2) 1 (2 1)[( 2) 1]( ) 2( 2) axaxxaxfx a xa xx x + +− + + −= + +− = =′ ． 2a ≤−当 时 () 0fx′ <， 恒成立， ()fx在(0,1] 上是减函数， 所以 min( ) (1) 2( 1) 0 1fx f a a= = + ≥ ⇒ ≥− ，不成立；………………7 分 当 2a >− 时，由 () 0fx′ < ，得 10 2x a <<+ ；由 () 0fx′ > ，得 1 2x a > + ， 所以 ()fx在 1(0, )2a + 单调递减，在 1( ,)2a +∞+ 单调递增． 若 1 12a >+ ， 21a− < <−即 时 ()fx, 在 (0,1] 是减函数，所以 min( ) (1) 2( 1) 0 1fx f a a= = + ≥ ⇒ ≥− ，不成 立；………………9 分 若 1012a <≤+ ， 1a ≥−即 时 ()fx， 在 1 2x a = + 处取得最小值 min 11( ) ( ) 1+ln( 2)22fx f aaa = = +−++ 令 ( )1( ) 1+ln( 2) 12ha a aa = + − ≥−+ ，则 ( ) ( ) ( )22 11 3=02 22 aha a aa +′ =+>+ ++ 在[ 1, )− +∞ 上恒成立， 所以 ( )ha在[ 1, )− +∞ 是增函数且 min( ) ( 1) 0ha h=−=，此时 min 1() ( ) 02fx fa = ≥+ 成立，满足条件； 综上所述： 1a ≥− ．………………12 分 21、（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由已知得： 22( 1) 1 | 4| 2 xy x −+ =− ，两边平方并化简得 223 4 12xy+= 即点 M 的轨迹C 的方程为： 22 143 xy+=．………………3 分 （Ⅱ）（i）设点 11(, )Ax y ，则点 11(, )Bx y−− ，满足 22 11143 xy+=……① 设点 22(, )Px y ，满足 22 22143 xy+=……② 则① −②得： 1 21 2 1 21 2( )( ) ( )( ) 043 xxxx y yy y−+ −++=，  12 12 3 2AP yyk xx −= = −− ， 12 12 BP yyk xx += + 12 12 1 2BP yyk xx +∴= =+ ．………………6 分 （ii） ,AB 关于原点对称， 2ABP OAPSS∆∆∴= 设直线 :AP 3 2y xm=−+，代入曲线 22 :143 xyC +=化简得： 223 3 30x mx m− + −=，设 11 2 2( , ), ( , )Ax y Px y ，由 0∆> 得： 2 12m < ， 2 1 2 12 3, 3 mx x m xx −+= = 2 2 1 2 1 2 12 99 9| |1 | |1 ( )4 1 44 4 43 mAP x x x x x x=+ −=+ + − =+ − ………………8 分 点O 到直线 AP 的距离 || 91 4 md = + ， 24 212 2 | | | |4 42 33ABP OAP mmS S AP d m m∆∆∴ = =×× ⋅= − = − 4 2 2214 ( 6) 1233ABP mS mm∆∴ =−+ =− −+，当 2 6m = 时， ABPS∆∴ 取到最大值 23．………………12 分 高三第三次统考数学（理）参答 第 4 页 共 4 页 请考生在 22~23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ） ( )2 21 cos 1 cos 11sin sin xxxyyy ϕϕ ϕϕ =+ −=⇒ ⇒− +== =  .  222, cos , sinx yx yρ ρ θ ρθ=+= = ∴曲线 1C 的极坐标方程为 2cosρθ= .……………………3 分 因曲线 1C 是圆心为( )1, 0 ，半径为1的圆，故曲线 2C 的直角坐标方程为 22( 1) 1xy+− =.………………4 分 ∴曲线 2C 的极坐标方程为 2sinρθ= .……………………5 分 （Ⅱ）设 1(,)A ρα、 2( ,)B ρα， 则 12| | 2 | sin cos | 2 2 | sin( ) | 24AB πρρ α α α=−= − = −= .……………7 分 所以 1sin( )42 πα −=±， 因为 222kkππα π<< +，所以 2 ()46k kZππαπ−= ± ∈ .……………………9 分 所以 2 ()12k kZπαπ=+∈或 52 ()12k kZπαπ=+∈.……………………10 分 （注：仅解出 12 πα = 或 5 12 πα = 扣 1 分.） 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解： 解：（Ⅰ）当 1ab= = 时，不等式为| 1| | 1| 2x xx− + +<+ 当 1x <− 时，不等式化为 222 3xx x− < + ⇒ >− ，此时不等式无解； 当 11x−≤ <时，不等式化为 22 0xx<+⇒>，故01x<<； 当 1x ≥ 时，不等式化为 222xx x<+⇒<，故12x≤<； 综上可知，不等式的解集为{ | 0 2}xx<< .……………………5 分 （Ⅱ） () | | | || |fx x a x b a b=−++≥+  ()fx的值域为[2, )+∞ ，且 0, 0ab>>，故 2ab+=.……………………7 分 故 1 1 111 1 11 1 1 1( )[( 1) ( 1)] (2 )11 411 4 11 baaba b ab a b ab a b ab +++ += + ++++= + + +++ ++ ++ 21 11 2(2 2 ) ( ) 1 1 24 11 ba a b ab ++≥ + ⋅ + =+=++ + （当且仅当 1ab= = 时取等号）.………………10 分 另证： 111111 11111()11 112 112 ab abababababab +++=++⋅=+++++ ++ ++ 1 1 1 11 1( )[( 1) ( 1)] ( )( )41 1 4a b aba b ab = + ++ + + + +++ 2211 1 1 1[( 1 1) ( ) ] 241 1a b aba b ab ≥ ⋅ ++ ⋅ + + ⋅ + ⋅ =++ （当且仅当 1ab= = 时取等号）.………………10 分