专题12 破解平面向量难题的法宝-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱

专题12 破解平面向量难题的法宝-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱

一．命题陷阱类型 平面向量是高中数学的基础，是每年高考必考的知识点，对初学者往往不能深刻理解有关概念和方法而陷入命题陷阱.关于平面向量的试题在命制时，主要有概念类、隐含条件类、迷惑性类、图解类等几类陷阱.其中：‎ ‎1.概念类陷阱，零向量的方向问题，向量与实数的运算要与实数与实数的运算区分开，三点共线与向量共线区分开，向量的方向问题，向量的数量积与向量的夹角问题等.‎ ‎2.隐含条件陷阱, 向量是高中数学的重要工具之一，向量与不等式的综合，要注意挖掘它们之间的关系和隐含条件.‎ ‎3.迷惑性陷阱，三角形中的重心、垂心、内心、外心是重要的概念，用向量表示时要注意它们的区别.‎ ‎4.图解类陷阱，向量与三角形的综合，以及利用向量的几何意义解决向量问题，要注意运用数形结合的方法.‎ 二、知识——陷阱对应关系 三、常见陷阱展示 陷阱1.零向量问题（概念类）‎ ‎【例1】下列说法中错误的是（ ）‎ A．零向量没有方向 B．零向量与任何向量平行 C．零向量的长度为零 D．零向量的方向是任意的 ‎【陷阱提示】牢记的定义.‎ ‎【防错良方】零向量的定义是：零向量是模等于0的向量，方向是任意的,并规定零向量与任何向量平行.‎ ‎【例2】判断：已知，，则.‎ ‎【解析】：这个命题是错误的，因为如果，则，，但与不一定平行. ‎ ‎【陷阱提示】当问题涉及到向量平行（共线）时，必须考虑.‎ ‎【防错良方】：对于向量的平行和共线，必须考虑.‎ 陷阱2.向量与实数的运算（概念类）‎ ‎【例3】下列关于向量，的叙述中，错误的是（ ）‎ A．若，则 B．若，，所以或 C．若，则或 D．若，都是单位向量，则恒成立 ‎【解析】：选项A，若，则则因此是正确的；‎ 选项B，由向量的数乘概念若，，可得或，因此是正确的；‎ 选项C，当时，，所以若，则或是错误.‎ 选项D，因为，都是单位向量，所以成立，因此选C.‎ ‎【陷阱提示】向量与实数的运算，要与实数与实数的运算区分开.‎ ‎【防错良方】：对于向量的运算，要严格按照向量的运算法则和向量与实数的运算法则运算，不能照搬实数与实数的运算.‎ 陷阱3.三点共线问题（概念类）‎ ‎【例4】．已知向量，且，，，则一定共线的三点是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【陷阱提示】把向量共线与多点共线区分开，弄清它们之间的联系.‎ ‎【防错良方】本题是一个利用平面向量的平行判断平面内三点共线的问题，属于容易题.解决本题的基本思路及切入点是，首先先判定两个向量平行，一般的如果是平面内的两个向量，并且，那么向量平行(共线)的充要条件是存在唯一实数，使得.其次是如果非零向量共线，则三点共线.‎ 陷阱4.向量的方向（概念类）‎ ‎【例5】．已知是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为（ ）‎ ‎（1）的方向与的方向相同，且的模是的模的2倍；‎ ‎（2）的方向与的方向相反，且的模是的模的；‎ ‎（3）与是一对相反向量；‎ ‎（4）与是一对相反向量.‎ A.1 B.2 C.3 D.4 ‎ ‎【解析】：由于是两个非零向量，所以命题（1）的方向与的方向相同，且的模是的模的2倍是正确的；（2）的方向与的方向相反，且的模是的模的也是正确的；（3）与是一对相反向量也是正确的；由于，因此（4）与 是一对相反向量是错误的；故答案选C.‎ ‎【陷阱提示】注意一个向量如果乘以正数，方向不变，如果乘以负数，方向变为相反向量．‎ ‎【防错良方】本题考查向量的方向问题，一个向量如果乘以正数，方向不变，如果乘以负数，方向变为相反向量，相反向量是方向相反，模相等．‎ 陷阱5.向量的数量积与向量的夹角（概念类）‎ ‎【例6】．已知两个向量满足且与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______________.‎ ‎【陷阱提示】两个向量夹角为钝角时，它们的数量积为负值，这包括平角，所以必须把平角情况去掉.‎ ‎【防错良方】对于两个向量所成的角是钝角时，它们的数量积为负值，这种情况下包括平角，所以必须把平角情况去掉.‎ ‎【例7】．在中三个内角 A、B、C所对的边分别为 则下列判断错误的是（ ）‎ A.若 则 为钝角三角形 ‎ B.若 则 为钝角三角形 C.若则为钝角三角形 ‎ D.若A、B为锐角且 则为钝角三角形 ‎【解析】：,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【答案】C ‎【陷阱提示】两个向量夹角问题必须要弄清它们所夹的角是什么.‎ ‎【防错良方】,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角 陷阱6.向量与不等式（隐含条件类）‎ ‎【例8】．如图，矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线，,于.若，，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【陷阱提示】本题在解答过程中找到，然后得到，在利用“1”的变通，并利用均值不等式求解.‎ ‎【防错良方】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎【例9】．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为（ ）‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎【陷阱提示】利用题意找到隐含条件．‎ ‎【防错良方】本题将向量的数量积公式和三角变换及基本不等式等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将,再运用已知得到,即.再将向量的数量积公式化为,从而求得,.最后通过构建平面直角坐标系求出直线且,然后运用基本不等式使得问题获解.‎ 陷阱7 向量与三角形的心（迷惑类）‎ ‎【例10】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）‎ A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 ‎【陷阱提示】根据几何意义，画出图形，并由三角形的几个心的概念得到结论.‎ ‎【防错良方】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.‎ ‎【例11】已知是所在平面内的一点，动点满足，‎ ‎,则动点的轨迹一定通过的（ ）‎ A.垂心 B.重心 C．内心 D．外心 ‎【解析】∵，‎ ‎∴，即．‎ 又∵，‎ ‎∴与垂直，即，‎ ‎∴点在的高线上，即的轨迹过的垂心，故选A ‎【陷阱提示】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.‎ ‎【防错良方】本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，解答关键是得出与垂直，属于基础题．可先根据空间向量的加减法得出 ‎，与数量积为零故垂直，可得点在的高线上，从而得到结论．‎ 陷阱8向量与三角形的综合（图解类）‎ ‎【例12】已知非零向量与满足，且，则的形状为（ ）‎ A.等边三角形 B.三边均不相等的三角形 ‎ C.等腰非等边三角形 D.直角三角形 ‎【陷阱提示】做出图形，考查向量的几何意义.‎ ‎【防错良方】本题考查的是平面向量数量积的运算，三角形形状的判断，关键是判断表示以与同向的单位向量和与同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线，结合判断出的平分线与 垂直，从而推断三角形为等腰三角形，现根据向量的数量积公式求得角为，所以为等腰非等边三角形.‎ ‎【例13】在所在平面上有三点，满足，，，则的面积与的面积之比为（ ）‎ A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5‎ ‎【陷阱提示】利用向量的运算法则，考查它们的几何意义，寻找面积之比.‎ ‎【防错良方】本题主要考查向量的运算法则、向量共线的充要条件和相似三角形的面积关系，涉及数形结合思想和一般与特殊思想，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题型．首先将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简得到，利用向量共线的充要条件得到为线段的一个三等分点，同理可得的位置；利用三角形的面积公式求出三角形的面积比．‎ 陷阱9几何意义解决向量问题（图解类）‎ ‎【例14】．已知点在内（不含边界），且，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】：当在上时，，因此当在内部时，有，由在如图所求内部（不含边界），其中， 表示与点连线的斜率，，，所以．故选A．‎ ‎【陷阱提示】利用向量的几何意义得到线性可行域，再利用斜率求解.‎ ‎【防错良方】本题首先考查向量的线性运算性质，向量共线的性质，如当在上时，，从而得出当在内部时，满足的约束条件，其次作出可行域是解题常用方法，的几何意义是解题的关键．‎ ‎【例15】．已知点在圆上运动, 且,若点的坐标为,则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】：因为,点在圆上,故过圆心,,‎ ‎,当与同向共线时,即时,取最大值．故选B．‎ ‎【陷阱提示】利用向量的加法的几何意义求解.‎ ‎【防错良方】首先把式子考，化简后考查几何意义求得最值.‎ 四．陷阱演练 ‎1．已知O是△ABC内部一点， ， 且∠BAC=60°，则△OBC的面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【方法总结】此题是个中档题．本题考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，特别注意已知是内部一点， 为三角形的重心，以及灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力.‎ ‎2．在中，若分别为边上的三等分点，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】若两边平方得 ，E，F为BC边的三等分点， ‎ ‎ ‎ 故选A ‎3．已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】试题分析：由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.‎ ‎4．已知O是锐角的外心， ，若则m＝（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由正弦定理 可得 化为 故答案选 ‎5．如图，在中， 为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，‎ ‎∴．‎ 又,‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴．选D．‎ ‎6．已知向量＝(3,1)， ＝(－1,3)， (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则的最小值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎7．若O为平面内任意一点，且，则△ABC是(　　)‎ A. 直角三角形或等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形但不一定是直角三角形 D. 直角三角形但不一定是等腰三角形 ‎【答案】C ‎【解析】由＝0得·＝0，∴2－2＝0，即||＝||，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.‎ ‎8．已知向量,若与的夹角为60°,且 ‎,则实数的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴选A．‎ ‎【方法总结】（1）在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对要引起足够重视，它是求距离常用的公式．‎ ‎（2）要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．‎ ‎9．P、Q为三角形ABC中不同两点,若,,则为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【方法总结】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．本题的解答中利用共线向量，得到，从而确定三角形的面积比.‎ ‎10．设为单位向量，满足，非零向量，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵为单位向量，满足，非零向量 ‎∴‎ 令， ‎ 当时， 最大，最大值为 故选D ‎11．已知是所在平面内一点，若对，恒有，则一定是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】由题知： 化简得到，‎ 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，两边平方可得， ‎ 即，‎ 由题意可得 ，‎ 即为c≤bsinC，‎ 由正弦定理可得sinC≤sinBsinC，‎ 则sinB≥1，但sinB≤1，则sinB=1，可得B=90°．‎ 即三角形ABC为直角三角形．‎ 故答案为：B。‎ ‎【方法总结】本题考查向量不等式恒成立问题的解法，考查三角形的形状判断和正弦定理的运用，运用向量的平方即为模的平方，以及二次不等式恒成立问题的解法是解题的关键，属于中档题．‎ ‎12．已知数列为等差数列，且满足，若（），点为直线外一点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵数列{an}为等差数列，满足，‎ 其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，‎ ‎∴a1+a2017=1，‎ ‎∵数列{an}是等差数列，‎ ‎∴{an}的=1， .‎ 故答案为：D。‎ ‎13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是对角线AC上一点， ，过点P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于点M，E，N.若 (m>0，n>0)，则2m＋3n的最小值是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C 当且仅当时取等号，故选 ‎【方法总结】在利用基本不等式求最值的时候，要特别注意“拆，拼，凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数），“定”（不等式的另一边必须为定值），“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误。‎ ‎14．给出以下结论：‎ ‎①在四边形中，若＝＋，则四边形是平行四边形；‎ ‎②已知三角形中， ， ， ，则·；‎ ‎③已知正方形的边长为1，则；‎ ‎④已知， ， ，则三点共线．‎ 其中正确结论的个数为(　　)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C 故答案为：C。‎ ‎15．(2017·邯郸月考)等差数列{an}的前n项和记为Sn，三个不同的点A，B，C在直线l上，点O在直线l外，且满足，那么S13的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三个不同的点A，B，C在直线l上，点O在直线l外，且满足，得a2＋a7＋a12＝1.因为{an}为等差数列，所以由等差中项公式，得3a7＝1，a7＝，所以S13＝13a7＝.故选D.‎ ‎16．如图，在△ABC中， 若,则的值为(　　)‎ A. －3 B. 3‎ C. 2 D. －2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵ ‎ ‎∴ ‎ 又，∴ ‎ 故选B.‎ ‎17．已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为(　　)‎ A. B. 1‎ C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】设AC、BC边的中点为E、F，则由，得∴点O在中位线EF上．‎ ‎∵△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，∴点O为EF上靠近E的三等分点，∴λ＝.‎ ‎18．设、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足， ， ，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是（ ）‎ A. B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】设， ， ‎ ‎∵， ， ∴， ， 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即 ‎∵、、分别表示、、的面积 ‎∴，当且仅当时取等号 ‎∴的最大值是 故选B ‎【方法总结】本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．‎ ‎19．已知是平面上不共线的三点， 是的重心，动点满足： ，则一定为的 A. 重心 B. 边中线的三等分点（非重心）‎ C. 边中线的中点 D. 边的中点 ‎【答案】B ‎【解析】如图所示：设 的中点是， 是三角形 ‎ 的重心， ‎ ‎ ‎ 在 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心 故选B ‎20．已知是三角形内部一点，满足，则（ ）‎ A. B. 5‎ C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令， ，则，由向量加法的平行四边形法则可知为平行四边形，所以．因为,，‎ 所以，‎ ‎．故C正确．‎ ‎21．设， 且， 则在上的投影的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】法1：因为，所以三点共线.‎ 如图（1），当在之间时（含两点），在的投影的取值范围是； ‎ 如图（2），当在的延长线上时（不含点），在的投影的取值范围是（当 接近于平行时， 在的投影无限接近于）；‎ 如图（3），当在的延长线上时（不含点），在的投影的取值范围是（当接近于平行时， 在的投影的无限接近于）；‎ 综上， 在的投影的取值范围是.‎ 法2：不妨设为坐标原点， ， ，则，也就是.而在上的投影为.令，如果，则，所以也就是，所以；当时， ；当时， ，所以也就是，所以.‎ 综上， 的取值范围为.‎ ‎【方法总结】处理平面向量的有关问题时，先分析题设中的向量等式是否具有明确的几何意义.本题中的向量等式蕴含三点共线，因此考虑动点的三种位置关系就可以讨论出相应的投影范围.当我们无法挖掘向量等式隐藏的几何意义时（或者根本没有几何意义），我们就从坐标的角度把向量问题转化为函数问题.‎ ‎22．如图，半径为1的扇形中， ， 是弧上的一点，且满足， 分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C 故选C ‎【方法总结】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；‎ ‎（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；‎ ‎（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎23．过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎24．设向量满足， ， ，则的最大值等于（ ）‎ A. 4 B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由， ， ，可得 ‎ ‎，如图所示，设则， A,O,B,C四点共圆, ,由三角形的正弦定理得外接圆的直径,当OC为直径时,它的模最大,最大为4,故选A.‎ ‎25．已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ）‎ A. 内心 B. 垂心 C. 外心 D. 重心 ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以是角A的角平分线，故P点的轨迹是A的角平分线，故一定过的内心，故选A.‎ ‎26．若均为单位向量，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A 故选A ‎【方法总结】本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出，表示出，由表达式可判断当与同向时， 最小.‎