【推荐】专题10-1+椭圆-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题10-1+椭圆-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

真题回放 ‎1. 【2017浙江，2】椭圆的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【考点】椭圆的简单几何性质 ‎【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．‎ ‎2. 【2017江苏，17】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c. ‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，‎ 解得，于是，‎ 因此椭圆E的标准方程是.‎ 直线的方程：. ②‎ 由①②，解得，所以.‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.‎ 又在椭圆E上，故.‎ 由，解得；，无解.‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系 ‎【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.‎ ‎3. 【2016年高考北京理数】‎ 已知椭圆C：（）的离心率为，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.‎ 求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，，‎ 设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得.从而.‎ 直线的方程为.‎ 考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. ‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 B 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：1、根据椭圆的定义求椭圆的标准方程（选择、填空，解答题第一问，常与椭圆性质、其他圆锥曲线和直线等综合考察）2、椭圆性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）3、求椭圆中距离、周长或者面积等。4、求直线与椭圆相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）5、确定椭圆中的弦长、式子的定值问题，确定与椭圆有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）。6、求椭圆中的弦长（或其他量）的最值或者范围（解答题第二问）。 ‎ 知识链接 ‎1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．‎ 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：‎ ‎(1)若a>c，则集合P为椭圆；‎ ‎(2)若a＝c，则集合P为线段；‎ ‎(3)若ab>0)‎ ＋＝1(a>b>0)‎ 图形 性 质 范围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ ‎ B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ B1(－b,0)，B2(b,0)‎ 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 ‎|F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1)‎ a，b，c的关系 a2＝b2＋c2‎ ‎【知识拓展】‎ 点P(x0，y0)和椭圆的关系 ‎(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.‎ ‎(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.‎ ‎(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.‎ 融会贯通 题型一　椭圆的定义及标准方程 典例1　 (2017·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎【答案】　A ‎【解析】　由条件知|PM|＝|PF|.‎ ‎∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.‎ ‎∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆． ‎ 命题点2　利用待定系数法求椭圆方程 典例2　(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为__________________________________________．‎ ‎(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为________________________________．‎ ‎【答案】　(1)＋y2＝1或＋＝1 (2)＋＝1 ‎ ‎ ‎ ‎(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．‎ ‎∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．‎ 则 ‎①②两式联立，解得 ‎∴所求椭圆方程为＋＝1.‎ 命题点3　利用定义解决“焦点三角形”问题 典例3　已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.‎ ‎【答案】　3‎ 引申探究 ‎1．在例3中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．‎ ‎【答案】＋＝1.‎ ‎【解析】　由原题得b2＝a2－c2＝9，‎ 又2a＋2c＝18，‎ 所以a－c＝1，解得a＝5，‎ 故椭圆方程为＋＝1.‎ ‎2．在例3中条件“⊥”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“S△PF1F2＝3”，结果如何？‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，‎ 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°‎ ‎＝|F1F2|2，‎ 即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，‎ 所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，‎ 所以|PF1||PF2|＝b2，‎ 又因为S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin 60°‎ ‎＝×b2× ‎＝b2＝3，‎ 所以b＝3. ‎ 解题技巧与方法总结 ‎(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．‎ ‎(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．‎ ‎(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．‎ ‎【变式训练】‎ ‎(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)‎ A.－＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ ‎(2)(2017·大庆质检)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(‎ ＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)‎ A．4B．3C．2D．1‎ ‎【答案】　(1)D　(2)D ‎ ‎ ‎(2)∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0，‎ ‎∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.‎ 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，‎ 则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，‎ ‎∴＝mn＝1. ‎ 题型二　椭圆的几何性质 典例4　(1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)‎ A．0B．1C．2D．2 ‎(2)(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　(1)C　(2)A 解题技巧与方法总结 ‎(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ‎①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．‎ ‎②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．‎ ‎(2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．‎ ‎【变式训练】(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．‎ ‎【答案】　 题型三　直线与椭圆 典例5　(2016·天津)设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．‎ ‎【答案】（1）＋＝1. （2）－或.‎ ‎【解析】　(1)设F(c,0)，由＋＝，‎ 即＋＝，可得a2－c2＝3c2.‎ 又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ 解得yH＝.‎ 因此直线MH的方程为y＝－x＋.‎ 设M(xM，yM)，由方程组消去y，‎ 解得xM＝.‎ 在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔|MA|＝|MO|，‎ 即(xM－2)2＋y＝x＋y，‎ 化简得xM＝1，即＝1，‎ 解得k＝－或k＝.‎ 所以直线l的斜率为－或. ‎ 解题技巧与方法总结 ‎(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ‎＝(k为直线斜率)．‎ 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．‎ ‎【变式训练】‎ ‎(2017·唐山模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．‎ ‎(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；‎ ‎(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．‎ ‎【答案】（1）. （2）6x－5y－28＝0.‎ ‎ ‎ ‎(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，‎ 设线段MN的中点为Q(x0，y0)，‎ 由三角形重心的性质知 ＝2，‎ 又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，‎ 故得x0＝3，y0＝－2，‎ 即Q的坐标为(3，－2)．‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，‎ 且＋＝1，＋＝1，‎ 以上两式相减得＋＝0，‎ ‎∴kMN＝＝－· ‎＝－×＝，‎ 故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，‎ 即6x－5y－28＝0. ‎ 练习检测 ‎1. （河南省师范大学附属中学2018届高三8月开学考试）椭圆： 的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎2.（河南省师范大学附属中学2018届高三8月开学考试） 椭圆： 的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设为右焦点,则 ‎ 因此椭圆的离心率为 ‎ ‎3. （浙江省名校协作体2018届高三上学期考试）设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）‎ ‎【答案】A ‎ 4. （贵州省贵阳市普通高中2018届高三8月摸底考试）椭圆的左顶点为，右焦点为，过点且垂直于轴的直线交于两点，若，则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设P位于第一象限，由结合椭圆方程可得： ，‎ 则： ，‎ 则： ，‎ 结合图形的对称性结合二倍角公式可得：‎ ‎，‎ 结合整理可得： ，‎ 据此得到关于离心率的方程： ，‎ 分解因式有： ，‎ 结合椭圆离心率的取值范围可得椭圆的离心率.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【方法点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎5. （河南省八市重点高中2018届高三第一次测评）已知圆，定点为圆上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，设点的轨迹为曲线；‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若经过的直线交曲线于不同的两点，（点在点, 之间），且满足，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：(1) 是线段的垂直平分线， ， 轨迹方程；（2）设直线的方程为： ，联立方程得： ， ，由,得，巧借韦达定理建立的方程，解之即可.‎ ‎（Ⅱ）设 当直线斜率存在时，设直线的斜率为 则直线的方程为： ,‎ ‎,整理得： ,‎ 由，解得： ------①‎ 又,‎ 由,得，结合①得 ‎，即,‎ 解得 直线的方程为： ,‎ 当直线斜率不存在时，直线的方程为与矛盾.‎ 直线的方程为： ‎ ‎6. （湖南省岳阳市一中2018届高三上学期第一次月考）已知点是直线与椭圆的一个公共点， 分别为该椭圆的左右焦点，设取得最小值时椭圆为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程及离心率；‎ ‎（2）已知为椭圆上关于轴对称的两点， 是椭圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点，试判断 是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ；（2） .‎ ‎（2）设，且，‎ ‎ ‎ ‎(2) 【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. ‎ ‎7. （安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考）已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求 的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为， 的方程为，直线与间的距离为，直线与间的距离为， ，从而得到S的范围.‎ 试题解析：‎ ‎（1)依题，‎ 所以 (为定值)， ‎ 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，‎ 所以点轨迹的方程是 ‎ ，‎ 因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，‎ 所以 ‎ ‎，‎ ‎ (当且仅当时，不等式取等号），‎ 所以，即，‎ 由①②可知， .‎ ‎8. （安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟2018届高三摸底考试）椭圆： 的离心率为，椭圆截直线所得的弦长为.过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点，直线与圆： 相切于点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线的方程和圆的半径.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎（Ⅰ）由题意知， ，即，∴，∵由椭圆截直线所得的弦长为，∴弦在第一象限的端点的坐标为，∴，将代入上式，解得.∴椭圆的方程为.‎ ‎9.（安徽省合肥市2018届高三调研性检测）已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段， 为垂足，点满足.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点， 为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）动点的轨迹的方程为 （Ⅱ） ‎ ‎【解析】（1）先设，进而求得点，再依据题设条件求得，然后借助为椭圆上的点，进而消去参数从而求得动点的轨迹的方程为；（2）先求出点，再设，进而依据求出，进而借助且，及在和 都是单调减函数，求出的范围为： ‎ 解：（Ⅰ）设依题意，且，‎ ‎∵,即,‎ 则有.‎ 又∵为椭圆上的点，‎ 可得，即，‎ 即动点的轨迹的方程为.‎ ‎ ‎ ‎10.（黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期初考试）已知椭圆的右焦点，且经过点，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于两点（点在轴的上方）‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，且直线与圆相切于点，求的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于的方程组， ，解方程组得，（2）设直线，则根据圆心到切线距离等于半径得，由由，有，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得，，三者消得，最后关于的解方程组得， ，根据切线长公式可得的长.‎ 试题解析：（1）由题意知，即，‎ 又，故，‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，直线，‎ 由，有，‎ 由，‎ 由韦达定理得，‎ 由，则，‎ ‎，化简得，原点到直线的距离 ‎，‎ ‎ ‎