数学文卷·2018届河南省商丘市高三上学期期末考试（2018

数学文卷·2018届河南省商丘市高三上学期期末考试（2018

商丘市2017-2018学年度第一学期期末考试 高三数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设复数满足，则（ ）‎ A． 1 B． C． D． 2‎ ‎3. 已知非零向量的夹角为，且，则（ ）‎ A． 1 B．2 C． D．‎ ‎4.在等差数列中，前项和为 ，若，则（ ）‎ A．100 B．110 C. 120 D．220‎ ‎5.在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知，设，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出（ ）‎ A．2 B．4 C. 6 D．8‎ ‎8.已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为2，则的值为（ ）‎ A．1或3 B． 2 C. 4 D．2或6‎ ‎9.已知函数的部分图像如图所示，则函数图像的一个对称中心可能为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有面中，最大面的面积是（ ）‎ A．2 B． C. 3 D．‎ ‎11.双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为 的直线与轴和双曲线右支分别交于两点，若点平分，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．2‎ ‎12.已知函数（）的图像上存在点，函数的图像上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知满足，则目标函数的最小值为 ．‎ ‎14.设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数 ．‎ ‎15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角的对边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为 ．‎ ‎16. 在三棱锥中，侧棱两两垂直，的面积分别为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和， ，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎18. 已知中，三个内角的对边分别为，已知，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎19. 已知具有线性相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时，的值；‎ ‎（2）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取2个点，求恰有1个点落在直线右下方的概率.‎ 参考公式：，.‎ ‎20. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎21. 在平面直角坐标系中，已知两点，，动点满足，线段的中垂线交线段于点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若函数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）函数，若存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.‎ ‎商丘市2017—2018学年度第一学期期末考试 高三数学（文科）参考答案 一、 选择题（每小题5分，共60分）‎ C A A B B C D C D C A D 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎（13）3 （14） （15） （16）‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎（17）(本小题满分10分)‎ 解：（Ⅰ）由得，‎ 由， ‎ 作差得，由题意可知，所以数列是公比为的等比数列 又成等差数列，所以 即，解得 所以 ‎（Ⅱ）‎ 所以 于是 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），由正弦定理可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 即 ，‎ 得 .‎ ‎,或(不成立).‎ 即 , 得，，‎ ‎，则，或（舍去） ‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）‎ 又，即，‎ 所以 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎∴，‎ ‎∴回归直线方程为， ‎ 故当时， ‎ ‎（Ⅱ）可以判断，落在直线右下方的点满足，‎ 故符合条件的点的坐标为，‎ 共有10种取法， ‎ 满足条件的有6种，所以 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）证明：取中点，连结．‎ 在△中，分别为的中点，所以∥，且．…2分 由已知∥，，所以∥，且． ‎ 所以四边形为平行四边形．所以∥． ‎ 又因为平面，且平面，所以∥平面 ‎（Ⅱ）在正方形中，．‎ 又因为平面平面，且平面平面，‎ 所以平面．所以．‎ 在直角梯形中，，，可得．‎ 在△中，，所以．‎ 所以． ‎ 所以平面． ‎ ‎（III）解法一：因为平面，所以平面平面． ‎ 过点作的垂线交于点，则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 ‎ 在直角三角形中，‎ 所以 所以点到平面的距离等于. ‎ 解法二：平面,所以 所以 ‎ ‎ 又，设点到平面的距离为 则，所以 所以点到平面的距离等于. ‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）以题意可得：,，‎ 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， ‎ 且 所以，‎ 所以轨迹的方程为.‎ ‎（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由，解得，‎ 设，.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 将代入整理化简，得，‎ 依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，‎ 则，，‎ 又，，‎ 所以 ‎ ‎ 综上得：为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ ‎，所以 ‎（Ⅱ）所以， ‎ 又因为在上有解， ‎ 令，则，‎ 只需解得 即． ‎ ‎（III）因为，令，即，‎ 两根分别为，则 ‎ 又因为 ． ‎ 令，由于，所以． ‎ 又因为， ，‎ 即即，‎ 所以，解得或，即．‎ 令，‎ ，‎ ‎ ‎ 所以在上单调递减， ‎ ． ‎ 所以的最小值为． ‎