数学（理）卷·2017届辽宁省东北育才学校高三第八次模拟（2017

数学（理）卷·2017届辽宁省东北育才学校高三第八次模拟（2017

‎2017届高三第八次模拟考试数学（理科）试卷 答题时间：120分钟 满分150分 ‎ 命题人：侯雪晨 校对人：王成栋 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知是虚数单位，复数对应于复平面内一点，则 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知等比数列中，公比，，则 A. B. C. D. ‎ ‎4.设实数，满足约束条件，则目标函数的取值范围为 A. B. C. D.‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.已知函数（，）的零点构成一个公差为的等差数列，，则的一个单调递增区间是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点、的坐标分别为、. 若动点满足，其中、，且，则点的轨迹方程为 ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们的离心率 的乘积等于，则此双曲线的方程为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.运行如图所示的程序框图，输出的和的值分别为 A.， B.， ‎ C.， D.，‎ ‎10.把个相同的小球全部放入编号为，，，的四个盒中，则不同的放法数为 A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数（），若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知定义在上的函数的导函数为，满足，，则 A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 ‎ C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题纸上.）‎ ‎13.已知二项式的展开式中含有的项是第项，则 .‎ ‎14.若正态变量服从正态分布，则在区间，，‎ 内取值的概率分别是，，. 已知某大型企业为名员工定制工作服，设员工的身高（单位：）服从正态分布 ‎，则适宜身高在范围内员工穿的服装大约要定制 套.（用数字作答）‎ ‎15.已知等差数列的前项和为，若，，则的最小值为 . ‎ ‎16.已知四面体的顶点都在同一个球的球面上，，，且满足 ‎，，. 若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为 . ‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，内角，，的对边分别为，，. 已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，，平面平面，‎ ‎，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了名机动车司机，得到以下统计：在名男性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人；在名女性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人． ‎ ‎（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；‎ 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 ‎（Ⅱ）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检辆，记这辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为，若每次抽检的结果都相互独立，求的分布列和数学期望．‎ 参考公式与数据：，其中.‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，椭圆：（）的离心率为，的长半轴长等于抛物线：被轴所截得的线段长.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线，分别与相交于，．‎ ‎（ⅰ）证明：；‎ ‎（ⅱ）记，的面积分别是，．问：是否存在直线，使得 ‎？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数的导函数为.‎ ‎（Ⅰ）判断的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若关于的方程有两个实数根，（），求证：.‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点为为直线与圆所截得的弦上的动点，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式的解集为．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）当，时，证明：.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2017届高三第八次模拟考试数学（理科）试卷答案 BADCA CCBBC BD ‎13.8‎ ‎14.1359‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.解：（Ⅰ）在中，‎ 有 ‎∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴，即 ………………4分 而，则． ………………6分 ‎（Ⅱ） 由得 ‎，‎ ‎ ∴‎ ‎ ………………9分 ‎ ∵，∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ………………………………12分 ‎18.解：（Ⅰ）依题意，四边形为菱形，且 ‎∴为正三角形 又 ‎∴为正三角形，又为中点 ‎∴‎ ‎∵，，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………4分 ‎（Ⅱ）以为坐标原点，建空间直角坐标系，如图，‎ 令，则， ‎ ‎∴，‎ 设平的一个法向量为， ‎ 由得，‎ 取，得 …………………………9分 又的一个法向量为 ‎∴ …………………………11分 故所求二面角的余弦值为 …………………………12分 ‎19.解：（Ⅰ）‎ 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女性司机人数 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎…………………2分 因为 …………………4分 有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关 …………………5分 ‎（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从道路上行驶的大量机动车中随机抽检1辆，司机为男性且开车时使用手机的概率为．‎ 可取值是0，1，2，3，且， ‎ 有：‎ ‎ ‎ ‎…………………10分 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…………………11分 ‎ …………………12分 ‎20.解：（Ⅰ）由，从而 ①‎ 又由得，依题意有 ②‎ 由①②解得，，‎ 故的方程分别为．…………………3分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，直线的斜率存在，设的方程为，，‎ 由得 ∴， …………4分 ‎ 又点的坐标为，‎ 所以 故，即． ……………………………6分 ‎（ⅱ）设直线的斜率为，则直线的方程为．‎ 由，解得或．‎ 则点的坐标为．‎ 又直线的斜率为，同理可得点B的坐标为．‎ 于是．‎ 由得．‎ 解得或，，则点的坐标为．‎ 又直线的斜率为．同理可得点的坐标为．‎ 于是．‎ 故，解得或．………10分 又由点，的坐标得，．所以．‎ 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为和 ………12分 ‎21.解：（Ⅰ）（）‎ 令，由（）‎ ‎ 可得在上单调递减，上单调递增 ‎∴‎ ‎∴在上单调递增 ……………………………4分 ‎（Ⅱ）关于的方程即有两个实数根，（）‎ 由（Ⅰ）可知 ‎，‎ ‎ 令，‎ 则 ‎ ∴在内单调递增 ‎①当时，‎ 即成立 ‎∴ 即 ‎∵，，且在上单调递减 ‎∴，即成立 …………………10分 ‎②当时，由得成立 综上,成立 …………………12分 ‎（Ⅱ）或解：依题意，，相减得 令（），则有，‎ 欲证成立 只需证成立 即证成立 即证成立 令（），只需证成立 令（）‎ 即证时，成立 令（）‎ 则（）‎ 可得在内递减，在内递增 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴在上单调递增 ‎∴成立，故原不等式成立 ‎22．解：（Ⅰ）因为圆的极坐标方程为，‎ 所以，‎ 所以圆的普通方程．…………………4分 ‎（Ⅱ）由圆的方程，可得，‎ 所以圆的圆心是，半径是2，‎ 将代入得，‎ 又直线过，圆的半径是2，所以，‎ 即的取值范围是． …………………10分 ‎23.解：（Ⅰ），‎ 则原不等式等价于或，‎ 解得或，‎ 则 …………………5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴ …………………10分 ‎ ‎