2020年全国I卷高考理科数学考前适应性试卷(一)(Word版附答案)

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2020年全国I卷高考理科数学考前适应性试卷(一)(Word版附答案)

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2020年全国I卷高考考前适应性试卷 理 科 数 学(一)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设复数满足,其中为虚数单位,则复数对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.向量,,在正方形网格中的位置如图所示,若向量与共线,则实数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若数列是公比不为的等比数列,且,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了种不同的精美海报,每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报,集齐种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票.现有个球迷组成的球迷团(每人各买一份球迷礼包),则他们能获得该门票的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知椭圆的右焦点为,过点作圆的切线,若两条切线互相垂直,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知函数,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积 为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在平面直角坐标系中,已知向量,,,,点满足.曲线,区域.若为两段分离的曲线,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知定义域为的奇函数的导函数为,当时,,若,,,则,,的大小关系为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义在上的奇函数满足当时,,则关于 的函数,的所有零点之和为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.在平面上,,是方向相反的单位向量,若向量满足,则的值为 .‎ ‎14.设,,分别为三角形的内角,,的对边,已知三角形的面积等于,则内角的大小为 .‎ ‎15.的展开式中的系数为 .‎ ‎16.三棱锥中,点是斜边上一点.给出下列四个命题:‎ ‎①若平面,则三棱锥的四个面都是直角三角形;‎ ‎②若,,,平面,则三棱锥的外接球体积为;‎ ‎③若,,,在平面上的射影是内心,则三棱锥的体积为;‎ ‎④若,,,平面,则直线与平面所成的最大角为.‎ 其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)‎ 三、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)已知数列是递增的等差数列,,且是与的等比中项.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎18.(12分)如图,三棱柱中,平面平面,,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)若与平面所成的线面角为,求二面角的余弦值.‎ ‎19.(12分)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标)、推理能力(指标)、建模能力(指标)的相关性,将它们各自量化为、、三个等级,再用综合指标的值评定学生的数学核心素养,若,则数学核心素养为一级;若,则数学核心素养为二级;若,则数学核心素养为三级,为了了解某校学生的数学核心素养,调查人员随机访问了某校名学生,得到如下数据:‎ ‎(1)在这名学生中任取两人,求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率;‎ ‎(2)在这名学生中任取三人,其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎20.(12分)已知椭圆经过抛物线的焦点,上的点与的两个焦点所构成的三角形的周长为.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)若点关于原点的对称点为,过点作直线交于另一点,交轴于点,且.判断是否为定值,若是,求出该值;若不是,请说明理由.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)已知函数的两个极值点,若,①证明:;‎ ‎②证明:.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线交于,两点,求的值.‎ ‎23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若关于的不等式的解集不是空集,求实数的取值范围.‎ ‎2020年全国I卷高考考前适应性试卷 理 科 数 学(一)答 案 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.【答案】D ‎【解析】,该复数对应的点为,在第四象限.‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】解得集合,,‎ ‎∴.‎ ‎3.【答案】D ‎【解析】根据图形代入选项可得,满足与共线,∴.‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】∵表示以原点为圆心,以为半径的圆的面积的四分之一,‎ ‎∴,∴.‎ 设,公比为,∴,‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎5.【答案】A ‎【解析】由于,‎ 所以,整理得,‎ 所以,则.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】解法一:设事件为“个球迷组成的球迷团能获得该门票”,‎ 则.‎ 解法二:设事件为“个球迷组成的球迷团能获得该门票”,‎ 则,∴.‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】如图,‎ 由题意可得,则,即,则,‎ ‎∴,即,故选D.‎ ‎8.【答案】B ‎【解析】根据题意,函数,则,‎ 则,‎ 则有,‎ 又由,则,故选B.‎ ‎9.【答案】D ‎【解析】由三视图知,该几何体是如图所示的多面体,连接,‎ 由题意知,直三棱柱的体积,‎ 四棱锥的体积,‎ 故所求的几何体的体积.‎ ‎10.【答案】A ‎【解析】设,,则,,‎ 区域表示的是平面上的点到点的距离从到之间,‎ 如下图中的阴影部分圆环,要使为两段分离的曲线,则.‎ ‎11.【答案】C ‎【解析】设,因为为奇函数,所以为偶函数,‎ 又当时,,所以在上单调递增,‎ 因为,‎ 又,所以,‎ 即.‎ ‎12.【答案】B ‎【解析】作函数与的图象如图,结合图象可知,‎ 函数与的图象共有个交点,‎ 故函数有个零点,‎ 设个零点分别为,‎ ‎∴,,,‎ 故,即,‎ 故.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】由题意,即,‎ 又,是方向相反的单位向量,所以,,‎ 所以,即,所以.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】由已知,‎ 又由余弦定理可得,所以,‎ 又,所以.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】的展开式中的系数为.‎ ‎16.【答案】①②③‎ ‎【解析】对于①,因为平面,所以,,,‎ 又,所以平面,所以,‎ 故四个面都是直角三角形,∴①正确;‎ 对于②,若,,,平面,‎ ‎∴三棱锥的外接球可以看作棱长为的正方体的外接球,‎ ‎∴,,∴体积为,∴②正确;‎ 对于③,设内心是,则平面,连接,‎ 则有,‎ 又内切圆半径,所以,,‎ 故,‎ ‎∴三棱锥的体积为,∴③正确;‎ 对于④,∵若,平面,‎ 则直线与平面所成得最大角时,点与点重合,‎ 在中,,∴,‎ 即直线与平面所成的最大角为,∴④不正确,‎ 故答案为①②③.‎ 三、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)设的公差为,且,‎ 据题意则有,即,‎ ‎∵,解得,∴.‎ ‎(2),‎ 前项和 ‎.‎ ‎18.【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)证明:∵平面平面,且平面平面,‎ 平面,,∴平面,‎ ‎∵平面,∴,‎ ‎∵,∴,‎ 又,∴平面,∴平面平面.‎ ‎(2)过作于点,‎ ‎∵平面平面,∴平面,‎ 为与平面所成的角,∴,∴,‎ 令,则.‎ 以为坐标原点,分别以,所在直线为,轴,过且平行于的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则,,,,,‎ ‎,,.‎ 设平面的一个法向量为,则,‎ 令,得,‎ 由(1)知,平面,∴是平面的一个法向量,‎ ‎∴,‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎19.【答案】(1);(2)分布列见解析,.‎ ‎【解析】(1)由题可知:建模能力一级的学生是;建模能力二级的学生是,,,;建模能力三级的学生是,,,,.‎ 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件,记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.‎ 则.‎ ‎(2)由题可知,数学核心素养一级的学生为,,,,,,‎ 非一级的学生为余下人,‎ ‎∴的所有可能取值为,,,.‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎∴随机变量的分布列为:‎ ‎∴.‎ ‎20.【答案】(1);(2)为定值,定值为,详见解析.‎ ‎【解析】(1)∵抛物线的焦点,∴.‎ ‎∵上的点与的两个焦点所构成的三角形的周长为,‎ ‎∴,∴,∴,‎ ‎∴的方程为.‎ ‎(2)为定值.理由如下:‎ 由题意可知直线的斜率存在且不为,‎ 设直线的方程为,‎ 令,得,即,∴.‎ 由,得,即,∴.‎ ‎∵,∴直线的方程为,‎ 由,得,∴.‎ 根据椭圆的对称性,知,即,‎ ‎∴,‎ 故为定值.‎ ‎21.【答案】(1)见解析;(2)①证明见解析;②证明见解析.‎ ‎【解析】(1)由已知,‎ 当时,,所以,所以函数在上单调递增;‎ 当时,在上有两个不相等正实数根,‎ 记,,‎ 当时,,单调递增,‎ 当时,,单调递减,‎ 当时,,单调递增;‎ 当时,,,‎ 所以当时,,单调递减,‎ 当时,,单调递增.‎ ‎(2)①定义域为,有两个极值点,‎ 则在上有两个不等正根,‎ 所以,所以,,‎ 所以,所以.‎ ‎②这样原问题即证明当且,时,成立,‎ 即,即,‎ 即,‎ 即,且时,,‎ 时,.‎ 设,,‎ 当时,,可知,所以在上为减函数且,‎ 当时,,,,得成立,‎ 从而得证.‎ ‎22.【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1)∵曲线的参数方程为(为参数),‎ ‎∴曲线的普通方程为,‎ 直线的斜率,∴直线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)解法一:曲线的极坐标方程为,‎ 将代入曲线的极坐标方程,可得,‎ 设,对应的极径分别为,,则,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴.‎ 解法二:由(1)知,曲线的普通方程为,‎ ‎∵直线的极坐标方程为,∴可设直线的参数方程为(为参数),‎ 代入曲线的普通方程,得,‎ 设,对应的参数分别为,,故,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴.‎ ‎23.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)当时,,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴或或,‎ 得,‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎(2)关于的不等式的解集不是空集,‎ 即关于的不等式的解集不是空集,‎ 则.‎ 又,‎ 当且仅当时等号成立.‎ ‎∴,‎ ‎∴或,得.‎ 故实数的取值范围为.‎
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