2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省厦门双十中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．定积分的值为(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：=.故选C.‎ ‎【考点】1.微积分基本定理；2.定积分的计算.‎ ‎2．命题“存在实数,使”的否定是(　 　)‎ A．对任意实数,都有 B．不存在实数,使 C．对任意实数,都有 D．存在实数,使 ‎【答案】C ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 特称命题的否定是全称命题 命题"存在实数,使"的否定是:对任意实数,都有,‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了特称命题的否定,解题关键是掌握特称命题的基础知识,考查了分析能力,属于基础.‎ ‎3．函数的图象是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.‎ ‎【考点】函数的图象与性质．‎ ‎4．已知函数在区间上是增函数,实数的取值范围为(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出导函数,利用函数的单调性,推出不等式,利用基本不等式求解函数的最值,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 函数,‎ ‎,‎ 函数在区间上是增函数,‎ 可得,在区间上恒成立,‎ 即:在区间上恒成立 ‎,‎ 当且仅当时取等号,‎ 可得.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据函数的单调区间求参数范围,解题关键是掌握导数的求法和不等式恒成立求参数的解题步骤,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ ‎5．在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C.‎ ‎6．设双曲线的一条渐近线为,且一个焦点与抛物线的焦点相同,则此双曲线的方程为(　 　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同,所以双曲线的焦点在轴上,可得:双曲线的方程为,故渐近线方程为,结合已知,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点为 双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同 双曲线的焦点在轴上,其 可得:双曲线的方程为 ‎ 渐近线方程为 ,‎ 由题意可得,可得①‎ 又②‎ 由①②可得:‎ 则双曲线的方程为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求双曲线渐近线方程,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎7．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．‎ ‎8．正项等比数列中的是函数的极值点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】试题分析：由，则，因为是函数 的极值点，所以，又，所以，所以，故选A．‎ ‎【考点】对比数列与函数的综合应用．‎ ‎【方法点晴】‎ 本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比中项公式、利用导数研究函数的极值点和对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及知识点的灵活应用，试题涉及知识点多，应用灵活，属于中档试题，其中解答中根据函数极值点的概念，得到是解答关键．‎ ‎9．函数有一个极值点,则实数的取值范围(　 　)‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】因为函数有一个极值点,可得有一个解,即有一个正实数解,分别讨论方程解情况,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为: ‎ 又函数有一个极值点 有一个解 即有一个解 ‎①当,解得:‎ 又当时, 的值恒为非负 此时没有极值,故不符合题意.‎ ‎②当,有两个不同解,且一正一负时 根据韦达定理可得:,即 解得:.‎ ‎③当,有两个不同解,且一个解为:.‎ 解得:.‎ 可得:故 符合题意.‎ 综上所述,.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据极点求参数范围,解题关键是掌握极点概念和根据一元二次方程根所在区间求参数的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ ‎10．设函数,若时,恒成立,则实数的取值范围是(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于,,可求得,可知为奇函数且增函数,然后可得,从而得出,根据,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 函数,且定义域为.‎ 又 为奇函数,‎ ‎，‎ 当时, ‎ 当或时,‎ 综上所述,对任意,‎ 是增函数 恒成立,‎ 即恒成立，‎ 故: ‎ m 令 ‎ 当,恒成立,等价于恒成立 当时,恒成立 解得:‎ 当时,恒成立 解得:‎ 综上所述,.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据函数不等式求参数范围,解题关键是掌握根据导数判断函数单调性的方法和一元二次不等式恒成立求参数的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ ‎11．已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．‎ ‎【考点】椭圆的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.‎ ‎12．若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：令，则，因此，所以选C.‎ ‎【考点】利用导数研究不等式 ‎【方法点睛】‎ 利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，‎ 构造，构造，构造等 二、填空题 ‎13．若实数满足不等式组 则的最小值是_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】试题分析：由于根据题意x,y满足的关系式，作出可行域，‎ 当目标函数z=2x+3y在边界点（2，0）处取到最小值z=2×2+3×0=4，故答案为4.‎ ‎【考点】本试题主要考查了线性规划的最优解的运用．‎ 点评：解决该试题的关键是解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解.‎ ‎14．由曲线与直线所围成的平面图形的面积是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．‎ ‎【详解】‎ 由三角函数的对称性和题意可得S=2‎ ‎=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2‎ 故答案为2﹣2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．‎ ‎15．方程有且仅有两个不同的实数解,则实数的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要保证有且仅有两个不同的实数解,只需保证函数和函数在上有两个不同交点,在同一坐标系画出函数和函数图象,结合条件,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 可化简为:,且 要保证有且仅有两个不同的实数解 只需保证函数和函数在时二者相切 在同一坐标系画出函数和函数图象,‎ 如图:‎ ‎ ‎ 当函数和函数相切时,设切点为 由图象可知此时:,即 可得:‎ 解得:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据方程解的个数求参数范围,解题关键是掌握将求方程根转化为求函数交点问题的解法和导数求曲线切线方程的方法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.‎ ‎16．已知函数，把函数的整数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则的前n项和________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求函数的数零点, 即求,求出的解,根等差数列知识,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 求函数的数零点 即求 当时,,即；‎ 解得:‎ 当时,即 可得 故,解得:‎ 当时,,‎ 即 即 即 ‎…‎ 即 即 可得:,解得:‎ 故函数的零点为:‎ 故其通项公式为 根据等差数列前项和公式可得:‎ 即:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数零点和等差数列求和,解题关键是掌握推导出零点的规律和等差数列基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间;‎ ‎（2）若函数的图象在处的切线方程为,求的值.‎ ‎【答案】（1）答案见解析（2）,‎ ‎【解析】（1）因为,且,.分别讨论和,即可求得答案;‎ ‎（2）因为,且在处的切线斜率,切线方程为,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎,．‎ ‎①,在上恒成立,‎ 在单调递增；‎ ‎②,令 ‎,解得:或,‎ 又 在单调递减,在单调递增. ‎ ‎（2）,且在处的切线斜率,‎ 切线方程为,‎ 又切线为,‎ 则 解得:,．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求含参函数的单调区间根据切线求参数,解题关键是掌握由导数求单调区间的解法和根据导数求曲线切线方程的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎18．已知数列的首项为，其前项和为，且数列是公差为2的等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)由题意首先求得数列的前n项和，然后由前n项和与通项公式的关系即可求得数列的通项公式；‎ ‎(2)首先确定数列的通项公式，然后分类讨论n的奇偶性即可求得数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵数列是公差为2的等差数列，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，.‎ ‎∵符合，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）可得.‎ 当为偶数时，；‎ 当为奇数时，为偶数，‎ ‎.‎ 综上所述，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由前n项和公式求数列通项公式的方法，并项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19．如图,矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直,,,．‎ ‎（1）若为中点,求证:∥平面;‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）设与交于点,连结,在矩形中,点为中点,求证∥,即可求得答案;‎ ‎（2）以为坐标原点, 其中、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,‎ 求出平面的法向量和平面的法向量,根据 ‎,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设与交于点,连结,在矩形中,点为中点,‎ 如图: ‎ 为中点,‎ ‎∥‎ 又平面,平面 ‎∥平面．‎ ‎（2）平面平面,平面平面,‎ 平面,,‎ 平面,‎ 以为坐标原点, 其中、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,‎ 如图:‎ 设,,,,,,‎ 可得:,,,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 设平面的法向量,‎ 由 可得得到的一个解为,‎ 注意到平面的法向量,‎ 而,‎ 平面与所成锐二面角的大小为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行和向量法求面面角,解题关键是掌握线面平行判断定理和法向量求面面角的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆的长轴长是4，椭圆长轴长是2，点，分别是椭圆的左焦点与右焦点.‎ ‎（1）求椭圆，的方程；‎ ‎（2）过的直线交椭圆于点，，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为，椭圆的方程是（2）‎ ‎【解析】（1）设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，直接利用椭圆的定义得到答案.‎ ‎（2）设直线的方程为，联立方程得到，‎ ‎，，利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，由已知，=1，‎ ‎∵椭圆与椭圆的离心率相等，即，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，即，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为，椭圆的方程是；‎ ‎（2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为.‎ 联立：，得，即，‎ ‎∴，设，，‎ 则，，∴，‎ 的高即为点到直线：的距离，‎ ‎∴的面积，‎ ‎∵，等号成立当且仅当，即时成立 ‎∴，即的面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆方程，直线和椭圆关系，面积最值，将面积用韦达定理表示出来是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎21．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳元(为常数，)的管理费．根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元． ‎ ‎（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求的最大值．‎ ‎【答案】(1) L(x)= 500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)；(2) 当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当40⇔35≤x<31＋a，‎ L′(x)<0⇔31＋a

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