数学卷·2018届广东省汕头市潮南实验学校校高三上学期入学摸底考试数学（文）试题（解析版）

数学卷·2018届广东省汕头市潮南实验学校校高三上学期入学摸底考试数学（文）试题（解析版）

潮南实验学校2018届高三摸底考试文科数学试卷 一、选择题： ‎ ‎1. 设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,得,,,‎ ‎.‎ 点睛：本题涉及一元二次不等式解法，集合的交并运算，属于基础题.‎ ‎2. 若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】，，在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限，故选C.‎ ‎3. 已知向量，，若，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，，则，故选C.‎ ‎4. 在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，可作出不等组所表示的平面区域图，如图所示，则该区域面积为，故选B.‎ ‎5. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）‎ A. 10日 B. 20日 C. 30日 D. 40日 ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列，，，，设其公差为，则，故选C.‎ ‎6. 设直线与圆相交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，圆心坐标为，半径为2，则的边长为2，所以的高为，即圆心到直线的距离为，所以，解得，故选B.............‎ ‎7. 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（ ）‎ A. 15 B. 18 C. 19 D. 20‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，当时，条件成立，根据程序框图知，对于选项A，当时，代入程序执行验证，初始值进入循环结构时，，条件不成立；执行循环体，‎ ‎，条件不成立；执行循环体，，条件不成立；执行循环体，条件成立，输出的值为3，满足题意，以此类推，输入的数不可能是20，故选D.‎ ‎9. 如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中，，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B，D，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A，所以正确答案为C.‎ 点睛：此题主要考查空间几何体的三视图等有关方面的知识，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.此题有与以往有不同之处，就是给出了空间几何体的三视图各俯视图，去寻找正视图，注意的是，由实物图画三视图或判断选择三视图时，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还看得见棱的画实线，看不见的棱要画虚线.‎ ‎10. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的部分图象，可得，再根据五点法作图可得，，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.‎ ‎11. 设为双曲线：的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若，，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，设双曲线的左焦点为，连接，由对称性可知，为矩形，且，故，故选B.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．‎ ‎12. 已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）‎ A. 3 B. 1或3 C. 4或6 D. 3或4或6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知，，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值.‎ 综上可考查方程的根的情况如下（附函数图）：‎ ‎（1）当或时，有唯一实根；‎ ‎（2）当时，有三个实根；‎ ‎（3）当或时，有两个实根；‎ ‎（4）当时，无实根.‎ 令，则由，得，‎ 当时，由，‎ 符号情况（1），此时原方程有1个根，‎ 由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；‎ 当时，由，又，‎ 符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，‎ 由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，‎ 综上得共1个或3个根.‎ 综上所述，的值为1或3.故选B.‎ 点睛：此题主要考查函数单调性、最值等性质在求方程根的个数的问题中的应用，以及导数、数形结合法在研究函数单调性、最值中的应用等有关方面的知识和技能，属于高档题型，也是高频考点.方程的实根分布情况，常常与参数的取值范围结合在一起，解答这类问题，有时需要借助于导数从研究函数的单调性入手，使问题获得比较圆满的解决.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若关于的不等式的解集为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由不等式得，，则.‎ ‎14. 设中，角所对的边分别为，若的面积为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由余弦定理得，，又，联立两式得，，.‎ ‎15. 甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图可知，甲组数据的中位数为，平均数为，由题意得，即基本事件共5个，而，所以的值为0，1，2，即所求事件的基本事件有3个，故所求事件的概率为.‎ 点睛：此题主要考查茎叶图中数据特征数字，包括中位数、平均数等的运用，以及古典概型概率的计算等有关方面的知识，属于中低档题型，也是高频考点.用茎叶图表示数据有两个优点：一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示.‎ ‎16. 设函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的图象如图所示，结合图象易得，当时，，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及数形结合思想，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 三、解答题 ‎ ‎17. 已知等差数列的前项和为，，．‎ ‎（1）求；（2）设数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，运用等差数列的求和公式和通项公式，求得首项和公差，即可得到所求和；（2）求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，再由利用放缩法即可得证.‎ 试题解析：（1）， ，‎ ‎， ； ‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②‎ ‎；③；‎ ‎④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎18. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：‎ ‎（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；‎ ‎（2）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？‎ 附：，‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）没有95%以上的把握认为二者有关.‎ ‎【解析】试题分析：（1人中该日走路步数超过步的有人，根据古典概型概率公式即可得出结果；（2）根据所给数据，得出列联表，利用公式计算与临界值比较，即可得出结论.‎ 试题解析：（1）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有34人，频率为，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为；‎ ‎（2）‎ ‎ ，故没有95%以上的把握认为二者有关. ‎ ‎19. 如图，矩形中，，，为的中点，将沿折到的位置，． ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）在矩形中，由题意可得，结合，可得平面，再由面面垂直的判定可得面面；（2）在矩形中，求得，然后利用等积法求得三棱锥的体积.‎ 试题解析：（1）由题知，在矩形中， ， ，又，‎ 面，面面； ‎ ‎（2）. ‎ ‎20. 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于另一点，交轴于点，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于两点，连接（为坐标原点）并延长交椭圆于点，求面积的最大值及取最大值时直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）面积的最大值为3，‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，即可求得面积为，根据基本不等式可求最大值及直线的方程.‎ 试题解析：（1）由题知，故，代入椭圆的方程得，又，故，椭圆.‎ ‎（2）由题知，直线不与轴重合，故可设，由得，‎ 设，则，由与关于原点对称知，‎ ‎ ，‎ ‎， ，即，当且仅当时等号成立，‎ 面积的最大值为3，此时直线的方程为.‎ ‎21. 已知函数，．‎ ‎（1）分别求函数与在区间上的极值；‎ ‎（2）求证：对任意，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）在上有极小值，无极大值；在上有极大值，无极小值（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由题意，利用导数进行求解，首先求出函数极值点，再判断极值点两侧的单调性，从而得出是否为极大值点，还是极小值点，问题即可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可将分为和两段进行证明，在区间上可比较两个函数的极小值与极大值即，在区间上可考虑将两函数作差构造新函数，再通过判断新函数的单调性和最值，从而问题可得证.‎ 试题解析：（Ⅰ），，‎ 故在和上递减，在上递增，‎ 在上有极小值，无极大值；，，‎ 故在上递增，在上递减，‎ 在上有极大值，无极小值；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，，故；‎ 当时，，令，则，‎ 故在上递增，在上递减，，；‎ 综上，对任意，. ‎ 点睛：此题主要考查导数在研究函数单调性、极值等，以及函数性质在证明不等式中的应用等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.用导数解决极（最）值问题可以使解题过程简化，步骤清晰：首先利用导数为零，求出极值点；再判断极值点两侧的函数的单调性，进而判断是极小值还是极大值；比较端点值，从而得出最值.注意，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，根据极坐标与直角坐标互化的公式，代入曲线的极坐标方程，再进行整理即可；（Ⅱ）联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程，消去，利用直线参数的几何意义，及根与系数的关系，再进行化简整理，从而问题即可得解.‎ 试题解析：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）因为点在椭圆的内部，故与恒有两个交点，即，将直线的参数方程与椭圆的直角 坐标方程联立，得，整理得 ‎，则. ‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若的最小值为2，求的值；‎ ‎（2）若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，利用绝对值三角不等式，注意三角不等式中等号成立的条件，消去未知数，即可求得函数的最小值，从而求出实数的值；（Ⅱ）根据题意，将未知数与参数分离，再将问题转化为使不等式成立的特称命题，然后进行求即可.‎ 试题解析：（Ⅰ），当且仅当取介于和之间的数时，等号成立，故的最小值为，；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为，故，使成立，即 ，‎ ‎，. ‎