数学理卷·2018届湖北省华大新高考联盟高三1月教学质量测评（2018

数学理卷·2018届湖北省华大新高考联盟高三1月教学质量测评（2018

华大新高考联盟2018届高三1月教学质量测评 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若为的共轭复数是虚数单位），则的虚部为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 给出下列四个结论：‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②“若，则”的否命题是“若，则”；‎ ‎③是真命题，是假命题，则命题中一真一假；‎ ‎④若，则是的充分不必要条件，其中正确结论的个数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示是以为猎人记录自己采摘果实个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎5. 函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知，且满足，则 ‎ 的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 某数学期刊的国内统一刊号是CN42—1167/OI，其邮发代号38—69，设表示的个位数字，则数列的第项之第项之和 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 已知正方体，点在线段上，当最大时，四棱锥 的体积与正方体的体积比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 已知椭圆的短轴长为8，点为其两个焦点，点为椭圆上任意一点，的内切圆面积最大值为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 如图，在扇形中，,点为的中点，点 为阴影区域内的任意一点（含边界），若，则 的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 关于函数，下列说法错误的是（ ）‎ A．不存在正实数，使得恒成立 ‎ B．对任意，若，有 ‎ C．对任意 ‎ D．若正实数，满足，则 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，则直线的倾斜角的范围是 ．‎ ‎14.数列满足，若，则数列通项公式为 ．‎ ‎15设实数满足约束条件，则的最小值为. ．‎ ‎16.已知圆，点的坐标为，其中，若过点有且只有一条直线被圆截得的弦长为，则直线的一般式方程是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知直线是函数的一个极值点，将 的图象向左平移个单位，向下平移2个单位得到的图象.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设锐角中角所对的边分别为，若，且恒成立，‎ 求的取值范围.‎ ‎18. 某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分120分，现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，其茎叶图如下图所示：‎ ‎（1）已知10名学生的平均成绩为88，计算其中位数和方差；‎ ‎（2）已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人.‎ ‎ ①依据（1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在的学生人数（结果四舍五入取整数）；‎ ‎②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在的学生参加预选赛若每个学生通过预选赛的概率为，用随机变量表示通过预选赛的人数，求的分布列和数学期望.‎ 正态分布参考数据： ‎ ‎19.已知四边形为等腰梯形，,沿对角线将旋转，使得点至点的位置，此时满足.‎ ‎（1）判断的形状，并证明；‎ ‎（2）求二面角的平面角的正弦值.‎ ‎20. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为.‎ ‎（1）求动圆的圆心点的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的动直线与曲线交于两点，平面内是否存在定点，使得直线分别交于两点，使得直线的斜率，满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.已知为函数的导函数，且.‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）若，讨论函数零点的个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.以平面坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知圆的参数方程为为参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）分别写出的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点分别是圆上的动点，点的坐标为，求的最大值.‎ ‎23.已知函数. ‎ ‎（1）解关于的不等式.‎ ‎（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BDCDB 6-10:CBCCA 11、B 12：C 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:（1）化简得，‎ 由题意知是函数的一条对称轴，‎ 于是，解得，‎ 故，‎ 于是.‎ ‎（2）由，解得，‎ 由正弦定理，‎ 所以,‎ 又锐角，所以，‎ 则，故.‎ ‎18.解：（1）由茎叶图可知这10个数据依次为，‎ 中位数为，‎ 由平均数为.‎ ‎（2）①由（1）知，‎ ‎，‎ 该班学生成绩在的人数为.‎ ‎②随机变量，显然服从二项分布，‎ 其分布列为，其中，‎ ‎.‎ ‎19.解：（1）为等腰直角三角形，‎ 证明：在等腰梯形中，由平面几何知识可得，又，‎ 由余弦定理得，则，故，‎ 折叠后，又，故平面，‎ 而面，故，‎ 又，故为直角三角形.‎ ‎(2)由（1）知平面，，以点为坐标原点，以所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ 则，‎ 平面的法向量为，则，‎ 取故，， ‎ 同理可求得平面的一个法向量，‎ 设二面角的平面角为，则，‎ 结合图形可知.‎ ‎20.解：（1）设动圆圆心，设圆交轴于两点，连接，‎ 则，过点作，则点是的中点，‎ 显然，‎ 于是，化简整理得，故的轨迹方程为.‎ ‎（2）设 ，‎ 设直线的方程为，由，‎ 得 ，所以，直线的斜率为，‎ 由的直线的方程为，‎ 由 于是，又，则，‎ 于是，同理，‎ 于是直线的斜率，‎ ‎，即，‎ 即恒成立，‎ 故，解得，故 .‎ ‎21.解：（1）对，求导可得，‎ 所以，与是，所以，‎ 所以，‎ 于是在上单调递增，注意到，‎ 故时，单调递减，时，单调递增.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 由，得或，‎ 若，则，即，‎ 设 ‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 分析知时，时，时，，‎ 现考虑特殊情况：‎ ‎①若直线与相切，‎ 设切点为，则 ，整理得，‎ 设，显然在单调递增，‎ 而，故，此时.‎ ‎②若直线过点，由，则，则，‎ 结合图形不难得到如下的结论：‎ 当时，有一个零点；‎ 当和或时，有两个零点，‎ 当且，由三个零点.‎ ‎22.解：（1）由圆的参数方程为参数），得，‎ 由圆的极坐标方程为，得，‎ 整理得.‎ ‎（2） ‎ ‎.‎ ‎23.解：（1）由，得，‎ 当时，，解得（舍去），‎ 当时，，解得，所以，‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎(2)由，得，下面分四种情形讨论：‎ 当时，不等式恒成立；‎ 当时，不等式化简整理得，即恒成立，则，所以；‎ 当时，不等式化简整理得，即恒成立，则，所以；‎ 当时，不等式化简整理得，即恒成立，则，所以；‎ 综上.‎