2013-2017高考数学分类汇编-第8章 立体几何-1 空间几何体及其表面积和体积（理科）

2013-2017高考数学分类汇编-第8章 立体几何-1 空间几何体及其表面积和体积（理科）

第八章 立体几何 第1节 空间几何体及其表面积和体积 ‎1 .（2014 陕西理 14）观察分析下表中的数据：‎ ‎ 多面体 ‎ 面数()‎ ‎ 顶点数()‎ ‎ 棱数()‎ ‎ 三棱锥 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 五棱锥 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 立方体 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.‎ ‎1 . 解析 观察表中数据，并计算分别为，，，又其对应分别为，，，容易观察并猜想.‎ 题型85 空间几何体的表面积与体积 ‎1．（2013湖北理8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有：（ ）.‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2 . (2013重庆理5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎3 .（2013江苏8）如图，在三棱柱中，分别是 的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4．（2013广东理5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎5 .（2014 山东理 13）三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则. ‎ ‎5 . 解析 如图，设，，到平面的距离为，到平面 的距离为，则，，，，所以.‎ 评注 本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化，找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系，从而造成题目无法求解或求解错误.‎ ‎6 .（2014 福建理 13）要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米元，侧面造价是每平方米元，则该容器的最低总造价是 .（单位：元）‎ ‎6 . 解析 设底面的边长分别为，，总造价为元，则.‎ ‎（当且仅当时取等号）故该容器的最低总造价是元.‎ ‎7 .（2014 新课标2理18） （本小题满分12分）‎ ‎ 如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.‎ ‎ （1）证明：平面；‎ ‎ （2）设二面角为，，，求三棱锥的体积.‎ ‎8 .（2016上海理19）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图所示，长为，长为，其中与在平面的同侧．‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小．‎ ‎8.解析 （1）连结，则，所以为正三角形，故，所以．‎ ‎（2）设点在下底面圆周的射影为，连结，则，所以为直线与所成角（或补角），，连结，，，所以，故，因此为正三角形，所以，故，所以，故直线与所成角大小为．‎ ‎9 .（2016江苏17）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．‎ ‎（1）若，，则仓库的容积是多少；‎ ‎（2）正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？‎ ‎9 .解析 （1），则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，故仓库的容积为．‎ ‎（2）设(m)，仓库的容积为，‎ 则(m)，(m)，(m)，‎ ‎，，‎ 当时，，单调递增；当时，，‎ 单调递减．‎ 故当时，取到最大值，即(m)时，仓库的容积最大．‎ ‎1 0 .（2016浙江理14）如图所示，在中，，若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积的最大值是 .‎ ‎10 . 解析 在中，因为，所以.‎ 由余弦定理可得，所以.‎ 设，则，.在中，由余弦定理可得.故.在中，，.由余弦定理可得，‎ 所以.‎ 过点作直线的垂线，垂足为.设，则，‎ 即，解得.而的面积.设与平面所成角为，则点到平面的距离.故四面体的体积，‎ 当时等号成立，所以我们取.‎ 设，因为，所以.则.‎ 当时，有故.此时，‎ ‎.‎ 因为所以函数在上单调递减，‎ 故.‎ 当时，有，故.此时，.‎ 由上述可知，函数在单调递减，故.‎ 综上所述，四面体的体积的最大值为.‎ ‎11 .（2017江苏6）如图所示，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 ．‎ O O1‎ O2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11 .解析 设球的半径为，由题意，，所以．故填．‎ ‎12．（2017天津理10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 ‎，则这个球的体积为 .‎ ‎12.解析 设正方体的边长为，则.外接球直径为正方体的体对角线，所以，.‎ ‎13.（2017全国1卷理科16）如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为.，，为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_______.‎ ‎13.解析 由题意，联结，交于点，如图所示，则，，‎ 即的长度与的长度成正比.设，则，，三棱锥的高，，‎ 则.令，，，令，即，，当，得，所以 在上单调递增，在上单调递减.故，则，‎ 所以体积的最大值为.‎ 题型86 旋转体的表面积、体积及球面距离 ‎1.（2013浙江理12）若某几何体的三视图（单位：‎ ‎）如图所示，则此几何体的体积等于________.‎ ‎ 2 .（2013辽宁理13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .‎ ‎3. （2013辽宁理10） 已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4 .（2014 江苏理 8）设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ．‎ ‎4. 解析 设圆柱甲的底面半径为，高为，圆柱乙的底面半径为，高为.由题意 得，所以.又因为，即，所以，‎ 故.‎ 评注 考查立体几何中侧面积、体积公式，考查运算和恒等变形的能力.‎ ‎5.（2014 陕西理 5） 已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 解析 如图为四棱柱.根据题意得，所以对角面为正方形，所以外接球直径，所以，所以，故选D.‎ ‎6 .（2014 湖北理 8）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.‎ 该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 解析 圆锥的体积，由题意得，近似取为，故选B.‎ ‎7.（2014 大纲理 8）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 解析 设球的半径为，由题意可得，解得，所以该球的表面积为.故选A.‎ ‎8.（2015全国1理6）《‎ 九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）.‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎8.解析 设圆锥底面半径为，则，所以，所以米堆的体积为 立方尺，故堆放的米约为斛.故选B．‎ ‎9.(2015山东理7) 在梯形中，，，. ‎ 将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ).‎ A． 　　 B． 　　 C． 　　 D．‎ ‎9.解析 由题意，梯形绕所在直线旋转一周而形成的几何体是一个底面半径为 ‎1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥所得的组合体，所以．故选C．‎ ‎10.（2015江苏9）现有橡皮泥制作的底面半径为，高为的圆锥和底面半径为，高为的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ．‎ ‎1 0.解析 原来的总体积为，设新的半径为，‎ 故变化后体积，计算得，‎ 从而．‎ ‎11.（2017全国3卷理科8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎1 1．解析 如图所示，由题可知球心在圆柱体的中心处，圆柱体上、下底面圆的半径 ‎，则圆柱体的体积.故选B.‎ 题型87 几何体的外接球与内切球 ‎1.（2015全国2理9）已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.解析 根据题意，可得图如图所示， 当点位于垂直于面的直径端点时，‎ 三棱锥的体积最大，则可设球的半径为，‎ 此时，故，‎ 则球的表面积为.故选C．‎ ‎2.（2016全国丙理10）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎2.B 解析 如图所示，假设在直三棱柱中，有一个球与平面，平面，平面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为，‎ 则且，得.‎ 因此，直三棱柱内球的半径最大值为，则.故选B.‎