数学理卷·2018届河南省高三毕业班4月高考适应性考试（2018

数学理卷·2018届河南省高三毕业班4月高考适应性考试（2018

‎2018届河南省高三4月普通高中毕业班高考适应性考试 数学（理）试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知为虚数单位，若，则（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3.下列说法中，正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆命题是真命题 B．命题“，”的否定是“，”‎ C．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题 D．已知，则“”是“”的充分不必要条件 ‎ ‎4.已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（ ）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎5.的展开式中的系数为（ ）‎ A．10 B．15 C．20 D．25‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A．14 B．13 C．12 D．11‎ ‎7.三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角满足，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知函数，，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.设，是双曲线：的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则实数（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎12.定义域为的函数的图象的两个端点分别为，，是图象上任意一点，其中，向量.若不等式恒成立，则称函数在上为“函数”.已知函数在上为“函数”，则实数的最小值是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.已知实数，满足不等式组，则的最小值为 ．‎ ‎14.如图，已知点，点在曲线上移动，过点作垂直轴于，若图中阴影部分的面积是四边形面积的，则点的坐标为 ．‎ ‎15.已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为 ．‎ ‎16.已知数列的前项和是，且，则数列的通项公式 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.的内角，，的对边分别为，，，面积为，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求角.‎ ‎18.某公司要根据天气预报来决定五一假期期间5月1日、2日两天的宣传活动，宣传既可以在室内举行，也可以在广场举行.统计资料表明，在室内宣传，每天可产生经济效益8万元.在广场宣传，如果不遇到有雨天气，每天可产生经济效益20万元；如果遇到有雨天气，每天会带来经济损失10万元.若气象台预报5月1日、2日两天当地的降水概率均为. （1）求这两天中恰有1天下雨的概率；‎ ‎（2）若你是公司的决策者，你会选择哪种方式进行宣传（从“2天都在室内宣传”“2天都在广场宣传”这两种方案中选择）？请从数学期望及风险决策等方面说明理由.‎ ‎19.如图，在边长为的菱形中，.点，分别在边，上，点与点，不重合，，.沿将翻折到的位置，使平面平面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当与平面所成的角为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20.已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，已知直线：，曲线：（为参数）.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于，两点，若，求实数的取值范围.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）对于，使得成立，求的取值范围.‎ ‎2018年河南省普通高中毕业班高考适应性练习 理科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1-5: DCBDC 6-10: BACBB 11、12：AD 二、填空题 ‎13. -6 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，∴由余弦定理，得，‎ ‎∴整理，得.又∵，∴.‎ ‎（2）在中，由正弦定理，得，即.∵，，‎ ‎∴或，∴或.‎ ‎18.解：（1）设事件为“这两天中恰有1天下雨”，则.‎ 所以这两天中恰有1天下雨的概率为0.48.‎ ‎（2）2天都在室内宣传，产生的经济效益为16万元.‎ 设某一天在广场宣传产生的经济效益为万元，则 ‎-10‎ ‎20‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ 所以（万元）.‎ 所以两天都在广场宣传产生的经济效益的数学期望为16万元.‎ 因为两种方案产生经济效益的数学期望相同，但在室内活动收益确定，无风险，故选择“2天都在室内宣传”.‎ ‎（在广场宣传虽然冒着亏本的风险，但有产生更大收益的可能，故选择“‎ ‎2天都在广场宣传”）‎ ‎19.解：（1）∵，∴.‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ 且平面，∴平面.‎ ‎（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，‎ 连接，∵平面，‎ ‎∴为与平面所成的角，即，‎ ‎∴.‎ 设，∵，∴为等边三角形，‎ ‎∴，，.‎ 设，则，由，得，即，.‎ ‎∴，，，，.‎ 设平面、平面的法向量分别为，，‎ 由，取，得.同理，得，‎ ‎∴，‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）设点，‎ 由题知，，‎ 整理，得曲线：，即为所求.‎ ‎（2）由题意，知直线的斜率不为0，故可设：，，，‎ 设直线的斜率为，由题知，，，‎ 由，消去，得，所以，‎ 所以.‎ 又因为点在椭圆上，所以，所以，为定值.‎ ‎21.解：（1）令，由题意知的图象与的图象有两个交点.‎ ‎.‎ 当时，，∴在上单调递增；‎ 当时，，∴在上单调递减.‎ ‎∴.‎ 又∵时，，∴时，.‎ 又∵时，.‎ 综上可知，当且仅当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点.‎ ‎（2）因为函数有两个极值点，‎ 由，得有两个不同的根，（设）.‎ 由（1）知，，，且，‎ 且函数在，上单调递减，在上单调递增，‎ 则.‎ 令，‎ 则，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 故，.又，；，，‎ 所以函数恰有三个零点.‎ ‎22.解：（1）直线：，展开可得，‎ 化为直角坐标方程为，‎ 曲线：可化为.‎ ‎（2）∵曲线是以为圆心的圆，圆心到直线的距离，‎ ‎∴，∴，‎ 解得.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎23.解：（1）由或或，解得或，‎ ‎∴的解集为.‎ ‎（2）当时，；.‎ 由题意，得，即，即，‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴的取值范围是.‎