2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练17 平面向量的应用

2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练17 平面向量的应用

考点17 平面向量的应用 ‎【考点分类】‎ 热点一 向量与三角相联系[来源:Zxxk.Com]‎ ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】‎ 已知点( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有,则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文科）】已知点，，，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎4.(2012年高考安徽卷理科8)在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【方法二】将向量按逆时针旋转后得,‎ 则.‎ ‎5. (2012年高考湖南卷理科7)在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则（ ）]‎ A. B. C. D.‎ ‎6．(2012年高考浙江卷理科15)在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则＝______________．‎ cos∠BAC＝．＝‎ ‎7.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】‎ 已知，.‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）设，若，求，的值. ‎ ‎8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科】‎ 已知向量, 设函数. ‎ ‎ (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. ‎ ‎ (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. ‎ ‎9.（2012年高考江苏卷15）（本小题满分14分）‎ 在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ ‎10.(2012年高考湖北卷理科17)已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. [来源:学科网]‎ （1） 求函数f（x）的最小正周期；‎ （2） 若y=f（x）的图像经过点,求函数f（x）在区间上的取值范围.‎ ‎【方法总结】平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目，是高考最近几年出现的热点题型.此类题目要求在熟练掌握平面向量和三角函数图象的基础上要对平面向量和三角函数的性质灵活运用.‎ 热点二 向量与解析几何相联系 ‎11.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知抛物线与点，过C的焦点且切率为k的直线与C交于A、B两点，若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎ (II) 为椭圆上满足的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆与点，设，求实数的值.[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎【解析】(I)设椭圆的方程为,‎ 设直线的方程为，将其代入椭圆方程得 ‎.‎ 设，由判别式可得，‎ 此时 ‎13.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】‎ 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若 ‎, 求k的值. ‎ ‎14.(2012年高考江西卷理科20) （本题满分13分）‎ 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足.‎ （1） 求曲线C的方程；‎ ‎（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值.若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】（1）依题意可得，‎ ‎，‎ ‎15.(2012年高考陕西卷理科19) （本小题满分12分）‎ 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程．‎ 又由，得，，‎ 将代入中，得，即，‎ 解得 ，故直线的方程为或.‎ ‎【方法总结】解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：‎ ‎（1）给出直线的方向向量或；‎ ‎（2）给出与相交,等于已知过的中点;‎ ‎（3）给出,等于已知是的中点;‎ ‎（4）给出,等于已知与的中点三点共线;‎ ‎（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；‎ ‎（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即；‎ ‎（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；‎ ‎（8）给出,等于已知是的平分线；‎ ‎（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;‎ ‎（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;‎ ‎（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；‎ ‎（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；‎ ‎（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；‎ ‎（14）在中，给出等于已知通过的内心；‎ ‎（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；‎ ‎（16）在中，给出,等于已知是中边的中线.‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1.会用向量方法解决简单的平面几何问题．‎ ‎2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ 二．命题方向 新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如下：‎ ‎(1)考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)；简单的三角变换(求值、化简及比较大小)．有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识．‎ ‎(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合．‎ ‎(3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐．主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等．‎ ‎(4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用．‎ 三．规律总结 一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．‎ 两条主线 ‎(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．‎ ‎(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】.在平面直角坐标系中，若定点A(1,2)与动点P（，）满足向量在向量上的投影为，则点P的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 【北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中】 若是所在平面内的一点，且满足，则一定是（ ）‎ ‎ A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 斜三角形 ‎ ‎3. 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试】已知是所在平面内一点，为 边中点，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】已知点P是所在平面内一点，则是点P在线段AC上的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎5. 【河北省邯郸市2013年高三第二次模拟考试】巳知双曲线(a>0，b>0)，过其右焦点F且与渐近线y =-x平行的直线分别 与双曲线的右支和另一条渐近线交于A、B两点，且,则双曲线的离心率为[来源( ):gkstk]‎ A. B. C. D. 2‎ ‎6. 【2013年安徽省安庆市高三模拟考试（三模）】已知点F1、F2是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上的一点，且，则面积为 ( )‎ A. ab B. ab C. b2 D. a2‎ ‎7. 【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】已知中，角A、B、C的对边分别是a,b,c,且，,则 .‎ ‎∵∴∴.‎ ‎8. 【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若且，则的面积为 .‎ ‎9. 【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】已知△ABC中，,则 .‎ ‎10. 【珠海市2013届高三上学期期末】设向量a＝，b＝，θ为锐角．‎ ‎（1）若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值． ‎ cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－．……………… 10分 二．能力拔高 ‎11. 【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则的值是（ ）‎ A. 3 B.2 C.1 D. 0‎ ‎13. 【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】在中，是边中点，‎ 角，，的对边分别是，，，若，则的形状为 ‎ ‎ A. 等边三角形 B.钝角三角形 ‎ C.直角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.‎ ‎14. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】‎ 定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中，①，②，③，‎ ‎④若，则.‎ 恒成立的有（ ）‎ A．1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎15. 【安徽省淮南市2013年高三第二次教学质量检测】在△ABC中， 下列命题正确是 ‎ （1） 命题“0”是命题“△ABC为钝角三角形”的充要条件,‎ （2） P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)是定值，‎ （3） ‎,则直线AP必过△ABC的垂心，‎ ‎（4）点O是△ABC内一点,且满足,则.‎ ‎16. .【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】设函数 为坐标原点，图象上横坐标为 的点，向量的夹角，满足 的最大整数是 .‎ ‎17. 【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎18. 【天津一中2012-2013学年高三年级一月考】已知为的三个内角的对边，向量，．若，且，则角 ．‎ ‎19. 【上海市2013届高考二模卷】 直线x=2与双曲线C：的渐近线交于A、B两点，‎ 设P为双曲线C上的任意一点，若(a、bÎR，O为坐标原点)，则下列不等式 恒成立的是 （ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎20. 【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】（本小题满分13分）‎ 已知斜率为的直线与椭圆交于两点，且线段的中点为．直线与y轴交于点，与椭圆C交于相异两点，O为坐标原点，且．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）求m的取值范围．‎ 三．提升自我 ‎21. 【湖北省黄冈中学2013届高三11月月考】已知为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线 的三个动点，点满足条件，则动点的轨 迹一定通过的（ ）‎ ‎ A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 ‎22. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】（本小题满分12分）‎ 已知、分别是椭圆: 的左、右焦点，点在直线上，线段的垂直平分线经过点．直线与椭圆交于不同的两点、，且椭圆上存在点，使，其中是坐标原点，是实数．‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当取何值时，的面积最大？最大面积等于多少？‎ 本题综合考查直线和椭圆的相关问题，综合考查考生的运算求解能力.‎ 解:（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，根据题意得 ‎∵，∴．‎ ‎∴． ‎ ‎“” 成立，即．‎ ‎∴当时，的面积最大，最大面积为．‎ ‎23. 【广东省惠州市2013届高三第三次调研考试】‎ 已知向量向量 与 垂直，且 ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足 ，求数列的前项和.‎ ‎24. 【浙江省嘉兴一中2013届高三10月月考】在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．‎ ‎ （1）求角A；‎ ‎（2）若m，n，试求|mn|的最小值．‎ 解:（1）， ………………3分 ‎25. 【湖北省黄冈中学2013届高三11月月考】（本小题满分12分）已知的两边长分别为，，且O为外接圆的圆心．（注：，）‎ ‎（1）若外接圆O的半径为，且角B为钝角，求BC边的长；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎ ‎ ‎【考点预测】‎ ‎1. 直线与相交于点，动点、分别在直线与上且异于点，若与的夹角为，，则的外接圆的面积为 ‎ A. B. C. D. [来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎2. 已知△ABC的面积为，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，，则△APQ的面积为 .‎ A B C P Q ‎3. [在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，C=．若，且D、E、F三点 共线（该直该不过点O），则△ABC周长的最小值是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴，因此周长的最小值是，答案为C.‎ ‎4. 在中，，，是的中点，那么 ‎ ____________;若是的中点，是（包括边界）内任一点．则的取值范围是___________. ‎ ‎ ‎ ‎5. 已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围. ‎ ‎ 【解析】(1)由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时，‎ ‎ 即取最大值，且.‎ ‎ 由得 ‎ ‎