浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题8立体几何与空间向量+第57练空间角的问题

浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题8立体几何与空间向量+第57练空间角的问题

第57练 空间角的问题 ‎[基础保分练]‎ ‎1.(2019·丽水模拟)已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝CC1＝2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)‎ A.B.C.D. ‎2.平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)‎ A.B.C.D. ‎3.(2019·湖州模拟)如图，已知三棱锥D—ABC满足AC>AB>BC，D在底面的投影O为△ABC的外心，分别记直线DO与平面ABD，ACD，BCD所成的角为α，β，γ，则(　　)‎ A.α<β<γB.α<γ<βC.β<γ<αD.β<α<γ ‎4.(2019·绍兴柯桥模拟)如图，二面角α—l—β中，P∈l，射线PA，PB分别在平面α，β内，点A在平面β内的射影恰好是点B，设二面角α—l—β、PA与平面β所成的角、PB与平面α所成的角的大小分别为δ，φ，θ，则(　　)‎ A.δ≥φ≥θ B.δ≥θ≥φ C.φ≥δ≥θ D.θ≥δ≥φ ‎5.(2019·嘉兴模拟)已知两个平面α，β和三条直线m，a，b，若α∩β＝m，a⊂α且a⊥m，b⊂β，设α和β所成的一个二面角的大小为θ1，直线a和平面β所成的角的大小为θ2，直线a，b所成的角的大小为θ3，则(　　)‎ A.θ1＝θ2≥θ3 B.θ3≥θ1＝θ2‎ C.θ1≥θ3，θ2≥θ3 D.θ1≥θ2，θ3≥θ2‎ ‎6.(2019·杭州模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E分别是BC，AB的中点，AB≠AC，且AC>AD.设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P—BC—A为γ，则(　　)‎ A.α<β<γ B.α<γ<β C.β<α<γ D.γ<β<α ‎7.如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC＝PD＝CD＝2，BC＝2，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为(　　)‎ A.B.C.D. ‎8.(2019·绍兴上虞区模拟)点P为棱长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则B1P与平面CDP所成角的正切值的最小值是(　　)‎ A.B.C.D. ‎9.(2019·嘉兴模拟)已知三棱锥D—ABC的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝AB＝4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点.若此三棱锥的体积为，则异面直线AE与DC所成角的大小为________.‎ ‎10.(2019·温州模拟)如图1，在△ABC中，BA＝BC＝6，∠ABC＝120°，＝2，过点D作DE⊥AC交AC于点E，连接CD.现将△ADE与△BCD分别沿DE与CD翻折，使DA与DB重合(如图2)，则二面角E－A′D－C的平面角的余弦值为________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝，点A关于平面PBC的对称点为A′，则异面直线A′C与AB所成的角等于(　　)‎ A.B.C.D. ‎2.(2019·学军中学模拟)已知在矩形ABCD中，AD＝AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使得点A′在平面BCD上的射影在△BCD内(不含边界)，设二面角A′—BD—C的大小为θ，直线A′D，A′C与平面BCD所成的角分别为α，β，则(　　)‎ A.α<θ<β B.β<θ<α C.β<α<θ D.α<β<θ ‎3.(2019·金华十校联考)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别在线段B1D1和BD上，EB1＝B1D1，DO＝BO，动点F在线段AA1上，且满足AF＝λA1A，分别记二面角F—OB1—E，F—OE—B1，F—EB1—O的平面角为α，β，γ，则(　　)‎ A.α>γ>β B.γ>β>α C.γ>α>β D.β>α>γ ‎4.如图，已知点E是正方形ABCD的边AD上一动点(端点除外)，现将△ABE沿BE所在直线翻折成△A′BE，并连接A′C，A′D，记二面角A′—BE—C的大小为α(0°<α<180°)，则(　　)‎ A.存在α，使得BA′⊥平面A′DE B.存在α，使得BA′⊥平面A′CD C.存在α，使得EA′⊥平面A′CD D.存在α，使得EA′⊥平面A′BC ‎5.(2019·金华模拟)过正四棱锥的顶点与四个侧面所成的锐二面角都相等的平面有________个.‎ ‎6.(2019·余姚中学模拟)如图，已知平面α⊥β，α∩β＝l，A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，AD＝3，AB＝6，CB＝6.P是平面α上的一动点，且直线PD，PC与平面α所成的角相等，则二面角P—BC—D的余弦值的最小值是________.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1．D　2.A　3.D　4.A　5.D　6.A　7.C　8．C ‎9．60°‎ 解析　∵DA⊥平面ABC，S△ABC＝AB·AC＝8，‎ ‎∴三棱锥的体积V＝S△ABC·DA＝·DA＝，∴DA＝4，‎ ‎∴BD＝＝4，CD＝＝4.‎ 设BC的中点为F，连接EF，AF，如图，则EF＝CD＝2，‎ AF＝BC＝2，AE＝BD＝2，‎ ‎∴△AEF是正三角形，∴∠AEF＝60°.‎ ‎∵E是DB的中点，则EF∥DC，‎ ‎∴∠AEF是异面直线AE与DC所成的角，即异面直线AE与DC所成角的大小为60°.‎ ‎10. 解析　由题意得DE⊥A′E，DE⊥CE，A′E∩CE＝E，‎ 则DE⊥平面A′EC，又DE⊂平面DEA′，‎ 所以平面DEA′⊥平面A′EC，过点C作CG⊥EA′交EA′的延长线于点G，如图所示，‎ 则GC⊥平面A′DE，过点G作GH⊥DA′交DA′的延长线于点H，连接CH，可证得CH⊥HD，所以∠GHC即为二面角E－A′D－C的平面角．因为在△ABC中，BA＝BC＝6，∠ABC＝120°，＝2，所以在Rt△B′HC中，∠B′HC＝90°，∠HB′C＝60°，B′C＝6，所以B′H＝3，CH＝3，在Rt△HA′G中，∠A′HG＝90°，A′H＝1，∠HA′G＝30°，所以HG＝A′H·tan∠HA′G＝，‎ 在Rt△CGH中，cos ∠GHC＝＝.‎ 能力提升练 ‎1．C　[由于点A，A′关于平面PBC对称，则连线AA′⊥平面PBC，所以BC⊥AA′.‎ 设AA′与平面PBC相交于点O，延长PO交BC于点E，连接AE，‎ 因为PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，又AA′∩PA＝A，所以BC⊥平面PAE.所以BC⊥AE，可得E为BC的中点，因为AB＝AC＝BC＝1，所以AE＝.‎ 在Rt△PAE中，利用等面积法可得AO＝＝＝，‎ 在Rt△AEO中，OE＝＝.‎ 取A′B的中点D，连接DE，DO，‎ 由中位线的性质知DE∥A′C，OD∥AB，且OD＝AB＝，因为AA′⊥平面PBC，OC⊂平面PBC，所以AA′⊥OC，且O为AA′的中点，所以A′C＝AC＝1，所以DE＝A′C＝，又OE＝，则在△ODE中，OD＝DE＝OE＝，所以∠ODE＝，又OD∥AB，DE∥A′C，则直线A′C与AB所成角的大小为∠ODE＝，故选C.]‎ ‎2．D　[设点A′在平面BCD内的射影为点O，过点A′作BD的垂线，垂足为点E，设AB＝1，则在Rt△A′BD中易得A′E＝，∠A′DO＝α，∠A′CO＝β，∠A′EO＝θ，且α，β，θ均为锐角，tan∠A′DO＝，tan∠A′CO＝，tan∠A′EO＝，又由翻折及解三角形，易得当点A′在平面BCD内的射影在△BCD内(不含边界)时，有OEOF′>F′K>F′M，所以tanβ>tanα>tanγ，所以β>α>γ，故选D.]‎ ‎4．D　[在正方形ABCD内，过点A作AF⊥BE于点F，交DC于点G，易得在翻折过程中，点A′在平面BCDE内的投影在线段AG上，设正方形ABCD的边长为1，则A′B＝1，BD＝，∵A′E＋ED＝1>A′D，∴∠BA′D≠90°，故A和B错误；‎ ‎∵二面角A′—BE—C的大小为α(0<α<π)，不存在EA′⊥A′C，∴不可能存在α，使得EA′⊥平面A′CD，故C错误；‎ Rt△ABE绕BE旋转得到的几何体是两个圆锥的组合体，∵∠A′BE<45°，45°<∠A′EB<90°，∴某个位置存在母线A′E⊥AE，即A′E⊥BC，‎ ‎∵二面角A′—BE—C的大小为α(0°<α<180°)，∴存在α，使得EA′⊥平面A′BC，故D正确，故选D.]‎ ‎5．3‎ 解析　如图，‎ 过正四棱锥的顶点与四个侧面所成的锐二面角都相等的平面，根据对称性可得，平面ABCD，平面PAC，平面PBD，故有三个面．‎ ‎6. 解析　∵DA⊥l，α⊥β，α∩β＝l，AD⊂β，‎ ‎∴AD⊥α，同理BC⊥α.‎ ‎∴∠DPA为直线PD与平面α所成的角，∠CPB为直线PC与平面α所成的角．‎ ‎∴∠DPA＝∠CPB，‎ 又∠DAP＝∠CBP＝90°，‎ ‎∴△DAP∽△CBP，＝＝.‎ 在平面α内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，‎ 则A(－3,0)，B(3,0)，设P(x，y)(y>0)．‎ ‎∴2＝，‎ 整理可得(x＋5)2＋y2＝16.‎ ‎∴P在α内的轨迹为以M(－5,0)为圆心，以4为半径的上半圆．‎ ‎∵平面PBC∩平面β＝BC，PB⊥BC，AB⊥BC.∴∠PBA为二面角P—BC—D的平面角，‎ ‎∴当PB与圆相切时，∠PBA最大，‎ cos∠PBA取得最小值．‎ 此时PM＝4，MB＝8，MP⊥PB，PB＝4，‎ cos∠PBA＝＝＝.‎