2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设是虚数单位，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合复数的运算法则求解所给算式的值即可.‎ 详解：由复数的运算法则可得：，，‎ 则： .‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的乘方、复数的除法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．下列四个图中，两个变量具有负相关关系的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意结合负相关的定义和所给的图象确定具有负相关关系的变量即可.‎ 详解：两个变量具有负相关关系，则随着自变量x增大，函数值y应该呈现递减的趋势，‎ 观察所给的图象，只有B选项符合题意.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查负相关的概念，属于基础的题目，要求学生掌握好基础概念.‎ ‎3．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（ ）‎ A．①﹣分析法，②﹣综合法 B．①﹣综合法，②﹣分析法 C．①﹣综合法，②﹣反证法 D．①﹣分析法，②﹣反证法 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，根据分析法是由结论到已知的推理模式，综合法是由已知到未知的推理模式，所以应填①﹣综合法，②﹣分析法，故选B．‎ ‎【考点】分析法与综合法．‎ ‎4．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（ ）‎ A. 7 B. 35 C. 48 D. 63‎ ‎【答案】D ‎【解析】按照上述规律，可得，故选D.‎ ‎5．下列说法错误的是（ ）‎ A. 线性回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 B. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法 C. 在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好 D. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好 ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法，找到错误的说法即可.‎ 详解：逐一考查所给的说法：‎ A. 线性回归直线至少经过其样本数据点的样本中心点，但是不一定经过数据中的一个点，该说法错误；‎ B. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，该说法正确；‎ C. 在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好，该说法正确；‎ D. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，该说法正确；‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查统计学中的基本概念的掌握，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．用反证法证明命题 “自然数a、b 、c 中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列假设正确的是（ ）‎ A．a、b、c都是奇数 B．a、b 、c都是偶数 C．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数 D．a、b 、c中至少有两个偶数 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”，‎ ‎【考点】反证法 ‎7．在极坐标系中，两条曲线，的交点为，则（ ）‎ A. 4 B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：联立极坐标方程，然后结合勾股定理求解弦长即可.‎ 详解：联立极坐标方程：可得：，，‎ 利用勾股定理可得：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查极坐标方程，对极坐标概念的理解等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．某家庭连续五年收入与支出如下表，已知与线性相关，回归方程为：，其中，据此预计该家庭2017年收入15万元，则支出为（ ）‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ 收入（万元）‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出（万元）‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元 ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先求得样本中心点，然后确定回归方程，最后进行预测即可.‎ 详解：结合所给的数据计算可得：‎ ‎，，‎ 线性回归方程过样本中心点，则：，‎ 解得：，即线性回归方程为：，‎ 据此预计该家庭2017年收入15万元，则支出为万元.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积），在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积），应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度，则其四维测度（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度.‎ 详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，维测度关于求导可得维测度，‎ 结合“超球”的三维测度，可得其四维测度.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹为（ ）‎ A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意结合复数运算的几何意义和双曲线的定义可得对应点的轨迹为双曲线.‎ 详解：由复数的几何意义可知，表示：‎ 到点与点之间的距离之差的绝对值为常数1的点的轨迹，‎ 且，‎ 结合双曲线的定义可知：复数在复平面上对应点的轨迹为双曲线.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．‎ ‎11．对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，，‎ ‎，…已知的“分裂”数中有一个是333，则为（ ）‎ A. 16 B. 17 C. 18 D. 19‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意找到分裂数的性质，然后结合题意确定m的值即可.‎ 详解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，‎ ‎33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，‎ ‎43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，‎ 发现奇数的个数与前面的底数相同,‎ 每一组分裂中的第一个数是底数×(底数−1)+1，‎ 而18×17+1=307<333，19×18+1=343>333，‎ 据此可得：为18.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查归纳推理的能力，数列知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.‎ 详解：由题意, ，‎ 则，很明显 n⩾2时,，‎ 两式作差可得：，‎ 则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，‎ 则an−kn=(2−k)n+2，‎ 则数列{an−kn}为等差数列，‎ 故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：‎ a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；‎ 即，解得：.‎ 实数的取值范围为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ 二、填空题 ‎13．已知复数（是虚数单位），则的共轭复数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意结合复数的运算法则进行计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得：，，‎ 据此可得：，其共轭复数为.‎ 点睛：对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.‎ ‎14．选做题：从以下两道试题中任选一题作答 ‎（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，则在直角坐标系下，曲线的方程为__________．‎ ‎（选修4-5：不等式选讲）‎ 若，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：(1)由题意极坐标方程化为直角坐标方程即可；‎ ‎(2)由题意结合几何意义和两点之间距离公式求解最值即可.‎ 详解：(1)极坐标方程即：，‎ 化为直角坐标方程为：，‎ 整理可得：.‎ ‎(2)如图所示，对应的位于直线上，‎ 目标函数表示坐标原点与直线上的点连线距离的平方，‎ 坐标原点到直线的距离：，‎ 据此可得：.‎ 点睛：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15．已知函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心，由此推测，函数的图象的对称中心为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先结合所给的性质归纳推理得到的对称中心，然后确定题中所给函数的对称中心即可.‎ 详解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为，即，‎ 由此推测，函数的图象的对称中心为，‎ 而函数 ‎，‎ 据此可得函数的图象的对称中心为：‎ ‎，即.‎ 点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．‎ ‎16．已知为二次函数，且不等式的解集是，若，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意首先确定二次函数的性质，据此分类讨论即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得二次函数开口向上，且对称轴为：，‎ 则二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 结合对称性可得，‎ 很明显，据此分类讨论：‎ 当时，由单调性可得：，即，不等式无解；‎ 当时，不等式即：，‎ 由单调性可得：，即，解得：，‎ 综上可得：实数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎ 三、解答题 ‎17．已知复数，，.‎ ‎（1）若为纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）在复平面内，若对应的点在第四象限，对应的点在第一象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得到关于x的方程组，求解方程组可得.‎ ‎（2）对应的点在第四象限，则，对应的点在第一象限，则，据此可得的取值范围为：.‎ 详解：（1）∵为纯虚数，∴，解得；‎ ‎（2）∵对应的点在第四象限，∴，解得：，‎ ‎∵对应的点在第一象限，∴，解得：，‎ 综上，实数的取值范围为：.‎ 点睛：这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.‎ ‎18．国际奥委会于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了100位居民调查结果统计如下：‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎_______‎ ‎_______‎ ‎80‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ ‎_______‎ ‎_______‎ 合计 ‎_______‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（1）根据已知数据，把表格填写完整；‎ ‎（2）是否有95%的把握认为年龄与支持申办奥运有关？‎ 附表：，‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.814‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）见解析（2）有95%的把握认为年龄与支持申办奥运有关 ‎【解析】分析：（1）由题意完成题中的列联表即可；‎ ‎（2）由题意计算可得，则有95%的把握认为年龄与支持申办奥运有关.‎ 详解：（1）‎ 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 ‎20‎ ‎60‎ ‎80‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（2）‎ 可以判断，有95%的把握认为年龄与支持申办奥运有关.‎ 点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． ‎ ‎19．数列，的前项和分别为，，且，.‎ ‎（1）当时，计算与的值，并猜想时，与的大小关系；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由题意计算可得；；；据此猜想：.‎ ‎（2）由题意利用放缩法可证得，则 详解：（1）当时，，，；‎ 当时，，，；‎ 当时，，，；‎ 猜想：.‎ ‎（2）∵，∴‎ 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎20．某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间满足关系式（为大于0的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：‎ 尺寸 ‎38‎ ‎48‎ ‎58‎ ‎68‎ ‎78‎ ‎88‎ 质量 ‎16.8‎ ‎18.8‎ ‎20.7‎ ‎22.4‎ ‎24‎ ‎25.5‎ ‎（1）求关于的回归方程；（提示：与有线性相关关系）‎ ‎（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品，现从抽取的6件合格产品再任选3件，求恰好取得两件优等品的概率.‎ 参考数据及公式：‎ ‎，，，‎ 对于样本（），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎，‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）对两边取自然对数得，令，，结合线性回归方程的计算公式可得回归方程为.‎ ‎（2）由题意可得优等品有3件.由题意可知从6件合格品中选出3件的方法数共20种；其中恰 好有2件为优等品的取法共9种；则恰好取得两件优等品的概率为.‎ 详解：（1）对两边取自然对数得，‎ 令，，得：， ，，‎ 解得：，所以，回归方程为.‎ ‎（2）令，解得：，∴，即优等品有3件.‎ 设“恰好取得两件优等品”记为事件，记优等品为，其余产品为1，2，3，‎ 则从6件合格品中选出3件的方法数为：, ，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种；‎ 其中恰 好有2件为优等品的取法有：，，，，，，，，，共9种；‎ 所以，恰好取得两件优等品的概率为.‎ 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．‎ ‎21．已知函数，，‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）若正数满足，‎ 证明：对任意正数，都有；‎ ‎（3）对任意正数，满足，类比（2）写出一个正确的结论（不需证明）. ‎ ‎【答案】（1）0（2）见解析(3)见解析 ‎【解析】分析：（1）利用导函数的解析式可得在区间单调递增，则的最小值为；‎ ‎（2）由题可得：，由（1）可知：当时，恒成立，则（）对任意恒成立.据此结合题意可得.‎ ‎（3）可给出类似的结论：当时，都有： .‎ 详解：（1），‎ ‎∵，，‎ ‎∴，∴在区间单调递增，‎ ‎∴的最小值为；‎ ‎（2）由题可得：‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 由（1）可知：当时，恒成立，‎ 也即：（）对任意恒成立.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴.‎ ‎（3）当时，都有：‎ ‎ .‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)‎ 考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】分析：（1）消去得直线方程为，极坐标化为直角坐标可得曲线的直角坐标方程为：；‎ ‎（2）设曲线上的点为，由点到直线距离公式可得，则曲线上的点到直线的距离的最大值为.‎ 详解：（1）由，消去得：，‎ 曲线的直角坐标方程为：；‎ ‎（2）设曲线上的点为，‎ 则点到直线的距离为，‎ 当时， ，‎ 即曲线上的点到直线的距离的最大值为.‎ 点睛：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程转化为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎23．设函数.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求使得不等式成立的正实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由题意结合绝对值三角不等式即可证得题中的结论；‎ ‎（2）由题意可得，分类讨论可得实数的取值范围是.‎ 详解：（1），‎ 当且仅当时取等号，所以.‎ ‎（2）由得：，‎ 当时，由，解得：或，‎ 当时，由，解得：，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查绝对值三角不等式的性质，分类讨论解绝对值不等式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎