专题12 空间平行与垂直-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点

专题12 空间平行与垂直-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点

‎1．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ 答案　②③④‎ 解析　当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.‎ ‎2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.‎ 答案　a或2a 整理得x2－3ax＋2a2＝0，‎ 解得x＝a或x＝2a.‎ ‎3．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：‎ ‎①AB与DE所成角的正切值是；‎ ‎②AB∥CE；‎ ‎③VB—ACE是a3；‎ ‎④平面ABC⊥平面ADC.‎ 其中正确的是________．(填写你认为正确的序号)‎ 答案　①③④‎ 解析　作出折叠后的几何体的直观图如图所示：‎ ‎∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，‎ AD⊂平面ABD，‎ ‎∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，‎ ‎4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．‎ ‎(1)求证：BC⊥平面ACEF；‎ ‎(2)当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．‎ ‎(1)证明　∵在等腰梯形ABCD中，‎ AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，‎ ‎∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120°，‎ ‎∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.‎ 又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴BC⊥平面ACEF.‎ ‎(2)解　当FM＝a时，AM∥平面BDE.‎ 证明如下：‎ 设AC∩BD＝N，连接EN，如图．‎ ‎∴当FM＝a时，AM∥平面BDE.‎ ‎5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 证明　(1)由已知，DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，‎ ‎∴DE∥A1C1，‎ 且DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ ‎∴DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，‎ ‎∴AA1⊥A1C1，‎ 又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，‎ ‎∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴A1C1⊥B1D，‎ 又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎6．如图1，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示．‎ ‎(1)求证：A1E⊥FP；‎ ‎(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎ (1)证明　在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图1.‎ 图1‎ 因为EF∩EB＝E，‎ 所以A1E⊥平面BEFC.‎ 因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.‎ ‎(2)解　在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．‎ 理由如下：‎ 如图1，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，‎ 所以FP∥BE.‎ 如图2，取A1P的中点M，连接MK，‎ 图2‎ 易错起源1、空间线面位置关系的判定 例1、(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 ‎(2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是(　　)‎ A．若a∥b，b⊂α，则a∥α B．若a∥α，b⊂α，则a∥b C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．‎ ‎(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D.‎ ‎【变式探究】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；‎ ‎③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.‎ 其中真命题的个数为(　　)‎ A．1B．2C．3D．4‎ 答案　B ‎【名师点睛】‎ 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 空间线面位置关系判断的常用方法 ‎(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；‎ ‎(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．‎ 易错起源2、空间平行、垂直关系的证明 例2、如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.‎ ‎(1)证明：BC∥平面PDA；‎ ‎(2)证明：BC⊥PD；‎ ‎(3)求点C到平面PDA的距离．‎ ‎(1)证明　因为四边形ABCD是长方形，‎ 所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，‎ 所以BC∥平面PDA.‎ ‎(2)证明　因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，‎ 所以BC⊥平面PDC，‎ 因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.‎ ‎(3)解　如图，取CD的中点E，连接AE和PE.‎ 所以AD⊥平面PDC，‎ 因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.‎ 设点C到平面PDA的距离为h，‎ 因为V三棱锥C—PDA＝V三棱锥P—ACD，‎ 所以S△PDA·h＝S△ACD·PE，‎ 即h＝＝＝，‎ 所以点C到平面PDA的距离是.‎ ‎【变式探究】如图，在四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE＝2ED.‎ ‎(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；‎ ‎(2)求证：PB∥平面AEC.‎ 因为AD∥BC，所以△ADO∽△CBO，‎ 所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED，‎ 所以OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ 所以PB∥平面AEC.‎ ‎【名师点睛】‎ 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：‎ ‎(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．‎ ‎(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．‎ 易错起源3、平面图形的折叠问题 例3、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝.‎ ‎(1)求证：BD⊥PA；‎ ‎(2)求四棱锥P—BFED的体积．‎ ‎(1)证明　∵点E，F分别是边CD，CE的中点，‎ ‎(2)解　设AO∩BD＝H.连接BO，∵∠DAB＝60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，‎ ‎∴BD＝4，BH＝2，HA＝2，HO＝PO＝，‎ 在Rt△BHO中，BO＝＝，‎ 在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO.‎ ‎∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，‎ ‎∴PO⊥平面BFED，‎ 梯形BFED的面积S＝(EF＋BD)·HO＝3，‎ ‎∴四棱锥P—BFED的体积 V＝S·PO＝×3×＝3.‎ ‎【变式探究】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B—AD—C，如图2.‎ ‎(1)证明：平面ABD⊥平面BCD；‎ ‎(2)设点E为BC的中点，BD＝2，求异面直线AE和BD所成的角的大小．‎ 所以∠AEF为异面直线AE与BD所成的角．‎ 连接AF，DE，由BD＝2，则EF＝1，AD＝2，CD＝6，DF＝3.‎ 在Rt△ADF中，AF＝＝.‎ 在△BCD中，由题设∠BDC＝60°，‎ 则BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝28，‎ 即BC＝2，从而BE＝BC＝，‎ cos∠CBD＝＝－，‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；‎ ‎(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．‎ ‎1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则(　　)‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 答案　A 解析　由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p⇒q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q⇏p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A.‎ ‎2．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，l⊥a，l⊥b，a∥b，则l可以与 ‎3．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是(　　)‎ A．若m⊂α，n∥α，则n∥m B．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β C．若n⊥α，n⊥β，则α∥β D．若m⊂α，n⊥α，则m⊥n 答案　A 解析　A中，若m⊂α，n∥α，则n∥m或m，n异面．故不正确；B，C，D均正确．故选A.‎ ‎4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．垂直 C．相交成60°角 D．异面且成60°角 答案　D 解析　如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.‎ ‎5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 答案　D ‎6．如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．‎ 答案　平行 解析　由＝，得MN∥BD.‎ 而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，‎ 所以MN∥平面BDC.‎ ‎7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)‎ ‎①AC⊥BE；‎ ‎②B1E∥平面ABCD；‎ ‎③三棱锥E－ABC的体积为定值；‎ ‎④直线B1E⊥直线BC1.‎ 答案　①②③‎ 解析　因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，则VE－ABC＝V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．‎ ‎8．下列四个正方体图形中，点A，B为正方体的两个顶点，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．‎ 答案　①③‎ 解析　对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面 ‎9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．‎ 求证：(1)AP∥平面C1MN；‎ ‎(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.‎ 证明　(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，‎ 因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，‎ 所以AM＝PC1.‎ 又点M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC.‎ 所以MN⊥BD.‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，‎ 又MN⊂平面ABCD，‎ 所以DD1⊥MN，‎ 而DD1∩DB＝D，‎ DD1，DB⊂平面B1BDD1，‎ 所以MN⊥平面B1BDD1，‎ 又MN⊂平面C1MN，‎ 所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.‎ ‎10．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．‎ ‎(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；‎ ‎ (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；‎ ‎(3)证明：直线DF⊥平面BEG.‎ ‎(1)解　点F，G，H的位置如图所示．‎ ‎(2)解　平面BEG∥平面ACH，‎ 所以BE∥平面ACH.‎ 同理BG∥平面ACH，‎ 又BE∩BG＝B，‎ 所以平面BEG∥平面ACH.‎ ‎(3)证明　连接FH，BD.‎ 因为ABCD—EFGH为正方体，‎