专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

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专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

【高考地位】 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较 强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、 转化与化归思想的应用.定值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题 效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作 用. 【方法点评】 方法一 定点问题 求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是:把直线或曲线方程中的变量 x,y 当作 常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时 参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于 x,y 的方程组,这个方程组的解所确定 的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明. 【例 1】已知椭圆 的左右焦点分别为 ,椭圆 过点 ,直线 交 轴于 ,且 为坐标原点. (1)求椭圆 的方程; (2)设 是椭圆 上的顶点,过点 分别作出直线 交椭圆于 两点,设这两 条直线的斜率 分别为 ,且 ,证明:直线 过定点. 【答案】(1) ;(2)证明见解析. 考点:直线与圆锥曲线位置关系. 【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想,将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲 线的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直 线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的 方法. 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关 系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆 锥曲线的定义求解. 【变式演练 1】【2018 贵州省遵义市模拟】已知点 P 是圆 F1:(x﹣1)2+y2=8 上任意一点, 点 F2与点 F1关于原点对称,线段 PF2的垂直平分线分别与 PF1,PF2交于 M,N 两点. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 G(0, )的动直线 l 与点的轨迹 C 交于 A,B两点,在 y轴上是否存在定点 Q, 使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由圆 F1:(x﹣1)2+y2=8,得 F1(1,0),则 F2(﹣1,0), 由题意得 , ∴点M的轨迹 C为以 F1,F2为焦点的椭圆, ∵ ∴点M的轨迹 C的方程为 ; 方法二 定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的 斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而 始终是一个确定的值,求定值问题常见的解题模板有两种: ①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 【例 2】已知抛物线 ,直线 与 交于 , 两点,且 ,其中 为坐标原点. (1)求抛物线 的方程; (2)已知点 的坐标为(-3,0),记直线 、 的斜率分别为 , ,证明: 为定值. 【答案】(1) ;(2)详见解析 考点:1.抛物线方程;2.直线与抛物线的位置关系. 【变式演练 2】【2018 河南郑州市第一中学模拟】设 , 是椭圆 上的两点,椭圆的离心率为 ,短轴长为 2,已知向量 , ,且 , 为坐标原点. (1)若直线 过椭圆的焦点 ,( 为半焦距),求直线 的斜率 的值; (2)试问: 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 【解析】(1)由题可得: , ,所以,椭圆的方程为 设 的方程为: ,代入 得: ∴ , , ∵ ,∴ ,即: 即 ,解得: 点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题,解题时要注意解题 技巧的运用,如常用的设而不求,整体代换的方法;探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两 种:①从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个这个值与变量无关;②直 接推理、计算,借助韦达定理,结合向量所提供的坐标关系,然后经过计算推理过程中消去 变量,从而得到定值. 【高考再现】 1. 【2017 课标 1,理 20】已知椭圆 C: (a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1), P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 –1,证明:l 过定点. 【考点】椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系. 【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方 法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之 间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中为告知,则一 定要讨论直线斜率不存在和存在情况,接着通法是联立方程组,求判别式、韦达定理,根据 题设关系进行化简. 2.【2017 课标 3,文 20】在直角坐标系 xOy中,曲线 与 x轴交 于 A,B两点,点 C的坐标为 .当 m变化时,解答下列问题: (1)能否出现 AC⊥BC的情况?说明理由; (2)证明过 A,B,C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值. 【答案】(1)不会;(2)详见解析 【解析】试题分析:(1)设 ,由 AC⊥BC 得 ;由韦达定理得 ,矛盾,所以不存在(2)可设圆方程为 ,因为过 , 所以 ,令 得 ,即弦长为 3. 试题解析:(1)设 ,则 是方程 的根, 所以 , 则 , 所以不会能否出现 AC⊥BC 的情况。 【考点】圆一般方程,圆弦长 【名师点睛】:直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.代 数方法:运用根与系数的关系及弦长公式: (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心 到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题. 3.【2017 北京,文 19】已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(−2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离 心率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的 垂线交 BN 于点 E.求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为 4:5. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)详见解析. (Ⅱ)设 ,则 . 由题设知 ,且 . 直线 的斜率 ,故直线 的斜率 . 所以直线 的方程为 . 直线 的方程为 . 联立 解得点 的纵坐标 . 由点 在椭圆 上,得 . 所以 . 又 , , 所以 与 的面积之比为 . 【考点】1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系. 4.【2016 高考北京文数】(本小题 14 分) 已知椭圆 C: 过点 A(2,0),B(0,1)两点. (I)求椭圆 C 的方程及离心率; (Ⅱ)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交 于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)见解析. 【解析】 考点:椭圆方程,直线和椭圆的关系,运算求解能力. 【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种:(1)从特殊入手,求出定点、定值、定线,再 证明定点、定值、定线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变 量,从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方 法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 5. 【2016 高考山东文数】(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: (a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 . (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k',证明 为定值. (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)见解析;(ii)直线 AB 的斜率的最小值为 . 【解析】 此时 ,所以 为定值 . 所以直线 AB 的斜率的最小值为 . 考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.基本不等式. 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高,是一道难题.解答此类题目,利用 的关 系,确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程 组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到参数的解析式或方程是关键,易错点是复杂式 子的变形能力不足,导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、 分析问题解决问题的能力等. 6. 【2016 高考四川文科】(本小题满分 13 分) 已知椭圆 E: 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点, 点 在椭圆 E上. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M, 直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明: . 【答案】(1) ;(2)证明详见解析. 【解析】 所以 . 又 . 所以 . 考点:椭圆的标准方程及其几何性质. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查学生的分析问题解决问题的能力 和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时,一般都设交点坐标为 ,同时把直线方程与椭圆方程联立,消元后,可得 ,再把 用 表示出来,并代入刚才的 ,这种方法是解析几何中的“设而 不求”法.可减少计算量,简化解题过程. 7. 【2016 年高考北京理数】(本小题 14 分) 已知椭圆 C: ( )的离心率为 , , , , 的面积为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 的椭圆 上一点,直线 与 轴交于点 M,直线 PB 与 轴交于点 N. 求证: 为定值. 【答案】(1) ;(2)详见解析. 考点:1.椭圆方程及其性质;2.直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种:(1)从特殊入手,求出定点、定值、定线,再 证明定点、定值、定线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变 量,从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方 法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 8. 【2016 年高考四川理数】(本小题满分 13 分) 已知椭圆 E: 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶 点,直线 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. (Ⅰ)求椭圆 E的方程及点 T 的坐标; (Ⅱ)设 O 是坐标原点,直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且与直线 l 交 于点 P.证明:存在常数 ,使得 ,并求 的值. 【答案】(Ⅰ) ,点 T 坐标为(2,1);(Ⅱ) . (II)由已知可设直线 的方程为 , 有方程组 可得 所以 P 点坐标为( ), . 考点:椭圆的标准方程及其几何性质. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查学生的分析问题解决问题的能力 和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时,一般都设交点坐标为 ,同时把直线方程与椭圆方程联立,消元后,可得 ,再把 用 表示出来,并代入刚才的 ,这种方法是解析几何中的“设而 不求”法.可减少计算量,简化解题过程. 9.【2017 北京,文 19】已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(−2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离 心率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的 垂线交 BN 于点 E.求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为 4:5. 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)详见解析. (Ⅱ)设 ,则 . 由题设知 ,且 . 直线 的斜率 ,故直线 的斜率 . 所以直线 的方程为 . 直线 的方程为 . 联立 解得点 的纵坐标 . 【反馈练习】 1. 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知椭圆 : ( )的离心率为 ,过右焦点且垂直于 轴的直线 与椭圆 交于 , 两点,且 ,直线 : 与椭圆 交于 , 两点. (1)求椭圆 的标准方程; (2)已知点 ,若 是一个与 无关的常数,求实数 的值. 【答案】(1) ;(2)1 【解析】试题分析:(1)由题意, ,又 ,求得椭圆方程;(2)联立 方 程 组 , 得 到 韦 达 定 理 , , 所 以 所 以 ,解得 . ( 2 ) 设 , , 联 立 方 程 消 元 得 , , ∴ , , 又 是一个与 无关的常数,∴ ,即 , ∴ , .∵ ,∴ . 当 时, ,直线 与椭圆 交于两点,满足题意. 2. 【2018 北京大兴联考】已知椭圆 的短轴端点到右焦点 的距离为 2. (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)过点 的直线交椭圆 于 两点,交直线 于点 ,若 , ,求证: 为定值. 【答案】(1) ;(2)详见解析. 方法一:因为 ,所以 . 同理 ,且 与 异号, 所以 . 所以, 为定值 . 方法三:由题意直线 过点 ,设方程为 , 将 代人得 点坐标为 , 由 消元得 , 设 , ,则 且 , 因为 ,所以 . 同理 ,且 与 异号, 所以 . 又当直线 与 轴重合时, , 所以, 为定值 . 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,其主要思路是联立直线和椭圆的方程,整理成关 于 或 的一元二次方程,利用根与系数的关系进行求解,因为直线 过点 ,在 设方程时,往往设为 ,可减少讨论该直线是否存在斜率. 3. 【 2018 云 南 昆 明 一 中 一 模 】 已 知 动 点 满 足 : . (1)求动点 的轨迹 的方程; (2)设过点 的直线 与曲线 交于 两点,点 关于 轴的对称点为 (点 与点 不重合),证明:直线 恒过定点,并求该定点的坐标. 【答案】(1) ;(2)直线过定点 ,证明见解析. 4.【2018 广西柳州摸底联考】已知过抛物线 的焦点 ,斜率为 的 直线交抛物线于 两点,且 . (1)求该抛物线 的方程; (2)已知抛物线上一点 ,过点 作抛物线的两条弦 和 ,且 , 判断直线 是否过定点?并说明理由. 【答案】(1) ;(2)定点 【解析】试题分析:(1)利用点斜式设直线直线 的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达 定理与弦长公式求 ,再根据 解得 .(2)先设直线 方程 , 与 抛物线联立方程组,结合韦达定理化简 ,得 或 ,代入 方程可得直线 过定点 (2)由(1)可得点 ,可得直线 的斜率不为 0, 设直线 的方程为: , 联立 ,得 , 则 ①. 设 ,则 . ∵ 即 ,得: , ∴ ,即 或 , 代人①式检验均满足 , ∴直线 的方程为: 或 . ∴直线过定点 (定点 不满足题意,故舍去). 点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多 少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值 问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推 理,到最后必定参数统消,定点、定值显现. 5. 【2018 河南洛阳联考】如图,点 是抛物线 : ( )的焦点,点 是 抛物线上的定点,且 ,点 , 是抛物线上的动点,直线 , 斜率分 别为 , . (1)求抛物线 的方程; (2)若 ,点 是抛物线在点 , 处切线的交点,记 的面积为 ,证 明 为定值. 【答案】(1) (2) 试题解析: (1)设 ,由题知 ,所以 , 所以 代入 ( )中得 ,即 , 所以抛物线的方程是 . 点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多 少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值 问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推 理,到最后必定参数统消,定点、定值显现. 6.【2018 湖北八校联考】已知抛物线 在第一象限内的点 到 焦点 的距离为 . (1)若 ,过点 , 的直线 与抛物线相交于另一点 ,求 的 值; (2)若直线 与抛物线 相交于 两点,与圆 相交于 两点, 为坐标原点, ,试问:是否存在实数 ,使得 的长为定值?若存在,求 出 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) ;(2) 时, , 的长为定值. (2)设直线 的方程为 ,代入抛物线方程可得 , 设 ,则 , ,① 由 得: , 整理得 ,② 将①代入②解得 ,∴直线 , ∵圆心到直线 l 的距离 ,∴ , 显然当 时, , 的长为定值. 点睛:本题主要考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,直线与圆的位置关系,难 度中档;抛物线上点的特征,抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等,即为 ,两直线垂直即可转化为斜率也可转化为数量积为 0,直线与圆相交截得的弦长的 一半,圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形. 7.【2018 黑龙江齐齐哈尔八中二模】以边长为 的正三角形 的顶点 为坐标原点, 另外两个顶点在抛物线 上,过抛物线 的焦点 的直线 过交拋物线 于 两点. (1)求抛物线 的方程; (2)求证: 为定值; (3)求线段 的中点的轨迹方程. 【答案】(1) ;(2)证明见解析;(3) 试题解析: (1)因为正三角形和抛物线都是轴对称图形,且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合, 所以,三角形的顶点 关于 轴对称,如图所示. 由 可得 , ∵ ,∴ . ∴抛物线 的方程为 . 8. 【2018 湖南株洲两校联考】已知椭圆 E: 经过点 P(2,1),且离心 率为 . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,在椭圆短轴上有两点 M,N 满足 ,直线 PM、PN 分别交 椭圆于 A,B.探求直线 AB 是否过定点,如果经过定点请求出定点的坐标,如果不经过定 点,请说明理由. 【答案】(1) ;(2)直线 AB 过定点 Q(0,﹣2). 【解析】试题分析:(1)根据椭圆的几何性质得到椭圆方程;(2)先由特殊情况得到结果, 再考虑一般情况,联立直线和椭圆得到二次函数,根据韦达定理,和向量坐标化的方法,得 到结果。 (Ⅱ)当 M,N 分别是短轴的端点时,显然直线 AB 为 y轴,所以若直线过定点,这个定点一 点在 y轴上, 当 M,N 不是短轴的端点时,设直线 AB 的方程为 y=kx+t,设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 由 消去 y得(1+4k2 )x2 +8ktx+4t2 ﹣8=0,·则△=16(8k2 ﹣t2 +2)>0, x1+x2= ,x1x2= , 又直线 PA 的方程为 y﹣1= (x﹣2),即 y﹣1= (x﹣2), 因此 M点坐标为(0, ),同理可知:N(0, ), 由 ,则 + =0, 化简整理得:(2﹣4k)x1x2﹣(2﹣4k+2t)(x1+x2)+8t=0, 则(2﹣4k)× ﹣(2﹣4k+2t)( )+8t=0, 当且仅当 t=﹣2时,对任意的 k 都成立,直线 AB 过定点 Q(0,﹣2). 9. 【2018 广西南宁联考】已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 . (l)求抛物线 的方程; (2)抛物线上一点 的纵坐标为 1,过点 的直线与抛物线 交于 两个不同的点(均 与点 不重合),设直线 的斜率分别为 ,求证: 为定值. 【答案】(1) ;(2)证明见解析. 【解析】试题分析:(1)由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程,两个未知数,可求得 抛物线方程。(2)由(1)知抛物线的方程 ,及 , ,设过点 的直 线 的 方 程 为 , 10. 【2018 重庆市第一中学模拟】已知椭圆 的短轴端点和焦点组成 的四边形为正方形,且椭圆过点 . (1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 的顶点都在椭圆上,且对角线 、 过原点 ,若 , 求证:四边形 的面积为定值. 【解析】(1)由题意 , ,又 ,解得 , , 所以椭圆的标准方程为 . (2)设直线 的方程为 ,设 , , 联立 得 , , , , ∵ , ∴ , ∴ , , ∴ ,∴ ,∴ , 设原点到直线 的距离为 ,则 , ∴ ,即四边形 的面积为定值. 11.【2018 黑龙江齐齐哈尔市第八中学模拟】已知抛物线 的焦点为 , 倾斜角为 的直线 过点 与拋物线 交于 两点, 为坐标原点, 的面积 为 . (1)求 ; (2)设点 为直线 与拋物线 在第一象限的交点,过点 作 的斜率分别为 的两条弦 ,如果 ,证明直线 过定点,并求出定点坐标. 而 直 线 的 方 程 为 , 因 为 也 抛 物 线 上 , 所 以 代入上述方程并整理得 , , . 令 ,则 ,代入 的方程得 , 整理得 , 若上式对任意变化的 恒成立,则 ,解得 故直线 经过定点 . 12. 在平面直角坐标系 中,已知圆 ,椭圆 , 为椭圆 的右顶点,过原点且异于 轴的直线与椭圆 交于 两点, 在 轴的上方,直线 与圆 的另一交点为 ,直线 与圆 的另一交点为 , (1)若 ,求直线 的斜率; (2)设 与 的面积分别为 ,求 的最大值.
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