高考数学【理科】真题分类详细解析版专题3 函数（解析版）
专题03 函数
【2013年高考试题】
（2013·新课标I理）16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.
【答案】16；
【解析】依题意，为偶函数，
大值为16.
【学科网考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.
（2013·新课标Ⅱ理）（8）设=log36,b=log510,c=log714,则
（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a
（C）a＞c＞b (D)a＞b＞c
【答案】D
【解析】由题意知：
=log36,b=log510,c=log714
,因为，所以a＞b＞c，故选D.
【学科网考点定位】本小题主要考查对数的运算、对数换底公式、对数函数的性质等基础知识，属中低档题，熟练对数部分的基础知识是解答好本类题目的关键.
（2013·浙江理）3.已知为正实数，则（ ）
【答案】D
（2013·天津理）7. 函数的零点个数为（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【答案】B
【解析】由题意知，函数的零点个数为方程的根的个数，即函数
的图象与函数的图象的交点个数，画出图象，不难看出，零点个数有2个，故选B.
【学科网考点定位】本小题主要考查函数的零点个数的判断，考查函数与方程、数形结合等数学思想，考查分析问题以及解决问题的能力.
（2013·上海理）14．对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则
【答案】2
【解析】根据反函数定义，当时，；时，，而的定义域为，故当时，的取值应在集合，故若，只有．
【学科网考点定位】考查函数的图象与性质以及函数与方程，零点的相关知识，属综合性难题。
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（2013·上海理）12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________
【答案】
【解析】，故；当时，
即，又，故．
（2013·陕西理）1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为 （ ）
(A) [－1,1] (B) (－1,1)
(C) (D)
【答案】D
【解析】,选D。要注意避免出现及求补集时区间端点的取舍错误。
【学科网考点定位】本题考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合运算等知识。属于容易题。
（2013·山东理）8.函数的图象大致为
【答案】D
【解析】函数在时为负，排除A,由奇函数的性质可排除B，再比较C,D，不难发现在取接近于的正值时排除C。
【学科网考点定位】本题通过函数的奇偶性、函数的单调性、函数的值域等考查了函数图象的识别，难度较大，可通过求导方法来进一步研究该函数的图象和性质.
（2013·山东理）3.已知函数为奇函数,且当时, ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【学科网考点定位】本题考查函数的奇偶性的应用，根据直接运算
而若求在上的解析式再求便多余了.
（2013·辽宁理）（11）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
（2013·江西理）2.函数的定义域为 （ ）
A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
【答案】B
【解析】选B.
【学科网考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域及其求法.
（2013·湖南理）5.函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B；
【解析】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像，可知有两个交点.
【学科网考点定位】本题考查基本初等函数的图像，考查学生数形结合的能力.
（2013·福建理）10. 设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：；对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
（2013·大纲理）9. 若函数在是增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件知在上恒成立，即在上恒成立.
∵函数在上为减函数，∴.∴.故选D.
【学科网考点定位】函数的单调性
（2013·大纲理）4. 已知函数f(x)的定义域为，则函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 ，因此.故选A.
【学科网考点定位】反函数
（2013·北京理）5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】把变换过程逆过去即可.与函数y=ex的图象关于y轴对称的函数的解析式为，该函数图象向左平移一个单位长度，得f(x)的图象，即f(x) =.
【学科网考点定位】本小题考查了指数函数和函数图象的变换.
（2013·安徽理）（10）若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是
（A）3 （B）4
（C） 5 （D）6
【答案】A
【解析】，是方程的两根，
由，则又两个使得等式成立，，
当，其函数图象如下：
如图则有3个交点，
当，其函数图象如下：
以上两种情况都有三个交点，故选A.
【学科网考点定位】考查函数零点的概念，分类讨论的思想，以及对嵌套型函数的理解
（2013·安徽理）(8) 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为
(A) (B)
(C) (D)
的斜率，而在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.
【学科网考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.
（2013·大纲理）22.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若时，，求的最小值；
（Ⅱ）设数列的通项，证明：.
【答案】
（Ⅰ）由已知，，.
若，则当时，，所以.
若，则当时，，所以当时，.
综上，的最小值是.
（Ⅱ）证明：令.由（Ⅰ）知，当时，，
【解析】（1）通过求导的方法研究函数的单调性，进而判断满足条件的的范围，确定其最小值；（2）借助第一问的结论，得到不等式进而构造达到证明不等式的目的.
【学科网考点定位】本题考查导数的应用与不等式的证明，考查学生的分类讨论思想和
记几种常见变换。属于中等偏上难度。
（2013·福建理）17.（本小题满分13分）
已知函数
（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；
（2） 求函数的极值
【答案】 函数的定义域为，．
（Ⅰ）当时，，，，
在点处的切线方程为，即．
（Ⅱ）由可知：
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
必需牢记，对于参数的讨论找到一个合理的分类标准做到不重不漏即可，可这往往又是学生最容易出现问题的地方。
【学科网考点定位】 本题主要考查函数与导数、不等式的基础。注意对参数的分类讨论，属于函数中的简单题。
（2013·广东理）21．（本小题满分14分）
设函数(其中).
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.
【答案】 (Ⅰ) 当时,
,
令,得,
当变化时,的变化如下表:
极大值
极小值
右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.
(Ⅱ),
令,得,,
令,则,所以在上递增,
所以,从而,所以
当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,,
所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.
综上,函数在上的最大值.
【解析】(1)根据k的取值化简函数的表达式，明确函数的定义域，
然后利用求导研究函数的单调区间，中规中矩；（2）借助构造函数的技巧进行求解，如构造达到证明的目的，构造达到证明的目的.
【学科网考点定位】本题考查函数的单调性和函数的最值问题，考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.
（2013·湖南理）16．设函数
（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为____。
（2）若 .（写出所有正确结论的序号）
，做出图像可知，当且仅当时取到；
（2）对于①，在上为减函数，所以，对于②，不妨令，此时，其不等构成三角形的三条边；对于③，，因为钝角三角形，所以，所以，故③正确
【学科网考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力.
（2013·福建理）17.（本小题满分13分）
已知函数
（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；
（2） 求函数的极值
【答案】 函数的定义域为，．
当时，函数在处取得极小值，无极大值．
【解析】此题考查的是最基本的函数切线问题及对极值含参情况的讨论，所以导数公式必需牢记，对于参数的讨论找到一个合理的分类标准做到不重不漏即可，可这往往又是学生最容易出现问题的地方。
【学科网考点定位】 本题主要考查函数与导数、不等式的基础。注意对参数的分类讨论，属于函数中的简单题。
（2013·湖南理）22．（本小题满分13分）
已知，函数。
（I）；记求的表达式；
（II）是否存在，使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）当时，；当时，.
因此，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；
①若，则在上单调递减，；
②若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，从而；当时，；当时，，综上所诉，；
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求；当
当且仅当，即时，，综上所诉a的取值范围是
【解析】（1）分类讨论脱掉绝对值以后，利用导数法确定的解析式；（2）利用导数的几何意义以及不等式的性质将问题转化为集合与集合的交集非空即可.
【学科网考点定位】本题考查分段函数、导数与函数的单调性、导数的结合意义、函数与方程思想，考查学生的转化与化归能力以及逻辑推理能力.
（2013·山东理）21. (本小题满分13分)
已知函数（是自然对数的底数，）.
（Ⅰ）求的单调区间、最大值；
（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数。
【答案】解法一 （Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为，
（Ⅱ）当即时，函数的图象有两个交点，即方程有两个根.
当即时，函数的图象有一个交点，即方程有一个根.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
（Ⅱ）
通过图象可对进行讨论：
当即时，函数的图象有两个交点，即方程有两个根.
当即时，函数的图象有一个交点，即方程有一个根.
显然当时，方程没有根.
所以，
因为， 所以
因此在上单调递增.
（2）当时，当时，，则，
所以，
因为，，又
所以 所以
因此在上单调递减.
综合（1）（2）可知 当时，，
当，即时，没有零点，
故关于的方程根的个数为0；
当，即时，只有一个零点，
所以当时，有两个零点，故关于的方程根的个数为2；
综上所述：
当时，关于的方程根的个数为0；
当时，关于的方程根的个数为1；
当时，关于的方程根的个数为2.
【学科网考点定位】本题考查了函数的单调性、函数的最值等主干知识，考查了数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想的综合应用.第一问的研究为第二问进行数形结合铺平了“道路”，使的相对位置关系更明晰.
（2013·陕西理）21. (本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.
(Ⅲ) 设a
0, 存在唯一的s, 使.
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.
【解析】(Ⅰ) 函数f(x)的定义域为，
，令，得，
当变化时，、的变化情况如下表：
-
0
+
极小值
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
(Ⅱ)证明:当时，，令，由(Ⅰ)知在以即，从而成立；
另一方面，令，令，得.
当时，；当时，，故对，，因此成立.
综上，当时，有.
【解题思路与技巧】本题第（Ⅰ）问，求的单调区间，先求出定义域，然后解导数方程的根，判断根两侧的导数的正负即可；第(Ⅱ)问，证明时，可构造函数；第(Ⅲ))问，讨论.
【易错点】对第（Ⅰ）问，求单调区间时，注意定义域优先的原则；第(Ⅱ)、(Ⅲ))问，求出；第（Ⅱ）求函数区间上的最值，但是函数中含有参数，要对参数进行讨论，而且是求区间上的最值，所有应该对函数在上的最值取绝对值后进行讨论，即讨论和在区间中的函数的极值；所以应对和零的关系进讨论，根据判别式在讨论和1的关系，在此过程中由于出现，所以又要讨论和的关系，然后得到是大于零还是小于零不确定，所以又要讨论和的关系，这也是这个题目的难点所在，此题注意讨论不漏不重；
（Ⅰ）由已知得：，且，所以所求切线方程为：，即为：；
（Ⅱ）由已知得到：，其中，当时，，
（1）当时，，所以在上递减，所以即
2
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以，且
所以，
所以；
由，所以
（ⅰ）当时，，所以时，递增，时，递减，所以，因为
，又因为，所以，所以，所以
（ⅱ）当时，，所以，因为，此时，当时，是大于零还是小于零不确定，所以当时，，所以，所以此时当时，，所以，所以此时。
综上所述：；
【学科网考点定位】此题考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性与最值、导数
【2012年高考试题】
1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数有极大值和极小值
（B）函数有极大值和极小值
（C）函数有极大值和极小值
（D）函数有极大值和极小值
【答案】
2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
【答案】B
【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称函数上的点到直线的距离为
设函数
由图象关于对称得：最小值为,
3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）
A. 为的极大值点 B.为的极小值点
C. 为的极大值点 D. 为的极小值点[学
【答案】D.
【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D.
4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】设，则
所以所以当时，
同理即，故选C
5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为.
，解得，所以或，选A.
7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。
【答案】
【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为，
曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为，令得，所以C1：y=x2+a上的点为，点到到直线l:y=x的距离应为，所以，解得或（舍去）。
8.【2012高考真题江西理11】计算定积分___________。
【答案】
【解析】。
9.【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.
【答案】
为 。
【答案】
【解析】当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。
12.【2012高考真题陕西理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .
【答案】2．
【解析】函数在点处的切线为，即.所以D表示
的平面区域如图当目标函数直线经过点M时有最大值，最大值为.
13.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．
(Ⅰ)(ⅰ)．
当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，
此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；
当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，
此时的最大值为：
＝|2a－b|﹢a；
≤|2a－b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，
且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴．
则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．
作图如下：
由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．
∴所求a＋b的取值范围为：．
14.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）
已知函数=，其中a≠0.
（1） 若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.
（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，
故.
而令
当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值
于是对一切恒成立，当且仅当
. ①
令则
当时，单调递增；当时，单调递减.
故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.
综上所述，的取值集合为.
（Ⅱ）由题意知，
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当，即
从而，又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在
15．【2012高考真题湖南理8】已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为
A． B. C. D.
【答案】B
16.【2012高考真题湖北理9】函数在区间上的零点个数为
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】C
【解析】，则或，，又，
所以共有6个解.选C.
17.【2012高考真题广东理4】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是
A.y=ln（x+2） B.y=- C.y=（）x D.y=x+
【答案】A
18.【2012高考真题福建理7】设函数则下列结论错误的是
A.D（x）的值域为{0,1}
B. D（x）是偶函数
C. D（x）不是周期函数D.
D（x）不是单调函数
【答案】Ｃ．
质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1,3]上的图像时连续不断的；
②f（x2）在[1,]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有
其中真命题的序号是
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
【答案】D．
【解析】若函数在时是孤立的点，如图，则①可以排除；函数具有性质p，而函数不具有性质p，所以②可以排除；设，则,
即，又，所以，因此③正确；
所以④正确.故选D.
20.【2012高考真题福建理15】对于实数a和b，定义运算“﹡”：，
设，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________.
【答案】．
【解析】由新定义得，所以可以画出草图，若方程有三个根，则，且当时方程可化为，易知；当时方程可化为，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即.
21.【2012高考真题上海理7】已知函数（为常数）。若在区间上是增函数，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】令，则在区间上单调递增，而为增函数，所以要是函数在单调递增，则有，所以的取值范围是。
22.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数，且，若，则 。
【答案】
【解析】因为为奇函数，所以，所以，，
所以。
23.【2012高考江苏5】（5分）函数的定义域为 ▲ ．
【答案】。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
。
24.【2012高考真题北京理14】已知，，若同时满足条件：
①，或；
②, 。
则m的取值范围是_______。
【答案】
时，，解得，交集为空，舍。当时，两个根同为，舍。当时，，解得，综上所述．
25【2012高考真题天津理14】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
【答案】或
【解析】函数，当时，，当时，，综上函数，做出函数的图象(蓝线)，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在四边形区域ABCD内(和直线
平行的直线除外，如图，则此时当直线经过，，综上实数的取值范围是且，即或。
26.【2012高考江苏10】（5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，
则的值为 ．
【答案】。
【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。
又∵，，
∴②。
联立①②，解得，。∴。
27.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案】解：（1）在中，令，得。
由实际意义和题设条件知。
∴，当且仅当时取等号。
∴炮的最大射程是10千米。
（2）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，
即关于的方程有正根。
由得。
此时，（不考虑另一根）。
∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。
【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。
28．【2012高考真题湖南理20】（本小题满分13分）
某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.
（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k
的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.
于是
（1）当时， 此时
，
（2）当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，则
.
由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于
此时完成订单任务的最短时间大于.
（3）当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，
当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时
完成订单任务的最短时间为，大于.
综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数
分别为44,88,68.
【2011年高考试题】
1. (2011年高考山东卷理科10)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当2．(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）
答案： D
解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.
3．(2011年高考辽宁卷理科11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
（A）（-1，1） （B）（-1，+）
（C）（-，-1） （D）（-，+）
答案： B
解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g’(x)= f’(x)-2.因为对任意，f’（x）＞2，所以对任意，g’(x)>0，则函数g(x)在R上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+).
4．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=
（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2
【答案】 B
【解析】当，故选B
5. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）
A B C D
6. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为
（A） （B）4 （C） （D）6
【答案】C
【解析】因为的解为，所以两图像交点为，于是面积故选C
7. (2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D.
【答案】B
【解析】由题意知,若,即时, ;当
8. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.
9. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.
10. (2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为
A. B. 1 C. D.
答案：D
解析：由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=。故选D评析：本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识.
11. (2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A. 1 B. C. D.
，从而
对其求导，可知当且仅当时取到最小。故选D
12．(2011年高考广东卷理科4)设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
【解析】A.设
，所以是偶函数，所以选A.
13．(2011年高考湖北卷理科6)已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则
A.2 B. C. D.
答案：B
解析：因为则，联立可得，又因为，故a=2.因为
则，所以选B.
14. (2011年高考湖北卷理科10) 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位年）满足函数关系：，其中为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率是—10ln2（太贝克/年），则M(60)=
A.5太贝克 B.75ln2太贝克 C.150ln2太贝克 D.150太贝克
答案：.D
解析：因为，故其变化率为，又由
故，则，所以选D.
15．(2011年高考陕西卷理科3)设函数满足
，则的图像可能是
【答案】B
【解析】由知为偶函数，由知周期为2。故选B
16．(2011年高考陕西卷理科6)函数在内
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点
【答案】B
【解析】令，，则它们的图像如图故选B
17.(2011年高考重庆卷理科5)下列区间中，函数，在其上为增函数的是
（A） (B)
(C) (D)
围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
【答案】A
【解析】： ，，切线方程为
由 则 故选A
19．(2011年高考全国卷理科9)设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=
(A) - (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】 故选A
20．(2011年高考福建卷理科5)（e2+2x）dx等于
A．1 B．e-1 C．e D．e+1
【答案】C[来源:学科网]
【解析】由定积分的定义容易求得答案.
21．(2011年高考上海卷理科16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由偶函数,排除B;由减函数,又排除B、D，故选A.
22. (2011年高考山东卷理科16)已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
【答案】2
23．(2011年高考浙江卷理科11)若函数为偶函数，则实数 。
【答案】 0
【解析】，
则
24. (2011年高考广东卷理科12)函数在 处取得极小值.
【解析】2.得。所以函数的单调递增区间为，减区间为，所以函数在x=2处取得极小值。
25．(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则
【答案】1
27. (2011年高考四川卷理科16)函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
① 函数=（xR）是单函数；
② 若为单函数，
③ 若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
④ 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.
其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
答案：②③
28.(2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是__________
【答案】
【解析】考察函数性质，容易题。因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.
29.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
【答案】4
【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.
30．(2011年高考安徽卷江苏11)已知实数，函数，若，则a的值为________
【答案】
【解析】因为,所以是函数的对称轴,所以,所以的值为.
31．(2011年高考北京卷理科13)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______
【答案】（0，1）
【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想.
32．(2011年高考上海卷理科1)函数的反函数为 。
【答案】[来源:学*科*网]
【解析】设,则,故.
33．(2011年高考上海卷理科13)设是定义在上，以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。
【答案】
【解析】本小题考查函数的性质.
【2010高考试题】
1.（2010浙江理数）（10）设函数的集合
，
平面上点的集合
，
则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B。
2.（2010全国卷2理数）（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
【答案】A
【解析】，切线方程是，令
，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.
3.（2010全国卷2理数）（2）.函数的反函数是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】由原函数解得，即，又；
∴在反函数中，故选D.
4.（2010辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是
(A)[0,) (B) (D)
【答案】D
【解析】因为，即tan a≥-1,所以
5.（2010江西理数）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为
【答案】A
6.（2010江西理数）9．给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网
②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；
③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
【答案】C
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－
于是－＝1 Þ m＝－2
答案：A
8.（2010四川理数）（3）2log510＋log50.25＝w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4w_w w. k#s5_u.c o*m
解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25
＝log525
＝2
答案：C
9.（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
10.（2010天津理数）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是
(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
11.（2010天津理数）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。
12.（2010福建理数）4．函数的零点个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
13.（2010重庆理数）（15）已知函数满足：，，则=_____________.
14.（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。
当时函数取得最小值，所以，即，解得或
15.（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：
（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
等价于
， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2]. ……12分
16.（2010江西理数）19. （本小题满分高☆考♂资♀源*网12分）
设函数。
（1）当a=1时，求的单调区间。
（2）若在上的最大值为，求a的值。
【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。
解：对函数求导得：，定义域为（0，2）
(2)区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。
当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。
最大值在右端点取到。。
17.（2010北京理数）(18)(本小题共13分)
已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。
解：（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时，
故得单调递增区间是.
18.（2010四川理数）（22）（本小题满分14分）
设（且），g(x)是f(x)的反函数.
（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.
本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.
解：(1)由题意，得ax＝＞0
故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)
由得
t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]
则t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)
列表如下：
x
2
(2,5)
5
(5,6)
6
t'
+
0
-
t
5
↗
极大值32
↘
25
所以t最小值＝5，t最大值＝32
所以t的取值范围为[5,32]……………………………………………………5分
当n≥2时
所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4
综上所述，总有|－n|＜4
【2009高考试题】
1．( 2009·福建理5)下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是
A．= B． =
C ．= D
答案：A
解析：依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。
2．( 2009·福建理10)．函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是
A． B C D
答案：D
解析：本题用特例法解决简洁快速，对方程中
分别赋值求出代入求出检验即得．
3．( 2009·广东理3) 若函数是函数的反函数，其图像经过点，则
A． B． C． D．
答案：B
解析：，代入，解得，所以，选B．
4．( 2009·广东理8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是
A．在时刻，甲车在乙车前面
B． 时刻后，甲车在乙车后面
C． 在时刻，两车的位置相同
D． 时刻后，乙车在甲车前面
答案：A
解析：由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A
5． (2009·辽宁文理9)已知偶函数在区间上单调增加，则的x取值范围是
答案： A
解析：由已知有，即，
∴。
6．( 2009·辽宁理12)若满足，满足，则+=
答案：C
7．( 2009·宁夏海南12)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值。
设 (x0),则的最大值为
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7
答案：C
解析：画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）＝2x，当2≤x≤3时，f（x）＝x＋2，当x＞4时，f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝
4时取得为6，故选C。．
8．( 2009·山东文理6．) x
y
1
1
D
O
x
y
O
1
1
C
x
y
O
1
1
B
1
x
y
1
O
A
函数的图像大致为( )．
答案：A
解析：:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A．
9． (2009·浙江理10)对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是( )
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，则
D．若，，且，则
答案：C
解析：对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．
10．( 2009·山东文理14)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
数a的取值范围是．
答案：
11．( 2009·山东文理16)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
答案：-8
12.( 2009·山东理21.)（本小题满分12分）
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
【解析】
A
B
C
x
解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）,,令得
有最小值.
解法二: （1）同上.
（2）设,
则,,所以
当且仅当即时取”=”.
下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
设04×240×240
9 m1m2<9×160×160所以,
所以即函数
在(160,400)上为增函数.
所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,
所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.
13. (2009·海南宁夏理21)（本小题满分12分）
已知函数
（1）如，求的单调区间；
（2）若在单调增加，在单调减少，证明
＜6.
【解析】解：
（Ⅰ）当时，，故
当
当
又由此可得
于是
14. (2009·辽宁理21)（本小题满分 12 分）
已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意有。
【解析】解：（1）的定义域为，--------------2分
上单调增加。
（2）考虑函数，
则，
由于，故，即在上单调增加，从而当时，
有，即，故；
当时，有。
15. (2009·福建理20)（本小题满分14分）
已知函数,且
(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；
（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q
的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）
【解析】解法一:
(Ⅰ)依题意,得
由.
从而
令
①当a>1时,
当x变化时，与的变化情况如下表：
x
+
－
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R
③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.
(Ⅱ)由得令得
由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在 ；
线段MP的斜率Kmp
当Kmp－=0时，解得
直线MP的方程为
令
当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。
解法二：
（1）同解法一.
（2）由得，令，得
由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()
(Ⅰ) 直线MP的方程为
由
得
线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数
上有零点.
因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.
又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.
等价于 即
又因为,所以m 的取值范围为(2,3)
从而满足题设条件的r的最小值为2.
16. (2009·福建文21)（本小题满分12分）
已知函数且
（I）试用含的代数式表示；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；
+
—
+
单调递增
单调递减
单调递增
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为
②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为
综上：
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为R；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为
（Ⅲ）当时，得
由得
令
易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点
解法二：
（I）同解法一
（Ⅱ）同解法一。
（Ⅲ）当时，得，由，得
由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，
故
所以直线的方程为
所以线段与曲线有异于的公共点
17. (2009·广东理20)（本小题满分14分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
【解析】
解：（1）依题可设 ()，则；
又的图像与直线平行
， ，
设，则
当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，
函数有两个零点，即；
若，，
函数有两个零点，即；
当时，方程有一解, ,
18.( 2009·浙江20090423
理22)（本题满分14分）已知函数，，其中．
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得
，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；
（II）当时有；
当时有，因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在
上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ） 满足题意．
19.（2009·安徽理19）（本小题满分12分）
已知函数，讨论的单调性.
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
【解析】解：的定义域是(0,+),
设,二次方程的判别式.
① 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。
② 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。
③ 当，即时，
方程有两个不同的实根,,.
+
0
_
0
+
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
20.（2009·天津理20）（本小题满分12分）
已知函数其中
（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；
（2）当时，求函数的单调区间与极值。
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
【2008高考试题】
1．（2008·广东卷理19）设，函数，，，试讨论函数的单调性．
【解析】
对于，
当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数。
2．（2008·江苏卷18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。
（1）求实数的取值范围；
（2）求圆的方程；问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论
所以圆C 的方程为．
（Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：
假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为 （*）
为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，
结合（*）式得
，解得
经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。
3．（2008·江苏20）若为常数，
且
（I）求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；
(II)设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。
（2）分两种情形讨论
（i）当时，由（1）知（对所有实数）
O
y
x
(a,f(a))
(b,f(b))
图1
则由及易知，
再由的单调性可知，
函数在区间上的单调增区间的长度
为（参见示意图1）
（ii）时，不妨设，则，于是
当时，有，从而；
当时，有
从而 ；
当时，，及，由方程
解得图象交点的横坐标为
⑴
显然，
这表明在与之间。由⑴易知
综上可知，在区间上， （参见示意图2）
故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得
⑵
故由⑴、⑵得
综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。
4．(2008·山东理14)设函数，若，，则的值为 。
解析： 。
而， ∴
5．(2008·广东理7)设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）
A． B． C． D．
答案：B。
解析：，若函数在上有大于零的极值点，
即有正根。当有成立时，（由于）显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。
7.(安徽理6)设＜b,函数的图像可能是
解析：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。
8.(安徽理9)已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是学科网
（A） （B） （C） （D）
解析：由得，
即，∴∴，∴切线方程为
，即选A
9.(辽宁理7)曲线在点处的切线方程为
答案： D
解析： ，，∴切线方程为，即。
10. (福建理4) 等于
A． B. 2 C. -2 D. +2
答案：D
解析：∵.故选D
11.(天津理4)设函数则
A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
答案：D
解析：由题得，令得；令得；
故选择D。
12.（2008·江苏8）直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ▲
答案：ln2－1
解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
13. （2008·江苏13）若AB=2, AC=BC ，则的最大值 ▲
答案：
由三角形三边关系有解得，
故当时取得最大值
14．（2008·广东理科19卷）（本小题满分14分）
设，函数，，。试讨论函数的单调性．
解析
对于，
当时，函数在上是增函数；
15．(2008·山东理21)（本题满分12分）已知函数其中为常数。
（I）当时，求函数的极值；
（II）当时，证明：对任意的正整数，当时，有
解析：
（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，
当时，，所以．
（1）当时，由得，，
此时．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
（2）当时，恒成立，所以无极值．
综上所述，时，
当时，在处取得极小值，极小值为．
当时，无极值．
所以 成立．
当为奇数时，
要证，由于，所以只需证，
令 ，
则 （），
所以 当时，单调递增，又，
所以当时，恒有，即命题成立．
综上所述，结论成立．
证法二：当时，．
即 ．
16.(2008·海南、宁夏理21)（本小题满分12分） 设函数，曲线在点
处的切线方程为。
（Ⅰ）求的解析式：
（Ⅱ）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。
解析：（Ⅰ），于是
解得 或
