2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§4-2 三角恒等变换（讲解部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§4-2 三角恒等变换（讲解部分）

考点　两角和与差的三角公式 考点清单 考向基础   【知识拓展】 1.公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α +tan β =tan( α + β )(1-tan α tan β ); tan α -tan β =tan( α - β )(1+tan α tan β ). (2)升幂公式 1+cos α =2cos 2   ;1-cos α =2sin 2   . (3)降幂公式 sin 2 α =   ;cos 2 α =   . (4)其他常用变形 sin 2 α =   =   ; cos 2 α =   =   ; 1 ± sin α =   . 2.辅助角公式 a sin α + b cos α =   sin( α + φ ), 其中cos φ =   ,sin φ =   . 考向突破 考向一　三角函数式的化简 例1　化简:   ·   ·   = 　　　     . 解析       ·   ·   =   ·   ·   =   ·   =   ·   =   =tan   . 答案    tan   考向二　三角函数式的求值 例2    (2018湖南永州祁阳二模)已知tan   α +     =   ,则cos 2     - α   =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解析　∵tan   =   , ∴cos 2   =sin 2   =   =   =   =   .故选B. 答案    B 例3    (2020届湖南邵阳9月联考,14)计算:sin 10 ° ·sin 30 ° ·sin 50 ° ·sin 70 ° =      　　     . 解析　解法一:sin 10 ° ·sin 30 ° ·sin 50 ° ·sin 70 ° =   cos 20 ° ·cos 40 ° ·cos 80 ° =   =   =   =   =   . 解法二:令 m =sin 10 ° sin 50 ° sin 70 ° , n =cos 10 ° cos 50 ° ·cos 70 ° , 则 mn =sin 10 ° cos 10 ° sin 50 ° cos 50 ° sin 70 ° cos 70 ° =   sin 20 ° ·   sin 100 ° ·   sin 140 ° =   sin 20 ° ·sin 80 ° ·sin 40 ° =   cos 70 ° ·cos 10 ° ·cos 50 ° =   n , 而 n ≠ 0, ∴ m =   ,从而有sin 10 ° ·sin 30 ° ·sin 50 ° ·sin 70 ° =   . 答案       考向三　辅助角公式的应用 例4　已知 x ∈   ,则函数 f ( x )=5   cos 2 x +   sin 2 x -4sin x cos x 的最小值为 　　　     . 解析     f ( x )=5   cos 2 x +   sin 2 x -4sin x cos x =   +4   cos 2 x -2sin 2 x =   +2   (cos 2 x +1)-2sin 2 x =3   -2sin 2 x +2   cos 2 x =3   -4sin   . ∵ x ∈   ,∴2 x -   ∈   , ∴sin   ∈   . ∴当2 x -   =   ,即 x =   时, f ( x )取得最小值,其最小值为3   -2   . 答案　3   -2   方法1 　三角函数式的化简方法 1.化简原则 (1) 一看“角” ,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角合理 地拆分,从而正确运用公式; (2) 二看“函数名称” ,看函数名称之间的差异,从而确定要使用的公式; (3) 三看“结构特征” ,分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向,常见 的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等. 方法技巧 2.化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少; (2)尽量使分母不含三角函数; (3)尽量使被开方数不含三角函数等. 3.化简方法 (1)直接应用公式进行降次、消项; (2)切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名; (3)三角公式的逆用等. 例1　化简:sin 2 α ·sin 2 β +cos 2 α ·cos 2 β -   cos 2 α ·cos 2 β = 　　　     . 解析　解法一(从“角”入手,“倍角”变“单角”): 原式=sin 2 α ·sin 2 β +cos 2 α ·cos 2 β -   (2cos 2 α -1)(2cos 2 β -1) =sin 2 α ·sin 2 β +cos 2 α ·cos 2 β -   (4cos 2 α ·cos 2 β -2cos 2 α -2cos 2 β +1) =sin 2 α ·sin 2 β -cos 2 α ·cos 2 β +cos 2 α +cos 2 β -   =sin 2 α ·sin 2 β +cos 2 α ·sin 2 β +cos 2 β -   =sin 2 β +cos 2 β -   =1-   =   . 解法二(从“名”入手,异名化同名): 原式=sin 2 α ·sin 2 β +(1-sin 2 α )·cos 2 β -   cos 2 α ·cos 2 β =cos 2 β -sin 2 α (cos 2 β -sin 2 β )-   cos 2 α ·cos 2 β =cos 2 β -sin 2 α ·cos 2 β -   cos 2 α ·cos 2 β =cos 2 β -cos 2 β ·   =   -cos 2 β   =   -   cos 2 β =   . 解法三(从“幂”入手,利用降幂公式先降次): 原式=   ·   +   ·   -   cos 2 α ·cos 2 β =   (1+cos 2 α cos 2 β -cos 2 α -cos 2 β )+   (1+cos 2 α cos 2 β +cos 2 α +cos 2 β )-   cos 2 α cos 2 β =   +   =   . 答案       例2　已知 α 为第二象限角,则cos α   +sin α ·   = 　　　　　     . 解析　因为 α 为第二象限角,所以sin α >0,cos α <0. 因为   =   =   =   =   ,   =   =   =   =   , 所以cos α   +sin α   =cos α ·   +sin α ·   =sin α -cos α . 答案    sin α -cos α 方法2　 三角函数式的求值方法 1.“给角求值”:一般给出的角都是非特殊角,从表面上看是很难的,但仔细 观察,非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关系, 结合公式转化为特殊角求解. 2.“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些与该角有关联 的角的三角函数式的值,解题关键在于“变角”,使它们的角相同或具有某 种关系. 3.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数值,再 求角的范围,最后确定角的大小. 例3　(1)(2018湖北八校第一次联考,10)已知3π< θ <4π,且   +   =   ,则 θ =   (　　) A.   或   　    B.   或   C.   或   　    D.   或   (2)(2020届广东佛山一中9月月考,8)已知 α , β 为锐角,且tan α =   ,cos( α + β )=   ,则cos 2 β =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解析　(1)∵3π< θ <4π,∴   <   <2π,∴cos   >0,sin   <0,∴   +   =   +   =cos   -sin   =   cos   =   ,∴cos   =   ,∴   +   =   +2 k π( k ∈Z)或   +   =-   +2 k π( k ∈Z),即 θ =-   +4 k π( k ∈Z)或 θ =-   +4 k π( k ∈Z),又∵3π< θ <4π,∴ θ =   或   .故选D. (2)∵ α , β ∈   ,∴ α + β ∈(0,π). ∵cos( α + β )=   ,∴sin( α + β )=   . ∵tan α =   ,∴sin α =   ,cos α =   . ∴cos β =cos[( α + β )- α ]=cos( α + β )cos α +sin( α + β )sin α =   ×   +   ×   =   , ∴cos 2 β =2cos 2 β -1=2 ×   -1=   ,故选C. 答案　(1)D　(2)C