2017-2018学年广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试 数学（文） Word版

2017-2018学年广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试 数学（文） Word版

‎2017-2018学年广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试数学(文)试卷 ‎ 说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．若是假命题，则 A．是真命题，是假命题 B．均为假命题 C．至少有一个是假命题 D．至少有一个是真命题 ‎2．一个等比数列的第项和第项分别是和，则该数列的第项等于 A. B． C． D． ‎ ‎3．已知中，角A、B的对边为、,，，，则等于 A．或 B．或 C． D． ‎ ‎4．曲线在点处的切线方程为（注：是自然对数的底）‎ A. B. C． D． ‎ ‎5．不等式组表示的平面区域的面积是 A． B． C． D．‎ ‎6．已知为等差数列，，前项和，则公差 A. B. C. D. ‎ O x y ‎2‎ ‎1‎ ‎7．函数的导函数的图象如图所示，则 A．是的最小值点 ‎ B．是的极小值点 C．是的极小值点 ‎ D．函数在上单调递增 ‎8. 双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎9．函数有极值的充分但不必要条件是 A. B. C. D. ‎ ‎10．已知点是抛物线的焦点，、是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为 A． B． C． D． ‎ ‎11．已知直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是 A． B． C． D．且 ‎12．已知定义域为的函数的导函数是，且，若，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．命题“若，则”的逆否命题为__________． ‎ ‎14．中，若，，且，则__________. ‎ ‎15．若，则的最小值等于__________. ‎ ‎16．设椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与交于 两点，若是等边三角形，则椭圆的离心率等于________. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知的三个内角，，的对边长分别为，，，．‎ ‎（Ⅰ）若，请判断三角形的形状；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的边的大小．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 等比数列的各项均为正数，且，（）.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）已知，求数列的前项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求的面积．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 某农场计划种植甲、乙两个品种的水果，总面积不超过亩，总成本不超过万元．甲、乙两种水果的成本分别是每亩元和每亩元．假设种植这两个品种的水果，能为该农场带来的收益分别为每亩万元和每亩万元．问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积，可使农场的总收益最大？最大收益是多少万元？‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设函数． 在 ‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于.‎ B A F O x y N ‎（Ⅰ）求p的值；‎ ‎（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行 的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的横坐标 的取值范围．‎ 参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B C D B D C A A C D A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若，则； 14．1 ； 15． ； 16． .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 解：（Ⅰ）由，，……………………2分 ‎ 得，即：.………………………………………………………5分 又， ‎ ‎∴ 三角形是等边三角形. ……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由，得，…………………………………………………………6分 又，‎ ‎∴ ‎ ‎………………………………………7分 由正弦定理得．……………………………10分 ‎18．解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，‎ ‎ ∴……………………………………………………1分 ‎ 由解得：或（舍去）．…………………………………3分 ‎ ∴所求通项公式．………………………………………5分 ‎（Ⅱ）‎ 即------------①…………………………………6分 ‎①2得 2-----②……………………7分 ‎①-②：…………………………………8分 ‎……………9分 ‎,……………………………………………………………………………11分 ‎．………………………………………………………………………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）由题得：…………………………………………………………2分 解得，…………………………………………………………………………………………………4分 椭圆的方程为.…………………………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ），直线的方程是…………………………………………………6分 由（*）…………………………………………………………………………7分 设，（*）‎ ‎………………………………………………………8分 ‎……………………………………………………10分 的面积是……………………………………………………….…………………………………………12分 ‎20. 解：设甲、乙两种水果的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则 ………1分 y x M O ‎400‎ ‎500‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎………① …………4分 目标函数为， ……………5分 不等式组①等价于 可行域如图所示，……………………………7分 目标函数可化为 由此可知当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数取最大值．…………………9分 解方程组 得 的坐标为．……………………………………………………………………10分 所以．…………………………………………………11分 答：分别种植甲乙两种水果75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元． ‎ ‎………………………………………………………………………………12分 ‎21. 解：（Ⅰ），………………………………………2分 令，得或；，得， …………………………4分 增区间和；减区间是．………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（I）知 当时,取极大值，………………………………7分 ‎ 当时,取极小值 ，………………………………………………8分 因为方程仅有三个实根.所以…………………………………………10分 解得： ，‎ 实数的取值范围是．………………………………………………………………12分 ‎22.解：（Ⅰ）由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线的距离.……………………2分 由抛物线的定义得，即p=2. …………………………………………………………………………………4分 B A F O x y N ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的方程为，可设.……………………………5分 由题知AF不垂直于y轴，可设直线,,‎ 由消去x得，………………………………6分 故，所以.…………………………………………………………………………………7分 又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为， ‎ 从而的直线FN:，直线BN:，………………………………………………………9分 由解得N的横坐标是，其中…………………………………10分 或.‎ 综上，点N的横坐标的取值范围是.…………………………………………………………12分 注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.‎