河南省郑州市实验中学2020届高三上学期期中考试数学试题

河南省郑州市实验中学2020届高三上学期期中考试数学试题

河南省实验中学2019——2020学年上期期中试卷 高三文科数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合M＝{x|x2＜1}，N＝{y|y＞1}，则下列结论正确的是（　　）‎ A. M∩N＝N B. M∩（∁UN）＝∅ C. M∪N＝U D. M⊆（∁UN）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查集合间的基本关系，及集合基本运算.‎ ‎【详解】，，‎ 排除A 排除B ‎,排除C。‎ ‎，D正确。‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】当集合中代表元素不同时，可取区间再进行比较。‎ ‎2.已知复数是纯虚数，则实数a＝（　　）‎ A. ﹣2 B. 6 C. ﹣6 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查复数的除法运算，以及对复数分类的实部、虚部讨论.‎ ‎【详解】‎ 已知复数为纯虚数，则实部为零虚部不为零。则，‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】复数的代数形式，为实部，为虚部.实部为零虚部不为零，则复数是纯虚数.‎ ‎3.下列命题中正确的是（ ）‎ A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”‎ C. 命题“”的否定是“”‎ D. 若则恒成立 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查充分不必要条件的判断，逆否命题的改写，特称命题的否定形式，以及恒成立问题.综合性考察题目.‎ ‎【详解】对于A，，，则“”是“”的充要条件，则A错误.‎ 对于B ,逆否命题应该是“若且，则”，则B错误.‎ 对于C，否定形式应该是，则C错误.‎ 对于D，令，，当时恒成立，‎ 即，恒成立.则D正确。‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】条件推结论为充分，结论推条件为必要，如果互相推出，则为充要条件；对“且”命题否定应改为“或”，对“或”命题否定应改为“且”；特称命题改写否定形式注意x取值范围不变；恒成立问题，导数求解更简单。‎ ‎4.若，则的大小关系是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用对数函数和指数函数的单调性求解．‎ ‎【详解】∵0＜a＝，b＝log0.51.2＜log0.51＝0，c＝1.20.5＞1.20＝1，‎ ‎∴b＜a＜c．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查对数值大小的比较，考查了对数函数和指数函数的单调性，是基础题．‎ ‎5.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（ ）‎ A. 在上单调递增，为偶函数 B. 最大值为1，图象关于直线对称 C. 在上单调递增，为奇函数 D. 周期为，图象关于点对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．‎ ‎【详解】将函数的图象向右平移个单位后得到函数 的图象， 故当x∈时，2x∈，故函数g（x）在上单调递增，为偶函数， 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．‎ ‎6.若x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为（　　）‎ A. ﹣1 B. ﹣2 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是线性规划问题，根据二元一次不等式组，作出约束条件的可行域，用目标函数求解最优解.‎ ‎【详解】由画出可行域，如图.‎ 取直线，平移经过点时，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】将每一个二元一次不等式中不等号改写成等号，依次在平面直角坐标中画出直线，并根据不等式的符号确定不等式所表达的平面区域，这就是可行域的画法.‎ ‎7.函数图象的大致形状是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在内正负情况，即可排除所有错误选项.‎ ‎【详解】‎ 则，是偶函数，排除B、D.‎ 当时，即，排除A.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值的正负进行判断.‎ ‎8.已知命题p：函数在（0，1）内恰有一个零点；‎ 命题q：函数在上是减函数，若p且为真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. 2 C. 1<≤ 2 D. ≤ l或>2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：命题p为真时：；命题q为真时：，因为p且为真命题，所以命题p为真，命题q为假，即，选C．‎ 考点：命题真假 ‎9.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：‎ ‎①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；‎ ‎②函数可以是某个圆的“优美函数”；‎ ‎③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；‎ ‎④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．‎ A. ①④ B. ①③④ C. ②③ D. ①③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.‎ ‎【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确 对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误 对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.‎ 对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误 故选：D ‎【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.‎ ‎10.若，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式与相乘，展开式利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.‎ ‎【详解】由基本不等式得，‎ 当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.‎ 由题意可得，即，解得.‎ 因此，实数的取值范围是，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎11.设定义在上的函数满足任意都有，且时，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f（x）满足f（t+2）=，可得f（x）是周期为4的函数．6f（2017）=6f（1），3f（2018）‎ ‎=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=，x∈（0，4]，则g′（x）=＞0，利 用其单调性即可得出．‎ ‎【详解】函数f（x）满足f（t+2）=，可得f（t+4）==f（t），∴f（x）是周期为4的函数．‎ ‎6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．‎ 令g（x）=，x∈（0，4]，则g′（x）=，‎ ‎∵x∈（0，4]时，，‎ ‎∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增，‎ ‎∴f（1）＜＜，‎ 可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．‎ 故答案为：A ‎【点睛】本题考查了函数的周期性单调性、利用导数研究函数的单调性、构造法，考查了推理能 力与计算能力，属于难题．(2)解答本题的关键有两点，其一是求出函数的周期是4，其二是构造函数g（x）=，x∈（0，4]，并求出函数的单调性.‎ ‎12.已知函数，函数g（x）＝x2，若函数y＝f（x）﹣g（x）有4个零点，则实数的取值范围为（　　）‎ A. （5，+∞） B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 因为是分段函数，新函数的零点问题也需要分段研究，每一段上的零点个数加成总和即为函数的零点个数.‎ ‎【详解】分段讨论：当时，与有两个交点，两个零点.‎ 要使有4个零点,‎ 则当时与有两个交点即可（如图）.‎ 过点作的切线，设切点为,‎ 则，即切线方程为,‎ 把点代入切线方程，得或,‎ 又，则，‎ 又，解得，‎ 所以实数的取值范围是 故选：B.‎ ‎【点睛】分段函数一定要分段研究，不同的取值范围对应不同的解析式。在二次函数与一次函数相交的问题中，巧妙利用图像法可有效解决问题.‎ 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）‎ ‎13.设数列{an}是等差数列，a1+a2+a3＝﹣24，a19＝26，则此数列{an}前20项和等于_____．‎ ‎【答案】180‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列性质先求解，再利用，及求和公式。求 ‎【详解】，‎ 故答案为：180.‎ ‎【点睛】等差数列重要性质，若，则.‎ ‎14.已知向量与向量的夹角为120°，若向量且，则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直入手，利用数量积，转化与之间的关系式，求解的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，即 再由数量积公式，得，。所以 故答案为：‎ ‎【点睛】向量垂直。数量积的乘法分配律。数量积定义.‎ ‎15.已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，π]）的部分图象如图所示，其中f（0）＝1，|MN|＝，则f（x）在（0,3）上的单调递减区间为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数图像判断的各个系数：最高点为A，周期，再代入求解.求出函数解析式，进而可求其单调区间.‎ ‎【详解】由，M为最高点，N为平衡位置，间隔,根据勾股定理，有 即，，‎ ‎，，再结合图像，得 则，求单调减区间为 解得,与取交集，得。‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数，由图像确定系数及单调区间，属于基础题.‎ ‎16.在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过题意画出图像，然后通过三棱锥的图像性质以及三棱锥的外接球的相关性质来确定圆心的位置，最后根据各边所满足的几何关系列出算式，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 如图所示，作中点，连接、，在上作三角形的中心，过点作平面的垂线，在垂线上取一点，使得。‎ 因为三棱锥底面是一个边长为的等边三角形，为三角形的中心，‎ 所以三棱锥的外接球的球心在过点的平面的垂线上，‎ 因为，、两点在三棱锥的外接球的球面上，所以点即为球心，‎ 因为平面平面，，为中点，所以平面 ‎，，，‎ ‎，‎ 设球的半径为，则有，，‎ ‎，即，解得，‎ 故表面积为。‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥相关性质，主要考查三棱锥的外接球的相关性质，考查如何通过三棱锥的几何特征来确定三棱锥的外接球与半径，考查推理能力，考查化归与转化思想，是难题。‎ 三．解答题（满分70分）‎ ‎17.设是等比数列，若，且2a2，a3，成等差数列．‎ ‎（1）求的通项公式； ‎ ‎（2）当{an}的公比不为1时，设，求证：数列{bn}的前n项和Tn＜1．‎ ‎【答案】（1）或；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）等比，设公比为q再根据等差中项求的通项公式。‎ ‎（2）根据第一问中所求通项，表达出，注意观察求和为裂项相消法。‎ ‎【详解】解: (1)设等比数列{an}的公比为q, 。‎ 成等差数列，‎ 即 即,解得q=2或q= 1. ‎ 所以{an}的通项为或an=2‎ ‎(2)由(1)知 ‎∴数列{bn}的前n项和为 ‎【点睛】（1）求通项公式时，注意特殊情况，不可随意忽略。‎ ‎（2）裂项相消法中，注意对通项公式进行分析，对分母因式分解，快速找到解题关键。‎ ‎18.已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f'（x）为f（x）的导数．‎ ‎（1）求曲线在点A（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）设，求在区间[0，π]上的最大值和最小值。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）切线方程的求法：切点横坐标①代入原方程求切点纵坐标，②代入导函数求切线斜率.‎ ‎（2）对求导，得。对求导，判断在区间上的单调性与极值，从而判断最大最小值.‎ ‎【详解】(1) f (x) =cosx+xsinx-1, 所以f (0) =0, f(0) =0，‎ 从而曲线y=f(x)在点A (0, f(0))处的切线方程为y=0. ‎ ‎(2) ∵'g (x) =cosx+xsinx-1，‎ 当时，;当时，.‎ 所以g(x)在单调递增，在单调递减.‎ 又 故 ‎【点睛】（1）函数在处的切线方程为 ‎（2）研究函数最值问题，求导分析单调性与极值，从而判断最值.‎ ‎19.如图，在三棱锥中，正三角形所在平面与等腰三角形所在平面互相垂直，，是中点，于.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）将所求转化为，利用（1）的结论得到三棱锥的高为，由此计算得三棱锥的体积.‎ ‎【详解】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，‎ ‎∴BO⊥AC，‎ 又平面PAC⊥平面ABC，‎ 且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，‎ ‎∴BO⊥平面PAC，‎ ‎∴BO⊥PC，‎ 又OH⊥PC，BO∩OH＝O，‎ ‎∴PC⊥平面BOH；‎ ‎（2）∵△HAO与△HOC面积相等，‎ ‎∴,‎ ‎∵BO⊥平面PAC,∴,‎ ‎∵,∠HOC=30°∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴即.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.‎ ‎20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）＝2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x＝处取得最大值．‎ ‎（1）当时，求函数f（x）的值域；‎ ‎（2）若且sinB+sinC＝，求△ABC面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简函数，由最大值点求出A的值，注意三角形内角和.再根据三角函数性质求解取值范围.‎ ‎（2）由（1）问中A的取值，再根据正弦定理，结合余弦定理，求解三角形.‎ ‎【详解】∵函数 又∵函数f (x) =2cosxsin (x-A) +sinA (x∈R)在处取得最大值.‎ ‎, 其中k∈z,即， 其中k∈z,‎ ‎（1）‎ ‎, 即函数f (x)的值域为:‎ ‎（2）由正弦定理得到，‎ 则 即 由余弦定理得到 即 ‎ 故△ABC的面积为:.‎ ‎【点睛】（1）三角函数的单调性、对称轴、对称中心最值点等问题的求解都需要代换思想，由的取值代换.‎ ‎（2）正弦定理结合比例关系，可有 ‎，灵活运用.‎ ‎21.已知函数 . ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在，使成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）5.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)求导，分类讨论时三种情况的单调性(2)分离含参量 ‎，构造新函数，，求导算出零点的范围，从而求出结果 解析：（1）由题意可知，，，‎ 方程对应的，‎ 当，即时，当时，，‎ ‎∴在上单调递减； ‎ 当时，方程的两根为，‎ 且 ， ‎ 此时，在上，函数单调递增，‎ 在上，函数单调递减；‎ 当时，，， ‎ 此时当，单调递增，‎ 当时，，单调递减； ‎ 综上：当时，，单调递增，当时， 单调递减；‎ 当时，在上单调递增，‎ 在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减； ‎ ‎（2）原式等价于，‎ 即存在，使成立．‎ 设，，‎ 则， ‎ 设，‎ 则，∴在上单调递增．‎ 又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且，即，‎ ‎∴ ‎ 由题意可知，又，，∴的最小值为.‎ 点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果。‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为,（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)直接写出直线、曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)两式相加消去参数，即得直线的普通方程，利用二倍角公式和进行求解；(Ⅱ)设出椭圆上点的参数坐标，再利用点到直线的距离公式和配角公式、三角函数的性质进行求解．‎ 试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为，‎ 因为，所以，则，‎ 即曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）∵曲线的直角坐标方程为，即，‎ ‎∴曲线上的点的坐标可表示为.‎ ‎∵，∴，∴的最小值为，的最大值为.∴，‎ 即的取值范围为.‎ 考点：1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化；2.点到直线的距离公式．‎ ‎23.已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝3．‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）求证．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将结论式平方，可得到条件式，再运用重要不等式即可求解.‎ ‎（2）结合“1”的妙用方法，将结论式与条件式相乘，只需证，即可证明不等式.‎ ‎【详解】(1) ‎ ‎。‎ ‎ (2) ‎ ‎.当且仅当时取等号. ‎ ‎【点睛】（1）将结论式跟条件联系在一起，只需将结论平方.‎ ‎（2）不等式性质：‎ ‎ ‎ ‎ ‎