数学理卷·2018届北京市人大附中高三2月内部特供卷（一）（2018

数学理卷·2018届北京市人大附中高三2月内部特供卷（一）（2018

‎2018届高三2月份内部特供卷 高三理科数学（一）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎2．已知复数，，的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．函数的图象为，命题图象关于直线对称；命题由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在内随机地取一个数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设点是平面区域内的任意一点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，输出，则（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎ ‎ ‎8．函数的图象大致是（ ）‎ ‎ ‎ ‎9．已知，若，，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的侧面面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两条渐近线于，点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若的解集中有且只有一个正整数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．平面向量，满足，，，则向量与夹角为____．‎ ‎14．命题“，”的否定是____________________．‎ ‎15．已知是椭圆上的一点，，分别是圆和上的点，则的最小值是__________．‎ ‎16．如图，在平面四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，且满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是菱形，．交于点．‎ ‎（1）证明：平面⊥平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线上点处的切线方程为．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设和为抛物线上的两个动点，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数有两个零点，．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．（选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）‎ 设函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2），恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎2018届高三2月份内部特供卷 高三理科数学（一）答 案 一、选择题 ‎1．【答案】D ‎2．【答案】C ‎3．【答案】B ‎4．【答案】A ‎5．【答案】B ‎6．【答案】B ‎7．【答案】B ‎8．【答案】A ‎9．【答案】C ‎10．【答案】A ‎11．【答案】C ‎12．【答案】A 二、填空题 ‎13．【答案】‎ ‎14．【答案】，‎ ‎15．【答案】7‎ ‎16．【答案】‎ 三、解答题 ‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由题意得：，解得，‎ 故的通项公式为，．‎ ‎（2）由（1）得：，‎ ‎，······①‎ ‎，······②‎ ‎①－②得：，‎ 故．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1），‎ 函数的单调递增区间为：；‎ ‎（2），，，‎ ‎．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）底面是菱形，，‎ 又，，，平面，‎ 平面，又平面，平面平面．‎ ‎（2）不妨设，则，作于，连结，‎ 由（1）知，平面，故，‎ 则即二面角的平面角，‎ 在中，，，，，‎ ‎．‎ ‎（另解：也可以以为原点建立空间坐标系，并注意，建系过程未说明扣2分．）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）设点，由得，求导，‎ 因为直线的斜率为，所以且，解得，‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由解得）‎ ‎（2）设线段中点，则，，‎ ‎，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 即，过定点．‎ 联立，‎ 得，‎ ‎，‎ 设到的距离，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 的最大值为．‎ ‎（另解：可以令，，构造函数，求导亦可）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1），‎ ‎∴，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎∴满足函数有两个零点．‎ ‎（2）令 由（1）知在，，‎ 令，，‎ ‎，‎ 在单调递增，‎ ‎，，‎ 令的零点为，，，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，所以．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1），曲线，‎ ‎（2）将（为参数）代入曲线C的方程，得，‎ ‎，．‎ ‎23．（选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1），即，即，‎ ‎，解得或，‎ 所以不等式的解集为或．‎ ‎（2），‎ 故的最大值为，‎ 因为对于，使恒成立．所以，‎ 即，解得或，‎ ‎∴．‎