2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二下学期期中考试 数学（理） Word版

2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二下学期期中考试 数学（理） Word版

‎2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二下学期期中考试 数学（理） ‎ 命题人：张培光 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数在复平面内对应的点在( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3． 已知命题：存在实数，，；命题：（且）. 则下列命题为真命题的是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知平面向量满足， ，且与垂直，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6．设实数满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，如果输入的依次为2，2，5时，输出的为17，那么在判断框 中，应填入（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎9．某城市关系要好的， ， ， 四个家庭各有两个小孩共人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐名（乘同一辆车的名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名小孩恰有名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎10．已知点在同一个球的球面上，，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎11．为双曲线上一点， 分别为的左、右焦点， ，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则的离心率为（ ）‎ ‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎12．已知函数是定义在的可导函数，为其导函数，当且 时， ，若曲线在处的切线的斜率为，则（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ 第II卷(非选择题共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． **** .‎ ‎14．展开式中含项的系数为 **** ．（用数字表示）‎ ‎15．若,且,则 **** ．‎ ‎16．对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是1，且，则 **** ．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．(本小题满分10分）‎ 在中，角A、B、C的对边分别为、、，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎18．(本小题满分12分）‎ 某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（）如下表所示： ‎ 试销价格（元）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 产品销量（件）‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 已知变量具有线性负相关关系，且，，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：；乙：；丙：，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.‎ ‎（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．‎ ‎19．(本小题满分12分）‎ 已知数列满足， ，数列满足， .‎ ‎（1）证明：是等比数列；‎ ‎（2）数列满足，求数列的前项的和．‎ ‎20．(本小题满分12分）‎ 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）当为的中点， ， 与平面所成的角为，求二面角的余弦值．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知椭圆经过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设分别为椭圆的左、右焦点，不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，如果直线、、的斜率依次成等差数列，求焦点到直线的距离的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设函数为自然对数的底数.‎ ‎（1）若，且函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，判断函数的零点个数并证明．‎ ‎2017-2018学年度第二学期汕头市金山中学 高二理科数学期中考试参考答案及评分标准 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A D C C B D C A B C ‎13、； 14、10 ； 15、 ； 16、100.‎ ‎11、【解析】由于为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于，所以，故外接圆半径为.设内切圆半径为，根据三角形的面积公式，有，解得，故两圆半径比为，化简得，解得或.‎ ‎12、【解析】曲线在处的切线的斜率为，所以 ，当且时， ，可得时， 时， ，令 ，可得时， 时， ，可得函数在处取得极值， ， ，故选C.‎ ‎17、【解析】 (1)由，得 ‎，‎ 又, ， 又, . ‎ ‎（2）由余弦定理得，∴，‎ ‎∵，∴，当且仅当时取等号，‎ ‎∴，‎ 即面积的最大值为.……………………10分 ‎18、解：（1）∵变量具有线性负相关关系， ∴甲是错误的.‎ 又∵，，‎ ‎∴，满足方程，故乙是正确的.‎ 由，，得，. ……………………6分 ‎（2）由计算得不是“理想数据”有个，即，从6个检测数据中随机抽取个，共有种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：.……………………12分 ‎19、【解析】（1）‎ ‎，又因为，‎ 所以是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 ‎（2）由（1）得， ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ 满足上式. ‎ ‎………12分 ‎20、【解析】（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，‎ 因为且平面，所以平面，‎ 因为平面，所以．‎ 因为平面， 平面，且平面平面，‎ 所以，所以． ………………4分 ‎（2）由（1）知且，‎ 因为，且为的中点，‎ 所以，所以平面，‎ 所以与平面所成的角为，‎ 所以，所以，‎ 因为，所以． ‎ 如图，分别以， ， 为轴，建立所示空间直角坐标系，‎ 设，则，‎ ‎ 所以 ‎．‎ 记平面的法向量为，则，‎ 令，则，所以，‎ 记平面的法向量为，则，‎ 令，则，所以， ‎ 记二面角的大小为，为锐角 则 所以二面角的余弦值为．……………………12分 ‎21、解析：（1）由题意，知考虑到，解得 所以椭圆C的方程为. ……………………3分 ‎（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，‎ 整理得.‎ 由，得. ①‎ 设，，‎ 则，.‎ 因为，所以，.‎ 因为，且，，‎ 所以. ‎ 因为直线AB：不过焦点，所以，‎ 所以，从而，即. ②‎ 由①②得，化简得. ③‎ 焦点到直线：的距离.‎ 令，由知.‎ 于是.‎ 考虑到函数在上单调递减，‎ 则，解得. ‎ 所以的取值范围为. ……………………12分 ‎22、解：(1)∵函数在区间内单调递增，‎ ‎∴在区间内恒成立.‎ 即在区间内恒成立.‎ 记，则恒成立，‎ ‎∴在区间内单调递减,‎ ‎∴，∴， ‎ 即实数的取值范围为.…………………4分 ‎(2)∵，，‎ 记，则，‎ 知在区间内单调递增.‎ 又∵，，‎ ‎∴在区间内存在唯一的零点，‎ 即，‎ 于是，.‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ ‎∴‎ ‎，当且仅当时，取等号.‎ 由，得，‎ ‎∴，即函数没有零点. …………12分