2020届高考理科数学二轮专题复习课件：解题技巧 小题攻关1-4

2020届高考理科数学二轮专题复习课件：解题技巧 小题攻关1-4

第 4 课时 　 排列、组合与二项式定理 考向一　排列组合 ( 保分题型考点 ) 【题组通关】 1. 用 0 到 9 这 10 个数字 , 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( 　　 ) A.324 B.648 C.328 D.360 【解析】 选 C. 首先应考虑是否含“ 0”. 当含有 0, 且 0 排 在个位时 , 有 =9×8=72 个三位偶数 , 当 0 排在十位时 , 有 =4×8=32 个三位偶数 . 当不含 0 时 , 有 =4×8×7=224 个三位偶数 . 由分类加法计数原理得 , 符 合题意的偶数共有 72+32+224=328( 个 ). 2. 市内某公共汽车站有 6 个候车位 ( 成一排 ), 现有 3 名乘客随便坐在某个座位上候车 , 则恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数为 ( 　　 ) A.48 B.54 C.72 D.84 【解析】 选 C. 先把 3 名乘客进行全排列 , 有 =6 种排 法 , 排好后 , 有 4 个空 , 再将 1 个空位和余下的 2 个连续的 空位插入 4 个空中 , 有 =12 种排法 , 则共有 6×12=72 种 候车方式 . 3. 现有 16 张不同的卡片 , 其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张 . 从中任取 3 张 , 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色 , 且红色卡片至多 1 张 , 不同取法的种数为 ________.  【解析】 第一类 , 含有 1 张红色卡片 , 不同的取法有 =264( 种 ). 第二类 , 不含有红色卡片 , 不同的取法有 =220 -12=208( 种 ). 由分类加法计数原理知 , 不同的取法共有 264+208=472( 种 ). 答案 : 472 4. 计划将排球、篮球、乒乓球 3 个项目的比赛安排在 4 个不同的体育馆举办 , 每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行 , 则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案共有 ( 　　 ) A.60 种 B.42 种 C.36 种 D.24 种 【解析】 选 A. 若 3 个项目分别安排在不同的场馆 , 则安 排方案共有 =24( 种 ); 若有 2 个项目安排在同一个场 馆 , 另一个安排在其他场馆 , 则安排方案共有 =36( 种 ); 所以在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的 安排方案共有 24+36=60( 种 ). 【拓展提升】 求解排列、组合问题的基本方法 (1) 限制条件排除法 : 先求出不考虑限制条件的个数 , 然后减去不符合条件的个数 , 相当于减法原理 . (2) 相邻问题捆绑法 : 在特定条件下 , 将几个相关元素当作一个元素来考虑 , 待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列数 , 它主要用于解决相邻问题 . (3) 插空法 : 先把不受限制的元素排列好 , 然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中 . (4) 特殊元素、位置优先安排法 : 对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列 , 然后排列其他一般元素或位置 . (5) 多元问题分类法 : 将符合条件的排列分为几类 , 根据分类加法计数原理求出排列总数 . (6) 元素相同隔板法 : 若把 n 个不加区分的相同元素分成 m 组 , 可通过 n 个相同元素排成一排 , 在元素之间插入 m-1 块隔板来完成分组 , 此法适用于同元素分组问题 . (7)“ 至多”“至少”间接法 :“ 至多”“至少”的排列组合问题 , 需分类讨论且一般分类的情况较多 , 所以通常用间接法 , 即排除法 , 它适用于反面明确且易于计算的问题 . (8) 选排问题先取再排法 : 选排问题很容易出现重复或遗漏的错误 , 因此常先取出元素 ( 组合 ) 再排列 , 即先取再排 . (9) 定序问题消序法 : 甲、乙、丙顺序一定 , 采用消序法 , 即除法 , 用总排列数除以顺序一定的排列数 . (10) 有序分配逐分法 : 有序分配是指把元素按要求分成若干组 , 常采用逐分的方法求解 . 【变式训练】 1.(2017· 天津高考 ) 用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字 , 且至多有一个数字是偶数的四位数 , 这样的四位数一共有 ________ 个 .( 用数字作答 )  【解析】 分两种情况 : 第一种 : 四位数都不是偶数的个 数为 : =120, 第二种 : 四位数中有一位为偶数的个数 为 =960, 则共有 1080 个 . 答案 : 1 080 2. 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张 , 其余 5 张无奖 . 将这 8 张奖券分配给 4 个人 , 每人 2 张 , 不同的获奖情况有 ________ 种 ( 用数字作答 ).  【解析】 不同的获奖分两种 : 一是有 1 人获得两张奖 券 ,1 人获得 1 张 , 共有 =36( 种 ); 二是 3 个人各获得 1 张 , 共有 =24( 种 ), 因此不同的获奖情况有 60 种 . 答案 : 60 3. 某运输公司有 7 个车队 , 每个车队的车辆均多于 4 辆 . 现从这个公司中抽调 10 辆车 , 并且每个车队至少抽调 1 辆 , 那么共有 ________ 种不同的抽调方法 .  【解析】 方法一 ( 分类法 ): 在每个车队抽调 1 辆车的基 础上 , 还需抽调 3 辆车 . 可分成三类 : 一类是从某 1 个车队 抽调 3 辆 , 有 种 ; 一类是从 2 个车队中抽调 , 其中 1 个车 队抽调 1 辆 , 另 1 个车队抽调 2 辆 , 有 种 ; 一类是从 3 个 车队中各抽调 1 辆 , 有 种 . 故共有 =84( 种 ) 抽调方法 . 方法二 ( 隔板法 ): 由于每个车队的车辆均多于 4 辆 , 只需 将 10 个份额分成 7 份 . 可将 10 个小球排成一排 , 在相互之 间的 9 个空当中插入 6 个隔板 , 即可将小球分成 7 份 , 故共 有 =84( 种 ) 抽调方法 . 答案 : 84 考向二　二项式定理 ( 保分题型考点 ) 【题组过关】 1. 已知 的展开式中含 的项的系数为 30, 则 a= ( 　　 ) 【解析】 选 D. 二项展开式的通项是 T r+1 = 由题意得 所以 r=1. 所以 =30, 所以 a=-6. 2. 已知 (1-ax)(1+x) 5 的展开式中 x 2 的系数为 5, 则 a= ( 　　 ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【解析】 选 A.1· +(-a) =5, 得 a=1. 3.(2018· 天津高考 ) 在 的展开式中 ,x 2 的系 数为 ________.  【解析】 因为 的第 r+1 项 T r+1 = 令 解得 r=2, 即 T 3 =T 2+1 = 所以在 的展开式中 ,x 2 的系数为 答案 : 4.(2019· 天津高考 ) 展开式中的常数项为 ________.  【解析】 的第 r+1 项为 T r+1 = 令 8-4r=0, 解得 r=2, 即 T 3 =T 2+1 = 答案 : 28 5. 使 (n∈N * ) 的展开式中含有常数项的最小 的 n 为 ( 　　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】 选 B. 根据二项展开式的通项公式得 T r+1 = 若 T r+1 是常数项 , 则有 n- =0, 即 2n=5r(r=0,1,…,n). 当 r=0,1 时 ,n=0, , 不满足条件 ; 当 r=2 时 ,n=5. 【拓展提升】 求二项展开式中的项的方法 求二项展开式的特定项问题 , 实质是考查通项 T k+1 = 的特点 , 一般需要建立方程求 k, 再将 k 的值代 回通项求解 , 注意 k 的取值范围 (k=0,1,2,…,n). (1) 第 m 项 : 此时 k+1=m, 直接代入通项 . (2) 常数项 : 即这项中不含“变元” , 令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程 . (3) 有理项 : 令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程 .