数学理卷·2018届四川省眉山中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届四川省眉山中学高三上学期期中考试（2017

眉山中学2018届高三半期数学（理科）测试题 一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，则= ( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2．已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则 （ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3．若，则=（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4．“”是“关于的方程有两个异号实数根”的（ ）条件 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要 ‎5．如图，为矩形，其中，，记线段以及 的图像围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点,则点落在区域的概率为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6．《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）‎ A、2 B、 C、 D、‎ ‎7．在中，点满足是的中点，若则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎8．函数的图像可能是（ ）‎ ‎9．将函数的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将图像向右平移个单位，便得到函数的图像，则（ ）‎ A、关于直线对称 B、关于点对称 C、关于直线对称 D、关于点对称 ‎10．计算（ ）A、 B、 C、 D、‎ ‎11．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，，，则的大小关系（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12．已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 二．填空题（本大题4个小题，共20分，请把答案填在答题卷上）‎ ‎13．已知，若在上投影为，则 ‎14．函数为奇函数，则 ‎15．已知，则 ‎16．已知为常数，对任意,均有 恒成立.下列说法：‎ ‎①的周期为6；‎ ‎②若为常数）的图像关于直线对称，则；‎ ‎③若且，则必有 ‎④已知定义在上的函数对任意均有成立，且当时，又函数为常数），若存在,使得成立，则的取值范围是 其中说法正确的是（填写所有正确结论的编号）‎ 三．解答题：（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题共12分）已知是夹角为的单位向量，且.‎ ‎（1）若求实数的值；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎18．（本小题共12分）已知函数的部分图像如图所示.‎ ‎(1)求函数的解析式，并写出的单调减区间；‎ ‎(2)已知中角为锐角，且,求的最大值.‎ ‎19．（本小题共12分）某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解考生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组 合计 分组 频数 ‎6‎ ‎4‎ ‎22‎ ‎20‎ ‎18‎ a ‎10‎ ‎5‎ c 频率 ‎0.06‎ ‎0.04‎ ‎0.22‎ ‎0.20‎ b ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎1‎ ‎（1）确定表中的值并估计该校本次考试的数学平均分.‎ ‎（2）为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，令第七组被抽中的学生数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题共12分）在矩形中， ,是边的中点，如图（1），将沿直线翻折到的位置，使，如图（2）.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）已知、分别是线段、上的点，且,平面,求直线 与平面所成角的正弦值.‎ ‎21．（本小题共12分）已知函数.‎ ‎(1)若在处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2求的单调区间；‎ ‎（3若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.‎ ‎22．（本小题共10分）在平面直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标为 ‎（1）若直线与曲线相切，求的值；‎ ‎（2）求直线与曲线的交点坐标.‎ ‎2018届高三半期数学（理科）测试题 一、选择题： ‎ 二、填空题： 13、 14、 15、2 16、②③④‎ 三、解答题。‎ ‎17、（1）令 ，则 （2）==‎ ‎ 时，‎ ‎18、（1） 为五点法作图的第二个点 ‎ ‎ ‎ 由 ‎ 的减区间为 ‎(2)且 由余弦定理得 ‎ 当时最大值为 ‎19、解：(1)‎ 数学平均分为：75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.‎ ‎(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，从第七组中抽取的样本数为 随机变量ξ的可能取值为0，1，2.‎ ‎,,‎ 随机变量的分布列为 :   ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎20、解:(Ⅰ)证明:连结BE,根据题意可以知道 又因为,,PB,平面PBE,  所以平面PBE.   又因为平面PBE, 所以 又因为在矩形ABCD中,,  所以 又因为,CE,平面PCE,  所以平面PCE.  (Ⅱ)在图(2)中,以点A为原点,分别以AB,AE所在直线为x,y轴,以经过点A且垂直于平面ABCE的直线为z轴建立空间直角坐标系,如下图所示.  根据题意可以知道,,, 取CE的中点H,连结PH.  由(Ⅰ)可以知道平面平面ABCE.  又因为,所以 又因为平面平面,  所以平面ABCE.  可得又因为,所以因为 ‎,可得 设,可得 所以 又因为,,  设平面ABP的法向量为,  则令,可得,  所以 因为平面PAB,所以,可得 所以 由(Ⅰ)可以知道平面PCE,所以是平面PCE的一个法向量, 可得 所以直线QM与平面PCE所成角的正弦值为 21、解:(1),函数的定义域是, ,由，=‎ ‎（2） 时:,在递增; 时:令；‎ 的增区间为减区间为 (3)恒成立,可得恒成立, 等价为在恒成立.令,只需, ,令,可得, 设,, 在递减,设的根为,当,, 当时,, 在递增,在递减, 即有, 由,,则, 此时,即,即,且 实数的最小值为.‎ ‎22、（1）曲线的直角坐标方程为，即 ‎，由直线与相切，得，‎ 故。      ‎ ‎（2）曲线的普通方程为，，直线的普通方程为，联立，解得或（舍去）‎ 直线与曲线的交点的直角坐标为，其极坐标为。      ‎