2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第7章 第3节　平行关系

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第7章 第3节　平行关系

第三节　平行关系 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．‎ ‎(对应学生用书第111页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．直线与平面平行 ‎(1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判 定 定 理 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 l平面α，bl，‎ l∥b⇒l∥α 性 质 定 理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 l∥α，l平面β，‎ α∩β＝b⇒l∥b ‎2.平面与平面平行 ‎(1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判 定 定 理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 aα，bα，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 性 质 定 理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，aα⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥l ‎3.与垂直相关的平行的判定 ‎(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.‎ ‎(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)‎ ‎(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)‎ ‎(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　)‎ ‎(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．(　　)‎ ‎(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎2．下列命题中，正确的是(　　)‎ A．若a∥b，bα，则a∥α B．若a∥α，bα，则a∥b C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a∥b，b∥α，aα，则a∥α D　[A中还有可能aα，B中还有可能a与b异面，C中还有可能a与b相交或异面，只有选项D正确．]‎ ‎3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β ”是“α∥β ”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为mα，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．]‎ ‎4．三棱柱ABCA1B1C1中，过棱A1C1，B1C1，BC，AC的中点E，F，G，H的平面与平面________平行．‎ A1B1BA　[‎ 如图所示，连接各中点后，易知平面EFGH与平面A1B1BA平行．]‎ ‎5．(教材改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．‎ 平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，‎ ‎∴EF∥BD1，‎ 又EF平面ACE，‎ BD1平面ACE，‎ ‎∴BD1∥平面ACE.]‎ ‎(对应学生用书第112页)‎ 与线面平行相关命题的真假判断 ‎　(1)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ‎(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)‎ ‎(1)D　(2)A　[(1)A项，α，β可能相交，故错误；‎ B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；‎ C项，若mα，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；‎ D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，∴‎ 原命题正确，故D项正确．‎ ‎(2)A项，作如图(1)所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.‎ ‎∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，‎ ‎∴直线AB与平面MNQ相交．‎ B项，作如图(2)所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，‎ ‎∴AB∥MQ.‎ 又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.‎ C项，作如图(3)所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，‎ ‎∴AB∥MQ.‎ 又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.‎ D项，作如图(4)所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，‎ ‎∴AB∥NQ.‎ 又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A．]‎ ‎[规律方法]‎ ‎　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.‎ ‎2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.‎ (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·唐山模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)‎ ‎【导学号：79140229】‎ A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n D．若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则n∥β D　[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或nα，故A错误．在B中，若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．]‎ 直线与平面平行的判定与性质 ‎◎角度1　直线与平面平行的判定 ‎　(2016·全国卷Ⅲ)如图731，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．‎ 图731‎ ‎(1)证明：MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体NBCM的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.‎ 如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，‎ TN＝BC＝2.‎ 又AD∥BC，故TNAM，‎ 所以四边形AMNT为平行四边形，‎ 于是MN∥AT.‎ 因为AT平面PAB，MN平面PAB，‎ 所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，‎ 所以N到平面ABCD的距离为PA．‎ 如图，取BC的中点E，连接AE.‎ 由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.‎ 由AM∥BC得M到BC的距离为，‎ 故S△BCM＝×4×＝2.‎ 所以四面体NBCM的体积VNBCM＝×S△BCM×＝.‎ ‎◎角度2　线面平行性质定理的应用 ‎　如图732所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．‎ 图732‎ ‎[证明]　∵CD∥平面EFGH，‎ 而平面EFGH∩平面BCD＝EF，‎ ‎∴CD∥EF.‎ 同理HG∥CD，∴EF∥HG.‎ 同理HE∥GF，‎ ‎∴四边形EFGH为平行四边形，‎ ‎∴CD∥EF，HE∥AB，‎ ‎∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角．‎ 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.‎ ‎∴平行四边形EFGH为矩形．‎ ‎[规律方法]　1.证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点).‎ (2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α).‎ (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β).‎ (4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β).‎ ‎2.利用判定定理判定线面平行，注意三条件缺一不可，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面找其交线.‎ ‎[跟踪训练]　如图733所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．‎ 图733‎ ‎(1)证明：AD1∥平面BDC1；‎ ‎(2)证明：BD∥平面AB1D1.‎ ‎[证明]　(1)∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，‎ ‎∴C1D1DA，∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D，又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1. ‎ ‎(2)连接D1D，‎ ‎∵BB1∥平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，‎ ‎∴BB1∥D1D，‎ 又∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，‎ ‎∴BB1＝DD1，‎ 故四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1，又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.‎ 平面与平面平行的判定与性质 ‎　如图734所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：‎ 图734‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.‎ 又∵B1C1∥BC，‎ ‎∴GH∥BC，‎ ‎∴B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC．‎ ‎∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ ‎∵A1GEB，‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.‎ ‎∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.‎ ‎∵A1E∩EF＝E，‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ 在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．‎ ‎[证明]　如图所示，连接HD，A1B，‎ ‎∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，‎ ‎∴HD∥A1B.‎ 又HD平面A1B1BA，‎ A1B平面A1B1BA，‎ ‎∴HD∥平面A1B1BA．‎ ‎[规律方法]　证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义.‎ (2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.‎ (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”.‎ (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”.‎ (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.‎ ‎[跟踪训练]　在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点．求证：平面MNP∥平面A1BD. ‎ ‎【导学号：79140230】‎ ‎[证明]　如图，连接B1D1、B1C．‎ ‎∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.‎ 又B1D1∥BD，∴PN∥BD.‎ 又PN平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.‎ 同理，MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，‎ ‎∴平面PMN∥平面A1BD.‎