数学理卷·2018届广东省省际名校（茂名市）高三下学期联考（二）（2018

数学理卷·2018届广东省省际名校（茂名市）高三下学期联考（二）（2018

广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ）‎ A.在上为减函数 B.在上为增函数 C.在上为减函数 D.在上为增函数 ‎4.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作.在一次投掷中，已知是奇数，则的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.如图，正六边形的边长为2，则（ ）‎ A．2 B．3 C．6 D．12‎ ‎6.以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相离，则的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.是数列的前项和，且对都有，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“‎ 幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（ ）‎ A．430 B．840 C．1250 D．1660‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.是虚数单位，复数满足，则 ．‎ ‎14. 若实数满足约束条件则的所有取值的集合是 ．‎ ‎15. 以坐标原点为圆心的圆与抛物线及其准线分别交于点和，若，则圆的方程是 ．‎ ‎16.若对任意的，不等式恒成立，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知的内角所对的边分别为，.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）若的平分线交于点，且的面积为，求的长.‎ ‎18.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：‎ 数据表明与之间有较强的线性关系.‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；‎ ‎（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？‎ 参考数据:回归直线的系数，.‎ ‎，.‎ ‎19.如图，四棱柱的底面为菱形，且.‎ ‎（1）证明：四边形为矩形；‎ ‎（2）若，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎20.设椭圆的离心率为，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的左焦点作直线与交于两点，过右焦点作直线与交于两点，且，以为顶点的四边形的面积，求与的方程.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数).‎ ‎（1）若，求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有两个不同的交点，且为的中点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）根据（1）中的结论，若，且，求证:.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DDCBC 6-10: BAACC 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 5 14. 15. 16.0或 ‎ 三、解答题 ‎17. 解:（1）因为，所以.‎ 于是，.‎ ‎（2）由可得.‎ 设的面积为，∴，‎ ‎∴.则.‎ ‎∵为的平分线，∴，∴.‎ 又.∴.‎ 在中,由余弦定理可得 ‎，∴.‎ ‎18.解:(（1）由题意可知，‎ 故 ‎.‎ ‎，‎ 故回归方程为.‎ ‎（2）将代入上述方程，得. ‎ ‎（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. ‎ 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，‎ 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.‎ 于是可以得到列联表为：‎ 于是，‎ 因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.‎ ‎19.（1）证明:连接，设，连接.‎ ‎∵，∴.‎ 又为的中点，∴..‎ ‎∴平面，∴.‎ ‎∵，∴.‎ 又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.‎ ‎（2）解:过点作平面，垂足为，由已知可得点在上，∴. ‎ 设，则.‎ 在菱形中，，∴. ‎ ‎∴点与点重合，则平面.‎ 以为坐标原点，建立空间直角坐标系.‎ 则.‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量为，则 ,∴即 取，可得为平面的一个法向量.‎ 同理可得平面的一个法向量为。‎ ‎∵.所以二面角的余弦值为. ‎ ‎20.解:（1）由已知得，解得，∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，代入得，‎ 设，则.‎ ‎.‎ 设的方程为，则与之间的距离为.‎ 由对称性可知，四边形为平行四边形，‎ ‎∴.‎ 令，则，∴，即，‎ 解得或(舍）， ∴.‎ 故所求方程为或.‎ ‎21.解:（1）由已知的定乂域为，又，‎ 当时，恒成立； ‎ 当时，令得；令得.‎ 综上所述，当时，在上为增函数；‎ 当时，在上为增函数，在上为减函数.‎ ‎（2）由题意，则，‎ 当时，∵，‎ ‎∴在上为增函数，不符合题意.‎ 当时，，‎ 令，则.‎ 令的两根分别为且，‎ 则∵，∴，‎ 当时，，∴，∴在上为增函数；‎ 当时，，∴，∴在上为减函数；‎ 当时，，∴，∴在上为增函数.‎ ‎∵，∴在上只有一个零点 1，且。‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∵，又当时，.∴‎ ‎∴在上必有一个零点. ‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∵，又当时，，∴.‎ ‎∴在上必有一个零点.‎ 综上所述，故的取值范围为.‎ ‎22.解：（1）的普通房成为，‎ 的直角坐标方程为.‎ ‎（2）把代入抛物线方程得，‎ 设所对应的参数为，则.‎ ‎∵为的中点，∴点所对应的参数为，‎ ‎∴，即.‎ 则变为，此时，‎ ‎∴.‎ ‎23.（1）解：，当且仅当时取等号，‎ 所以，即.‎ ‎（2）证明:假设:，则.‎ 所以. ①‎ 由（1）知，所以. ②‎ ① ‎②矛盾，所以.‎